從數學思想和數學本質的角度淺談基本不等式

何最祥

摘 要：高中基本不等式這節內容應用很廣，技巧方法也很多，如果缺少數學思想方法和數學本質的學習，就會讓學生學習起來困難。從數學思想和數學本質的角度來分析基本不等式，將雜亂的技巧方法統一起來，讓學生在探究中明白為什么要這么做，這么做的思想是什么，甚至能讓學生感覺到其本質，最后再舉出例子讓學生看到其思想是“配湊法”，其本質是“一正、二定、三相等”，這樣才能讓學生真正地學會運用基本不等式來解決問題。

關鍵詞：基本不等式；數學思想；配湊法

基本不等式是高中數學的重要內容之一，它具有將“和式”“積式”互相轉化的放縮功能，同時也是證明不等式及函數最值的重要工具。大部分的教師在教學生時，都告訴學生口訣“一正、二定、三相等”，也告訴學生要靈活運用；而運用過程的思路方法卻有很多，部分教師在這個過程中給了學生各種題型的練習，最后讓學生記住了方法，知道了如何做題，但是卻丟掉了最寶貴的數學思想方法和數學本質。

我們所學的基本不等式形式多種多樣，證明方法也靈活多變，它的知識本質我概括為：“正”“定”“等”“同”四個字。“正”：基本不等式成立要求各項都為正值；“定”：要求“和”或者“積”為定值，當然也注意在考試時要證明兩個含未知數式的大小關系時，不要求定，定只是用于求取值范圍，求最值；“等”：要探究等號條件是否成立；“同”：在多次取等號是，是否每次取等都滿足，還有分為幾部分取等時要求同時滿足，這個教師很少提及但是該注意它。

很多教師將基本不等式的數學思想分為很多類，正用：由“積式”向“和式”的轉化；逆用：由“和式”向“積式”的轉化；疊用：連續多次使用基本不等式等等。而我覺得這樣的分類只是根據形式而言，根本沒有考慮數學本質和思想問題，以上分類我都歸納為一種配湊法，需要什么配什么。這就是基本不等式的數學思想。

接下來我來舉些例子來讓大家看到數學本質和數學思想的妙用，讓大家知道為什么要這么做。

對比解法一和解法二，你覺得解法一能夠想到嗎？而解法二正是很自然的方法，這就是本質。這道高考題中規中矩，很多學生都會，但是面對我的這個變試題很多人無從下手，其實也很簡單，這就說明學生沒有領悟到數學的本質和思想。

記住我們的本質是數學知識“一正、二定、三相等”，而思想就是配湊法，需要什么造什么。看原高考題直接有了，無需配湊學生都會，而對于變式就是需要什么構造什么，利用加一個減一個，運用簡簡單單的思想就能解決所有的問題。

通過上面兩個奧賽題的分析，我們最終發現了再難的題考得也是最本質的思想。

數學思想培養是數學學科教學的根本任務，高中數學教師應該結合學生的思維能力發展規律，使學生學有所思、學有所悟、學有所得，同時教師也該通過自我領悟，自我反思，自我總結來培養自己的數學思維能力水平。希望每個教師能領悟數學思想，領悟數學本質，傳授給每個學生數學思想和本質！

參考文獻：

[1]史寧中.數學思想概論.東北師范大學出版社，2008.

[2]董毅.數學思想與數學文化.安微大學出版社，2012.

（作者單位 東北師范大學數學與統計學院）