談數學概念的教學方法

侯磐生

[摘要]要使數學教學立于不敗之地，教師必須對概念教學做深入的研究，并教給學生學習數學概念的方法。（1）揭示概念的發生、形成過程，訓練思維的流暢性和合理性；（2）挖掘概念的解題程序，培養思維的層次性和有序性；（3）重視概念的逆向理解，培養思維的深刻性和雙向性。

[關鍵詞]數學教學 概念教學 方法

概念是人們反映客觀現實的數量關系和空間形式的特征或本質屬性的思維形式，而數學是由概念與命題等內容組成的知識體系，所以，只有正確理解概念，才能掌握數學基礎知識。但在當前的數學概念教學中，簡單化的現象普遍存在。許多數學教師只注重解釋概念，將它硬灌給學生而忽視概念的發生、發展過程，不注意對概念解題功能的挖掘，缺少逆向理解概念的訓練，結果造成學生對概念的輕視，進而影響了教與學的順利發展。要使數學教學立于不敗之地，教師必須看到概念雖然是抽象的、單調的，但它的產生過程卻是具體的、豐富的，注意對概念教學做深入的研究，并教給學生學習數學概念的方法。這里，筆者將結合教學實踐談談個人的思考。

一、揭示概念的發生、形成過程，訓練思維的流暢性和合理性

學生對數學概念掌握不牢固、理解不透徹，究其原因是灌輸概念給學生的結果。要使學生理解和記憶概念，必須在概念教學中揭示其發生形成的過程。如在“兩條異面直線形成的角”一節教學中，先回顧平面內兩條相交直線的相對位置是用一個什么量去表示的？使學生明確：

1.用角去刻劃兩條相交直線的相對位置；

2.已有知識：兩條相交直線所造成的角。再提出問題如下：

教師：圖1中，a和c、b和c都是異面直線，a和c與b和c的相對位置有無區別？

學生：有。

教師：區別在哪里？

學生：角。

教師：既然覺得a和c、b和c之間的區別是角不同，那么，怎么樣去定義兩條異面直線所成的角呢？

學生：可以利用兩條相交直線所形成的角去定義。

教師：是否為任意兩條相交直線？不是的話應滿足什么條件？

學生：和兩條異面直線分別平行。

再如，在“兩條異面直線的距離”教學中設計系列問題：

1.圖2中的a和b、a和c都是異面直線，但他們的相對位置有無區別呢？若有，區別在哪呢？

2.和兩條異面直線都相交的直線有多少條？

3.和兩條異面直線都垂直的直線有幾條？

4.和兩條異面直線垂直且相交的直線有幾條？

5.你會把什么樣的線段的長度定義為異面直線的距離？

6.這樣設計概念教學，既解決了引入概念的必要性、合理性，還使概念的形成自然流暢，讓學生知其然且知其所以然，利于認知結構的建立和數學思想方法（化歸的思想、類比的方法）的滲透。

二、挖掘概念的解題程序，培養思維的層次性和有序性

數學中有些概念都隱含著解題程序，領悟與把握概念的程序性是透徹理解及熟練概念解題的重要環節，所以在教學中應充分挖掘概念的解題程序。比如，從反函數概念中可挖掘出求反函數的步驟：（1）求原函數的值域；（2）從y=f（x）中反解x；（3）對調x、y得y=f（x）；（4）標出定義域（即原函數的值域）。從增減函數概念中可歸納出判斷函數單調性的步驟：取值—作差—變形—判斷。從函數的奇偶性的定義中總結出判斷函數奇偶性的步驟：考察定義域—計算f（-x）—判斷f（-x）與f（x）、-f（x）的關系—做結論。從《立體幾何》中角和距離的概念概括出求角、距離的步驟：一作圖、二證明、三計算。教學實踐表明，對概念解題程序作了挖掘的教學，學生應用這些知識解題思維層次分明、邏輯關系正確。

三、重視概念的逆向理解，培養思維的深刻性和雙向性

教學中忽視概念可逆的狀況時有發生，學生逆向思維能力明顯低于正向思維能力。因此，加強逆向思維訓練尤為重要，概念的逆向理解便是一個好素材。比如，在“函數的單調性”教學中，僅重視對增、減函數的正向理解是很不夠的，必須引導學生逆向理解才能挖掘出它的解題功能。幫助學生認識：（1）f（x）是區間D上的增函數，對于D內任意兩個值x₁、x₂，如果f（x₁）< f（x₂），那么，x₁< x₂；（2）f（x）是區間D上的減函數，對于D內任意兩個值x₁、x₂，如果f（x₁）> f（x₂），那么，x₁< x₂，才能為后續知識的研究作好鋪墊。處理下面問題也就有了基礎。

1.已知函數f（x）=n/x在區間（-∞，0）上是增函數，則n的取值范圍是。

2.已知奇函數f（x）在定義域（-1，1）內是減函數，求不等式f（1-x）+f（1-x²）<0的解。

3.已知函數y=f（x）在其定義域內是增函數，求證y=f^-1（x）在其定義域內是增函數。

4.如果1<(1/2)^m<2ⁿ,那么m、n滿足的條件是：

（A）-m

再如，“反函數”教學中，通過對該概念的正向理解可能得到：如f（a）=b，則f^-1(b)=a；再經逆向分析又有：若f^-1（b）=a，則f（a）=b。綜合得：f（a）=b＜＝＞f^-1（b）=a。這樣學生對反函數的理解就更透徹，也能順利地將問題：若f（x）=4^x-2-2^x+1(x>0),則f^-1(0)=轉化為方程f（x）=0即4^x-2^x+1=0處理。

概念教學是數學教學的一個重要組成部分，具有較強的基礎性。概念教學的效果如何，直接影響學生對數學知識的理解掌握，關系到學生解題能力的提高。因而，教師必須運用恰當的方法來進行概念教學，使學生一方面真正理解“概念性的知識”，另一方面又能掌握同樣重要的“方法性的知識”。

參考文獻：

[1]鄭惠生.影響中學生課外閱讀的五個因素.教學與管理,2007.

[2][美國]D?A?格勞斯主編,陳昌平等譯.數學教與學研究手冊.上海教育出版社，1999.160-161.