分析和解決問題能力的組成及培養

趙澤峰

摘要：高中數學新課程對于提高分析和解決問題的能力有著更深層次的要求，本文就我們教師在平時教學中應注重分析和解決問題能力的培養的方法和策略上進行研討，得出了一般性的結論。

關鍵詞：高中數學 審題能力 分析和解決問題 數學建模

新課標明確指出：高中數學課程對于提高分析和解決問題的能力，形成理性思維，發展智力和創新思維，起著基礎性作用。分析和解決問題的能力是指能閱讀、理解對問題進行陳述的材料，能綜合應用所學數學知識、思想和方法解決問題，包括解決在相關學科、生產、生活中的數學問題，并能用數學語言正確地加以表述，建立恰當的數學模型，利用對模型求解的結果加以解釋。它是邏輯思維能力、運算能力、空間想象能力等基本數學能力的綜合體現。高考數學科的命題原則是在考查基礎知識的基礎上，注重對數學思想和方法的考查，注重數學能力的考查，強調了綜合性。下面筆者就分析和解決問題能力的組成及培養談幾點雛見。

一、審題能力

審題是對條件和問題進行全面認識，對與條件和問題有關的全部情況進行分析研究，它是如何分析和解決問題的前提。審題能力主要是指充分理解題意，把握住題目本質的能力，分析、發現隱含條件以及化簡、轉化已知和所求的能力。要快捷、準確地解決問題，掌握題目的數形特點、能對條件或所求進行轉化和發現隱含條件是至關重要的。

例1 已知sinα+sinβ=2，cosα+cosβ=2/3，求tgαtgβ的值。

分析：怎樣利用已知的兩個等式？初看好象找不出條件和結論的聯系，只好從未知tgαtgβ入手。當然，首先想到的是把tgα、tgβ分別求出，然后求出它們的乘積，這是個辦法，但是不好求；于是可考慮將tgαtgβ寫成sinαsinβ/cosαcosβ，轉向求sinαsinβ、cosαcosβ。令：

x=cosαcosβ，y=sinαsinβ，于是tgαtgβ=y/x。

從方程的觀點看，只要有x、y的二元一次方程就可求出x、y。于是轉向求x+y=cos（α-β）、x-y=cos（α+β）。

這樣把問題轉化為下列問題：

已知sinαsinβ= 2 ①

cosαcosβ= ②

求cos（α+β）、cos（α-β）的值。

①2+②2得2+2cos（α-β）= ，cos（α-β）= 。

②2-①2得cos2α+cosβ+2cos（α+β）= ，cos（α+β）=- 。

這樣問題就可以得到解決。

從剛才的解答過程中可以看出，解決此題的關鍵在于挖掘所求和條件之間的聯系，這需要一定的審題能力。由此可見，審題能力應是分析和解決問題能力的一個基本組成部分。

二、合理應用知識、思想、方法解決問題的能力

高中數學知識包括函數、導數、不等式、數列、三角函數、復數、立體幾何、解析幾何、排列與組合、統計與概率等內容；數學思想包括數形結合、函數與方程思想、分類與討論和等價轉化等；數學方法包括待定系數法、換元法、數學歸納法、反證法、配方法、分離參數法等基本方法。只有理解和掌握了數學基本知識、思想、方法，才能解決高中數學中的一些基本問題，而合理選擇和應用知識、思想、方法可以使問題解決得更迅速、順暢。

例2 設函數f（x）= （x>0且x≠1）。

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；

（Ⅱ）已知2>xa對任意x∈（0，1）成立，求實數a的取值范圍。

解：（Ⅰ）f′（x）=- ，若f′（x）=0，則x= ：

（Ⅱ）在2>xa兩邊取對數， 得 1n2>a1nx，由于0

由（1）的結果可知，當x∈（0，1）時，f（x）≤f（ ）=-e，

為使（1）式對所有x∈（0，1）成立，當且僅當 >-e，即a>-e1n2。

∴a∈（-e1n2，+∞）

在上述的解答過程中可以看出，本題主要考查了用導數討論函數的單調性，求參數取值范圍利用分離參數法、不等式的解法等基本知識，以及分類討論的數學思想方法的運算、推理等能力。

三、數學建模能力

近幾年來，在高考數學試卷中，都有幾道實際應用問題，這對學生分析和解決問題的能力提出了挑戰。而數學建模能力是解決實際應用問題的重要途徑和核心。

例3 某分公司經銷某種品牌的產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費，預計當每件產品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為（12-x）2萬件。

（Ⅰ）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大？并求出L的最大值Q（a）。

解：（Ⅰ）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為：

L=（x-3-a）（12-x）2，x∈[9，11]。

（Ⅱ）L′（x）=（12-x）2-2（x-3-a）（12-x）

=（12-x）（18+2a-3x）。

令L′=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）。

∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ 。

在x=6+ a兩側L′的值由正變負。

所以：（1）當8≤6+ a<9即3≤a< 時，

Lmax=L（9）=（9-3-a）（12-9）2=9（6-a）。

（2）當9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5時，

Lmax=L（6+a）=（6+a-3-a[12-（6+a）]2=4（3-a）3，

答：若3≤a< ，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9（6-a）（萬元）；若 ≤a≤5，則當每件售價為（6+a）元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（3-a）3（萬元）。

評述：本題考查了函數、導數及其應用等知識，考查了運用數學知識分析和解決實際問題的能力。在該題解答中，學生若沒有一定的數學建模能力，正確解決此題實屬不易。因此，建模能力是分析和解決問題能力不可缺的一個組成部分。

參考文獻：

[1]簡洪權.高中數學運算能力的組成及培養策略[J].中學數學教學參考.

[2]張衛國.例談高考應用題對能力的考查[J].中學數學研究.