在高中數學解題教學中如何滲透數學思想方法

張丹丹

摘要：在高中數學教學過程中，學生普遍存在碰到數學題不知該如何下手或過于依賴教師講解、對數學問題缺少方法等問題，教師在教學過程中不僅要注意引導學生掌握解題技巧和解題方法，還要引起學生對數學思想的重視，因為數學思想方法的掌握和正確運用，對解題能起到事半功倍的效果。

關鍵詞：高中數學；解題教學；數學思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)07-0138

數學思想是數學理論和內容經過人腦思維活動而產生并存在于人腦中的一種意識，它是對數學事實與理論內容的最根本認識；數學方法是數學思想在研究數學問題過程中的具體表現形式，實際上它們的本質是相同的，差別只是數學方法站在解決問題的角度看問題，而數學思想是站在問題最本源的角度去思索問題。通常統稱為“數學思想方法”。常見的數學思想有：函數與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想、數形結合思想等。

一、函數與方程思想

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學特有的語言將問題中的條件轉化為數學模型(方程、不等式、或方程與數學思想方法不等式的混合組)，然后通過解方程(組)或不等式(組)來使問題獲解；有時，還能實現函數與方程的互相轉化，達到解決問題的目的。例如，數列是特殊的函數，函數有解析法、列表法、圖像法三種表示方法，相應的數列就有通項公式、遞推公式、列表、圖像等表示方法，用函數的單調性、最值等性質解決數列問題非常快捷。

二、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想是把生疏問題轉化為熟悉問題、復雜問題轉化為簡單問題、抽象問題轉化為具體問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉化，學生可以把未知解的復雜問題轉化為在已知范圍內可解的簡單問題。我們教師要不斷培養和訓練學生自覺的轉化與化歸意識，這將有利于訓練學生思維能力，使學生更聰明、更靈活、更敏捷；也有助于我們提高教學水平。

三、分類討論思想

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，對此，我們必須對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。以下是來自教材的命題：

例1. 若loga3/4<1(a>0且a≠1)，求實數a的取值范圍。

解：因為loga3/4

當a>1時, 函數y= logax在其定義域上遞增,則有a>3/4,故有a>1 成立。

當0

綜上所述，a>1或0

例2. 已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}若BA，求實數a的值。

解：顯然集合A={-1，1}，對于集合B={x|ax=1}，

當a=0時，集合B=滿足BA，即a=0；

當a≠0時，集合B={}，而BA，則，=1或=-1，

得a=-1，或a=1，

綜上所述，實數a的值為-1，0，或1。

在教學中，教師要和學生一起分析總結引起分類討論的原因主要有以下幾個方面：

①題目所涉及的數學概念是分類進行定義的。如指數函數、對數函數的定義中對底數a的要求是a>0且a≠1。這種分類討論題型可以稱為概念型。如例1。

②題目中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

③解含有參數的題目時，學生必須根據參數的不同取值范圍進行討論。例如解不等式mx>2時分m>0、m=0和m<0三種情況進行討論。這稱為含參型。如以上例2。

④某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都需要通過分類討論，以保證其完整性與確定性。

在解答分類討論問題時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的；標準是統一的；不重不漏的科學劃分；分清主次；不越級討論；其中最重要的一條是“不重不漏”。我們的基本步驟是：首先，要確定討論對象及所討論對象的全體范圍；其次，確定分類標準并進行正確合理的分類，即標準統一、不漏不重；再次，對所分類別逐類進行討論，獲取階段性結果；最后，歸納總結得出結論。

四、數形結合思想

數形結合思想方法，包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段、數為目的，比如運用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；二是借助于數的精確性和嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段、形作為目的，如解析幾何中運用橢圓、雙曲線、拋物線的方程來精確地闡明這三種曲線的幾何性質。

例3. 方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個不相等實數根，則a的取值范圍()

A. 空集B. (5，9) C. (1/7，1/3)D. (5，9)∪(1/7，1/3)

解：因為方程sin((πX)/2)=logaX，(a>0且a≠1)，恰有3個不相等實數根，所以函數y=sin((πX)/2)和函數y=logaX的圖像有3個交點。

做出函數y=sin((πX)/2)在區間[0，10]的圖像，(周期為4)

當a>1時，作出函數y=logaX的圖像，(單調遞增)因為有3個交點，

所以loga5<1且loga9>1,

解得5

當0

所以-1

解得1/7a<1/3。

綜上所述，a的取值范圍是(5，9)∪(1/7，1/3)

師生共同觀察黑板上畫的圖象，很明顯地能看出a的取值范圍。

師：同學們反思一下自己的解題過程，用兩句話概括出解決本題的關鍵是什么？

生：利用函數與方程思想方法解題，關鍵是找到函數。

生：利用數形結合思想方法，找到圖像的交點。

師：很好。本題運用函數思想的前提是把求方程的實根轉化為求兩個函數的圖像交點。此題，我們可以體會到函數思想和數形結合思想以及轉化與化歸的思想。希望在以后的解題中，同學們能敞開思路，實現數學思想方法在解題中的應用。

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數形結合的思想，巧妙地將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，是數的問題與圖形之間相互轉化的橋梁。

數學問題的解決過程是用“不變”的數學思想和方法去解決不斷“變換”的數學命題,在數學問題的解決過程中滲透數學思想和方法，不僅可以加快和優化問題解決的過程，而且可以達到會一題而通一類的效果。結果表明，在高中解題教學中，教師滲透數學思想方法，有利于提高學生對數學的學習興趣，加深對數學理論內容的理解，從而提高了學生的數學素養以及數學解題能力，同時也有助于我們教師提高自己的教育教學水平，所謂“教學相長”說的就是這個道理。

另外，在學生解完一道數學命題后，教師要引導學生積極地進行反思，這種反思能較好地概括學生的思維活動，從而上升到數學思想方法上來。同時由于學習的不可代替性，教師在積極引導學生進行反思的同時還要善于引導學生學會自己提煉數學思想方法，幫助學生領悟數學知識與解題過程中隱藏的數學思想方法。