運用變量替換法 巧解高中三角題

李新蓮

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；變量替換法；三角題

〔中圖分類號〕 G633.64〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）15—0080—01

在三角問題中，通過引入變量進(jìn)行替換，把問題轉(zhuǎn)化成對新變量的討論，可以架起從已知通向未知的橋梁，轉(zhuǎn)化原問題的結(jié)構(gòu)，簡化解題過程.替換如果用得巧妙，還可以收到事半功倍的效果.

代數(shù)替換法

通過替換把三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行討論，這樣可以避開解三角函數(shù)式的麻煩，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的.

例1求cos36°- cos72°的值.

解析：設(shè)x=cos36°，y=cos72°，由cos72°=2cos236°-1得y=2x2-1.又cos36°=1-2sin218°=1-2cos272°，則x=1-2y2.因為x+y=2（x2-y2）=2（x+y）（x-y），所以x+y≠0，所以x-y=，即cos36°-cos72°=.

整體替換法

整體替換法即把已知式或待求式視為一個整體進(jìn)行變形替換.

例2已知sinx+siny=，求cosx+cosy的變化范圍.

解析：設(shè)u=cosx+cosy，將已知式與待求式兩邊平方得：=sin2x+2sinxsiny+sin2y（1）， u2=cos2x+2cosxcosy+cos2y（2）.

（1）+（2）得：u2+=2+2cos（x-y），即2cos（x-y）=u2-.因為-2≤2cos（x-y）≤2，所以-2≤u2-≤2，解得-≤u≤.所以-≤cosx+cosy≤.

引入?yún)?shù)法

即通過引入?yún)⒆兞空{(diào)節(jié)命題結(jié)構(gòu)，把問題轉(zhuǎn)化為對參變量的討論.

例3（2008年重慶卷文12）函數(shù)f（x）=(0≤x≤2)的值域是（ ）.

(A)[-，] (B)[-，]

(C)[-，] (D)[-，]

解析:令=t（1≤t≤3） ， 則sin2x =，當(dāng)0≤x≤?仔時，sinx==.

f（x）==

=≤=.

當(dāng)且僅當(dāng)t=時取等號.同理可得當(dāng)?仔＜x≤2?仔時，f（x）≥-.綜上可知，f（x）的值域為[-，]，故選C.

三角替換法

對于有些三角問題，如果能依據(jù)其特征，合理地引入三角替換，把問題結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化，這樣解題構(gòu)思別致，解題過程簡捷、巧妙.

例4 求函數(shù)y=+|sinx|的值域.

解析：由題意知：0≤sin2x≤，即-≤sinx≤.

設(shè)sinx=sin?茲， 其中-≤?茲≤，則y=cos?茲±sin?茲.當(dāng)0≤?茲≤時，y=sin（?茲+），因為0≤?茲≤，≤?茲+≤，所以≤sin（?茲+）≤1，即≤y≤；當(dāng)-≤?茲≤0時，y=cos（?茲+），因為-≤?茲≤0，-≤?茲+≤，所以≤cos（?茲+）≤1，即≤y≤.

綜上所述，所求函數(shù)的值域為≤y≤.

編輯：劉立英