巧用兩點間的距離公式證明不等式

張?zhí)评?/p>

摘 要：通過學(xué)習(xí)過的兩點間的距離公式，去探尋它的幾何意義，并將其幾何意義應(yīng)用于等式和不等式證明題中，啟發(fā)思路，簡化證明過程，感受數(shù)學(xué)之美妙，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：不等式；兩點間的距離公式；高中數(shù)學(xué)

我們在必修二中學(xué)習(xí)了平面中兩點的距離公式.特別地，點與原點間的距離公式為.其實兩點間距離公式不僅對處理解析幾何問題有重要意義，它的幾何意義還在很多方面有著非常廣泛的應(yīng)用.本文就在證明不等式方面舉幾例加以說明.

在高中數(shù)學(xué)解題中，有一類不等式的證明利用常規(guī)方法難以下手，但是若能與兩點間的距離公式聯(lián)系起來，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖冃魏缶涂梢哉业阶C明的思路，并且證明過程非常簡潔，計算也非常簡單，不得不感嘆其巧妙之處.

首先，我們先來看一個等式的例題：

分析：在這個等式的左右兩端，都有根式，常見思路是將左右平方，然后化簡計算.但是計算略顯繁雜，如果利用坐標(biāo)系，構(gòu)造幾何模型并賦以它幾何意義，再用幾何知識解決，將是很好的思路.

通過本例，我們可以發(fā)現(xiàn)，若能發(fā)現(xiàn)其幾何意義，過程就顯得非常簡潔.我們再把這個思想應(yīng)用到下面的不等式證明中.

分析：此不等式若要平方展開作差，計算量非常之大，會讓很多學(xué)生望而卻步.但是我們注意它的形式，與兩點間的距離公式有異曲同工之處，用其幾何意義則能發(fā)現(xiàn)很巧妙的證明方法.

我們再來看下面的例題：

由以上幾個例子我們可以發(fā)現(xiàn)，用幾何方法來證明不等式是如此美妙和簡潔.要使用幾何方法解決代數(shù)問題的關(guān)鍵在于根據(jù)代數(shù)問題的幾何意義，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ?，使代?shù)問題幾何化.以上是筆者在教學(xué)過程中對于兩點間的距離公式在不等式證明中應(yīng)用的一點心得體會，要想能夠達(dá)到熟練運用距離公式來解決問題的目的，還需平時多加練習(xí)，同時多拜讀一些經(jīng)典證法.

參考文獻(xiàn)：

[1]王淼生.數(shù)學(xué)百題 精彩千解[M].福建教育出版社，2009.

[2]吳振奎.數(shù)學(xué)解題中的特殊方法[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011.

（作者單位 福建省福州第四中學(xué)）