對解題后反思的幾點認識

譚明貴

摘 要： 反思是數學活動的核心和動力.數學是中學階段的必修課程之一，數學解題教學后，引導學生反思，能使學生將教師所授的知識內化為自己的知識.作者在文中具體說了對解題后反思的認識.

關鍵詞： 數學教學 解題后反思 思維批判性 思維靈活性 思維廣闊性

一

孔子云：學而不思則罔.意思是說學習之后一定要進行反思，否則就會迷惑而沒有所得.數學教育家弗賴登塔爾指出：反思是數學活動的核心和動力.建構主義認為：學習并非是對于教師所授予的知識的被動接受而是依據已有的知識和經驗為基礎的主動建構過程，教師不僅僅是知識的傳授者，而應成為學生學習的促進者.這就要求我們在解題教學后引導學生反思，使學生將教師所授的知識內化為自己的知識.另外針對學生認知結構水平有限，不善于在解題后對解題進行反思的特點，加強解題反思也是勢在必行的.

事實上解題反思的基本特征是它的探究性和總結性，在解題過程中探究其中的問題，總結經驗教訓，不斷調整自己的解題策略，建構自己對問題的理解，獲取新的體驗，逐步形成理性的認識和批判性觀點.那么如何引導學生進行解題后反思呢？下面我從對一道例題的解題反思談談對解題反思的認識.

例：若正數x，y滿足x+2y=1，求■+■的最小值.

此題是在高三復習中最為常見的一道經典題目，很多參考書目都引用了此題.在高三第一輪數學復習時，筆者在復習均值不等式時引用了此題.在出示例題后，讓學生自行解答.學生得出了以下解法.

方法一：

∵x+2y=1，∴2■≤1，∴xy≤■，■≥2■；

又∵■+■≥2■≥4■，∴最小值為4■.

方法二：

∵x>0，y>0，x+2y=1，

∴■+■=■+■=3+■+■≥3+2■，

∴最小值為3+2■，當且僅當■=■時取最小值.

方法三：

∵x>0，y>0，x+2y=1，

∴■+■=（x+2y）（■+■）=3+■+■≥3+2■，

∴最小值為3+2■，當且僅當■=■時取最小值.

方法四：

設x=ty，∵x>0，y>0，∴t>0

∵x+2y=1，∴ty+2y=1，y=■，

∴■+■=■+t+2=3+■+t≥3+2■，

∴最小值為3+2■，當且僅當t=■時取最小值.

二

對于以上四種解法，筆者從以下幾個方面引導學生進行反思.

（一）反思錯處，培養思維的批判性.

教學中應珍視學生的錯誤，因為學生的知識背景、思維方式、情感體驗往往和成人不同，而其表達方式可能不準確，所以難免出“錯”.教學中若能從此切入，進行解后反思，則往往能找到“病根”，進而對癥下藥，收到事半功倍的效果.筆者讓得出方法一的同學在黑板上完整演繹，然后指出其兩點錯誤：1.x>0，y>0條件沒有說明，做法缺乏前提，書寫不規范；2.兩次使用均值不等式，且都沒有注意等號成立時的條件.經過反思，學生清楚認識到解題時需注意細節，兩次使用均值不等式“=”不能同時成立，此題錯解，對“三相等”加深了認識.

（二）在解題的方法規律處反思，訓練思維的靈活性.

通過引導學生反思解題的多種解法，進行方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，比較哪種解法較為簡捷，進一步拓寬學生的解題思路，培養思維的靈活性.對于方法二、三、四，引導學生反思：哪種方法最易掌握，哪種方法最簡捷，哪種方法最新穎，等等.學生通過反思和互相交流探討，發現方法二、三具有共性，即利用條件，消去常數“1”，而方法四采用消元法，解法獨特.通過反思，學生對這類問題的解法規律有了一定的認識，即“消常法”、“消元法”，解題技巧得到提升.

（三）反思題目變式，訓練思維的廣闊性.

在解題教學后引導學生改變題中的條件與問題，進行變式教學.這樣，不僅能加深學生對某種題型結構和特征的理解，而且有利于培養學生認識問題和解決問題的能力.

方法講解完畢，筆者設問：若把條件改為x+2y=3，方法還用嗎？學生思考后，發現其實1=■（x+2y），利用方法二、三易解.若用方法四，則幾乎和原題無區別，只是數值不一樣而已.從而對方法四加深了認識，即消元法在均值不等式問題中更具有一般性.然后，筆者又讓學生做如下練習：已知x，y都是正實數，且2x+y-xy=0，求x+y的最小值.學生埋頭苦作，基礎較好的同學用消元法，即由已知得x=■，代入x+y，再利用均值不等式得到解答，但大部分同學沒有順利解得.我提示道：“事實上這題我們剛剛解過，請看：由已知得：2x+y=xy？圯■+■=1，令m=■，n=■，則m+2n=1，所求變為■+■.”學生恍然大悟，原來此題只是例題的一種變式而已.

（四）在情感體驗處反思.

解題過程并非僅僅只是一個知識運用、技能訓練的過程，而是一個伴隨著交往、創造、追求和喜、怒、哀、樂的綜合過程.在此道例題和習題學習中，學生既品嘗了失敗的苦澀，又收獲了“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的喜悅，他可能是獨立思考所得，也有可能是通過合作協同解決，既體現了個人努力的價值，又折射出集體智慧的光芒.在此處引導學生進行解后反思，有利于培養學生積極的情感體驗和學習動機；有利于激發學生的學習興趣，點燃學習熱情，變被動學習為自主探究學習；還有利于鍛煉學生的學習毅力和意志品格.同時，在此過程中，學生獨立思考的學習習慣、合作意識和團隊精神均能得到很好的培養.

總之，通過解題后的反思，讓學生的思維在解題后繼續發散，“八方聯系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”；通過反思，讓學生對方法、規律得到了及時的小結歸納；通過反思，讓學生撥開迷蒙，看清“廬山真面目”而逐漸成熟起來.在反思中他們學會了獨立思考，在反思中他們學會了傾聽，學會了交流、合作，學會了分享，體驗了學習的樂趣，交往的快慰.