添加輔助線巧化梯形

鐘紅

【關(guān)鍵詞】梯形 輔助線 轉(zhuǎn)化

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2013）08B-0055-03

初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)要求學(xué)生能夠證明和解答一些幾何問(wèn)題。但幾何圖形變化無(wú)窮、復(fù)雜多變，給學(xué)生帶來(lái)不少的困擾。有時(shí)因?yàn)橐粭l輔助線沒(méi)有作好而功虧一簣；有時(shí)也會(huì)因?yàn)樽骱靡粭l輔助線而使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，達(dá)到四兩撥千斤的效果。人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)《梯形》這一節(jié)內(nèi)容，教材內(nèi)容比較少，圖形既空又雜，因此，作好輔助線是學(xué)好梯形的關(guān)鍵。下面筆者從教學(xué)實(shí)踐中談?wù)勅绾卧谔菪沃凶鬏o助線：

首先我們來(lái)看看梯形常見(jiàn)的幾種輔助線的作法（見(jiàn)下表）：

一、平移，構(gòu)平行四邊形和三角形

1.平移一腰

【分析】作DF∥AB交AC、BC于點(diǎn)E、F，在等腰直角三角形中求出EF、CE的長(zhǎng)，用DE=DF-EF求出DE，再利用勾股定理可求出CD的長(zhǎng)。

【評(píng)注】在梯形當(dāng)中作平行于一腰的直線可以把梯形轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的平行四邊形和三角形，通過(guò)平行四邊形的性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系及直角三角形銳角三角函數(shù)和勾股定理就可以求解。

2.平移兩腰

【評(píng)注】 作平行于兩腰的直線可以充分利用梯形兩個(gè)底角互余的關(guān)系，構(gòu)出直角三角形，利用在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半則可求解。

3.平移對(duì)角線

【評(píng)注】 作平行于一條對(duì)角線的直線可以把上底+下底轉(zhuǎn)化成同一條線段，利用勾股定理可以求出該線段，即兩底的和，再用梯形的中位線等于它的一半即可求解。

二、延長(zhǎng)，延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形

例5 如圖5所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC=BD，AD=BC，判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論。

【分析】 延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，可得兩個(gè)等腰三角形，利用三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)“兩個(gè)底角相等”，推出∠EDC=∠EAB，進(jìn)一步推出DC∥AB，就可證明。

【評(píng)注】 延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，轉(zhuǎn)化出兩個(gè)等腰三角形，利用等腰三角形性質(zhì)求解。

三、作梯形的高，構(gòu)矩形和直角三角形

2.作兩條高

例7 如圖7所示，已知梯形ABCD的兩條對(duì)角線長(zhǎng)AC=20、BD=15，它的高為12，求梯形ABCD的面積.

【分析】 作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足為E、F，可得矩形AEFD，這樣AD=EF，從而上底AD+下底BC就等于BF+CE，在直角三角形利用勾股定理就可以求出BF和CE，再利用梯形的面積公式可以求出該梯形的面積。

【評(píng)注】 作梯形的高可以把梯形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形，利用矩形的性質(zhì)和直角三角形的勾股定理可以求解。

四、作中位線，利用三角形或梯形中位線定理

1.已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線

例8 如圖8所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，且AD+BC=CD，求證：DE⊥CE。

【分析】 取CD的中點(diǎn)F，連接EF，利用梯形中位線定理得AD+BC=2EF，因?yàn)锳D+BC=CD，所以CD=2EF，根據(jù)在一個(gè)三角形中，如果一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形可以得證。

【評(píng)注】 當(dāng)遇到梯形一腰的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)梯形一腰中點(diǎn)構(gòu)全等三角形，可以把三角形的面積、邊長(zhǎng)、角轉(zhuǎn)化；再由已知條件出發(fā)即可求解。

萬(wàn)變不離其宗，核心是轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把梯形轉(zhuǎn)為我們熟知的三角形和平行四邊形。通過(guò)上述方法，假以時(shí)日，融會(huì)貫通，定能巧妙地解決梯形中的問(wèn)題。

（責(zé)編 林 劍）