在初中數學教學中滲透數形結合思想

葉建平

摘 要： 數形結合在教學及生產生活實踐中有著廣泛的應用，通過這一重要的方法，諸多數學問題成功地得到了解決。數形結合是初中數學學習過程中一個重要的數學思想，作為培養學生數學能力的最重要的一個環節，它貫穿于教學的始終。

關鍵詞： 數形結合 初中數學教學 培養能力

數形結合思想主要是指利用數與形之間的轉化來解決各類實際問題[1]。一是借助幾何圖形的性質使得抽象的數式問題變得形象和直觀，得到意想不到的解題思路和解題方法；二是把某些幾何圖形問題通過聯想轉化成為數式問題，得到較簡便的解題方法。所以數形結合實際上是把直觀而具體的圖形與抽象而復雜的數式結合，使形象與抽象的兩種思維結合，通過數形轉化、圖形認識培養學生形象、靈活的思維，把復雜的數學問題簡單化、抽象問題形象化的過程。

一、由數式聯想到圖形，進行數形結合，通過圖形解決數式的問題。

有機的數形結合，能夠把化抽象的問題為具體，化復雜的問題為簡單。

1.利用數軸來闡述絕對值、相反數這類有關概念，以及有理數的四則運算等[2]。數軸是一種重要的工具，借助數軸能夠直觀體現許多數學問題，也能夠展示數形結合思想。因此在初中數學教學中我們應合理引入數軸幫助學生掌握相反意義概念，了解絕對值、相反數的內涵，全面掌握比較有理數大小方式，深刻理解有理數運算意義法則等，進而圓滿完成教學任務。如圖①：已知有理數a、b在數軸上表示的點如圖，借助數軸很容易找出表示-a和-b的點，從而順利地比較出a、b、-a、-b之間的大小關系。

圖①

2.通過幾何圖形推導出平方差，平方和，以及完全平方公式，表示出整式的乘法和因式分解等。

3.巧借函數的圖像求解函數題目的最值問題。如點P點在x軸上，點A（-2，3），B（3，1）在x軸的同一側，①求PA+PB的最小值；②求PA-PB的最大值。如圖②，先找到B點關于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，則PA+PB最小，利用一次函數的性質求出P點的坐標，而AB′的長度則是PA+PB的最小值；如圖③，根據三角形的兩邊之差小于第三邊，連接AB交x軸于點P，則PA-PB最小，利用一次函數的性質求出P點的坐標，而AB的長度則是PA+PB的最小值。此外還可以探究當點A、B在x軸的兩側的情況。

圖② 圖③

二、由圖形聯想到數式數形結合，用數式來解決圖形的問題。

此類問題的解決關鍵就是利用數式的精確性來表明圖形的一些屬性；把圖形的信息轉化成代數的信息，通過數量特征將圖形問題進而轉化為代數問題來解決。這在初中數學中運用較多，如：

1.用數量來表示角度大小和線段長短，并進行相應大小長短的比較。

2.用有序實數對表示在平面直角坐標系內的點的位置。

3.用數式來描述點與圓的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，直線與直線的位置關系[3]。

三、巧用數形結合，培養合情推理。

1.通過直觀的幾何圖形求解代數問題能夠激發學生思維、誘發直覺判斷，從而引導學生產生聯想，進行大膽的假設推理，從而形成合情推理，進而培養出合情推理的習慣。

如華東師大版義務教育教科書《數學》七年級上冊第80頁第25題，我們從圖④中可看出第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈……（以此類推）。①第一層的圓圈個數為1=1 ；②前兩層的圓圈個數總和為1+3=4=2 ；③前三層的圓圈個數總和為1+3+5=9=3 ；④前四層的圓圈個數總和為1+3+5+7=16=4 ……（以此類推）由此可歸納出前n層圓圈個數和為1+3+5+（2n-1）=n.數形結合，直觀明了。

圖④

2.借助幾何圖形解決復雜的代數問題。在一些情況中，許多表面上看起來復雜錯綜的應用題，其實我們只需要把其中所涵蓋的各項條件逐一拆分開來，通過數形結合思想把它們對應的示意圖畫出，就能立即使復雜的應用題變得淺顯易懂。如利用勾股定理求取代數式的最值問題：請構圖求出代數式 的最小值。如圖⑤，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC，當點C滿足在AE上時，AC+CE的值最小。若設CD=x，CB=12-x，AB=3，DE=2，則AE就是所求的代數式 的最小值。

圖⑤

四、在運用數形結合思想解決數學問題時應注意的問題。

由于綜合運用題并不是單純的由數式聯想圖形或者由圖形形聯想數式的問題，因此利用數形結合解有關的問題時要注意以下幾個問題。

1.數與形進行轉化要求前后一致；

2.用數的精確性準確的來表示圖形的一類特征；

3.把數轉化成形時要注意考慮圖形的涉及各種情形。因為有些數學問題相對的圖形如果不具有唯一性，就要求根據特定的情況作出相對應的圖形，才能討論進而求解。

總之，我們應當在教學實踐中科學地滲透數形結合思想，提高學生綜合分析和解決問題的能力，把數形結合思想作為初中數學教學所必需的基礎工具，利用幾何圖形、數軸、坐標系等，結合相關教材習題內容引導學生，并使他們在實踐中養成反思的習慣，提高數學素養，全面提升教學水平。

參考文獻：

[1]黃家超. 初中數學教學中如何滲透數學思想方法[J]. 教育教學論壇， 2011， 30： 035.

[2]楊華江. 活躍的 “數軸”[J]. 數理天地（初中版）， 2007， 6： 014.

[3]李明， 張銳. 構造幾何圖形解決代數問題[J]. 數學教學研究， 2012， 31（2）： 67-67.