與自然數有關的不等式的證明

李鳳娟

摘 要：近幾年高考題頻頻出現與自然數有關的不等式的證明，這類不等式的證明首先想到數學歸納法，但有些用數學歸納法得不到證明，比如2006年浙江高考20題，利用放縮法得到了證明，于是這類問題其他方法的掌握是必要的。以一個引例分別用數學歸納法、放縮法、構造函數利用函數單調性方法、構造數列一對一比較的方法解決了這一問題。

關鍵詞：拓展；高三數學；自然數；證明

【教學目的】

1.拓展學生的思路，使學生對這一問題的處理方式多樣化.

2.學生對一些復雜的不等式總是摸不著頭腦，本案例的設計意在讓學生體會一些復雜的不等式都是由簡單不等式通過不等式的基本性質構造出來的，并不可怕，讓學生從心理上克服對這類問題的恐懼感，降低難度，最終解決這類問題.

“高三數學怎么上？”是數學教學的重要話題.本文記錄了我的一堂高三復習課“與自然數有關的不等式的證明”的教學過程，并就此談一些感受.

【教學過程】

引入：請大家判斷這幾個不等式是否成立？

2>■ ■>■ ■>■

很顯然成立.

通過這幾個不等式，能得到更一般的結論嗎？

生1：不難發現：■>■

這個不等式成立嗎？

生2：成立。兩邊平方■>■

故成立.

很好，由這幾個不等式，大家能構造出一些不等式嗎？

生3：2+■+■+…+■>■+■+■+…+■

還有嗎？

生4：2×■×■×…×■>■×■×■…×■

即得到2×■×■×…×■>■（n∈N*）

很顯然這兩個不等式都成立.

近幾年高考的最后一題經?？疾椴坏仁脚c數列的綜合知識，學生對一些復雜的不等式總是摸不著頭腦，通過這樣的設計意在讓學生體會一些復雜的不等式都是由簡單不等式通過不等式的基本性質構造出來的，并不可怕，降低難度.

我們知道，不等式兩端都是n個式子的乘積，如果沒有前邊的鋪墊，能求出右端是哪n個式子的乘積嗎？

生5：引導學生構造數列{bn}，使b1b2…bn=■

易得bn=■，故只需證■>■

即問題轉化為一對一的證明，這樣大大降低了難度.

那大家想想看，你還能用哪些其他方法證明這條不等式.

學生很自然會想到數學歸納法，找同學證明.

生6：證：（1）當n=1時，顯然成立

（2）假設當n=1時不等式成立，即2×■×■×…×■>■，

則當n=k+1時，2×■×■×…×■×■>■×■=■

故只需證■>■即可，這樣就找到了核心命題.

只需證2（k+1）>■

只需證4k2+8k+4>4k2+8k+3

∵1>0成立，故2×■×■×…×■×■>■成立.

綜合（1）（2）知，不等式對任意n∈N*成立.

數學歸納法是證明與自然數有關的命題的常用方法，在由n=k到n=k+1地證明時往往可以使用分析法證明.但數學歸納法不能解決所有問題.

對于這種恒成立問題，大家還有其他想法嗎？引導學生用構造數列，利用數列單調性來證.

生7：問題轉化為證■>1即可

令f（n）=■

f（1）=■>1，故只需證f（n）遞增即可.

■=■>1，故f（n）遞增.

或f（n+1）-f（n）=■-■=■×■>0，

故f（n）遞增.

太好了！

接下來引導學生由前面的（2n）2>（2n+1）（2n-1）？圯■>■

不等式左端有根號，若兩邊平方則只需證22×■2×■2×…×■2>2n+1即可，∵22×■2×■2×…×■2>3×■×■×■×■…×■×■>2n+1

故原不等式成立.

放縮法也能完成證明，放縮的目的是能求出這n個式子的乘積。

接下來我們看個練習：

證明：1+■+■+…+■<2■（n∈N*）

學生可能首先想到數學歸納法，利用投影儀展示學生的證明過程。然后追問，還有其他想法嗎？

學生8：數學歸納法.

學生9：構造數列{bn}，使b1+b2+…+bn=2■

則bn=2■-2■，故只需證■<2■-2■

學生3：放縮法

■=■<■=2（■-■）

放縮的目的是什么？

生：求和.

很好，由前面的放縮，大家猜一下1+■+■+…+■會大于什么呢？

啟發學生由2（■-■）<■<2（■-■）得

2（■-1）<1+■+■+…■<2■（n∈N*）

通過這兩個題目讓學生充分掌握與自然數有關的不等式的證明的常用方法。

小結：與自然數有關的不等式的證明的常用方法：

（1）數學歸納法

（2）構造數列一對一比較

（3）利用函數單調性

（4）放縮法

反思：通過這節課的復習，一是讓學生意識到很多復雜的不等式都是由簡單的不等式根據不等式的基本性質構造出來的，從心理上讓學生感覺沒那么困難。學生最先想到數學歸納法，但數學歸納法也是有局限性的，拓展一下學生的思路，還可以通過構造數列轉化為一對一的比較，也可通過函數的單調性轉化為求函數的最值，其實不等式的本質也就是兩個函數值比較大小。亦或通過放縮法實現證明，相對來講難度大些，因放縮要適度，否則放得太大或太小，都達不到目的。

參考文獻：

陳德華.與自然數n有關的不等式的幾種證明方法.新課程：教研，2010（08）.

（作者單位 浙江省溫州中學）