構造法在初中數(shù)學解題中的應用

肖學仕

【摘要】 構造法是一種重要的數(shù)學解題方法，在解題中被廣泛應用. 構造法是一種極其富有技巧性和創(chuàng)造性的解題方法，特別是有些問題，用構造法更簡潔明了. 本文簡單闡述了構造法的概念，重點論述了構造法在初中數(shù)學解題中的運用. 【關鍵詞】 初中數(shù)學；構造法；解題法

構造法是根據(jù)題設的特點，用已知條件中的元素作為“元件”，用已知的關系式為“支架”，通過觀察、聯(lián)想，采用新的設計，構造出一種新的問題形式，從而繞過解題障礙，使問題得到解決的一種方法.

1. 構造函數(shù)

在求解某些數(shù)學問題時，根據(jù)問題的條件，構想組合一種新的函數(shù)關系，使問題在新的觀念下轉化并利用函數(shù)的有關性質(zhì)解決原問題是一種行之有效的解題手段. 構造函數(shù)證（解）問題是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性，在運用過程中，應有目的、有意識地進行構造，始終“盯住”要證、要解的目標.

例1 （八年下課本習題變式）某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，共50件. 已知生產(chǎn)一件A種產(chǎn)品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元.

（1）按要求安排A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)，有哪幾種方案？請你設計出來；

（2）設生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品獲總利潤為y（元），生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，試寫出y與x之間的函數(shù)關系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？

解 （1）設需要生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件，那么需要生產(chǎn)B種產(chǎn)品（50 - x）件，由題意得：

9x + 4（50 - x） ≤ 360，

3x + 10（50 - x） ≤ 290，

解得：30 ≤ x ≤ 32.

∵ x是正整數(shù)，

∴ x = 30或31或32.

∴有三種生產(chǎn)方案：

① 生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品20件；

② 生產(chǎn)A種產(chǎn)品31件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品19件；

③ 生產(chǎn)A種產(chǎn)品32件，生產(chǎn)B種產(chǎn)品18件.

（2）由題意得：y = 700x + 1200（50 - x） = -500x + 60000.

∵ y隨x的增大而減小，

∴ 當x = 30時，y有最大值，最大值為：y = 45000（元）.

答：y與x之間的函數(shù)關系式為：y = -500x + 60000，（1）中的方案①獲利最大，最大利潤為45000元.

2. 構造方程

根據(jù)問題條件中的數(shù)量關系和結構特征，構造出一個新的方程，然后依據(jù)方程的理論，往往能使問題在新的關系下得以轉化而獲解. 如列方程解應用題、求動點的軌跡方程等即屬此法.

構造方程解題體現(xiàn)了方程的觀點，運用方程觀點解題可歸結為三個步驟：

A. 將所面臨的問題轉化為方程問題；

B. 解這個方程或討論這個方程的有關性質(zhì)（常用判別式與韋達定理），得出相應結論；

C. 將方程的相應結論再返回為原問題的結論.

（1）某些題目根據(jù)條件，仔細觀察其特點，構造一個“一元一次方程”求解，從而獲得問題解決.

例2 設a > b > c且a + b + c = 1，a2 + b2 + c2 = 1，求a + b的范圍.

解 由a + b + c = 1得a + b = 1 - c.①

將①的兩邊平方并將a2 + b2 + c2 = 1代入得ab = c2 - c.②

由①②可知，a，b是方程x2 + （c - 1）x + （c2 - c） = 0的兩個不等的實根，

于是Δ = （c - 1）2 - 4（c2 - c） = -3c2 + 2c + 1 > 0，

解得：- < c < 1.

即：- < 1 - （a + b） < 1，

∴ 1 < a + b < .

（2）有些問題直接求解比較困難，但如果根據(jù)問題的特征，通過轉化，構造“一元二次方程”，再用根與系數(shù)的關系求解，使問題得到解決. 此方法簡明，功能獨特，應用比較廣泛，特別在數(shù)學競賽中的應用.

例3 已知實數(shù)x，y，z滿足x + y = 5，z2 = xy + y - 9，求x + 2y + 3z的值.

思考與分析 根據(jù)本題的題設可能使我們聯(lián)想到韋達定理，但仍需進行合理的變形，才能構造出方程組去求解.

解 由已知可得：（x + 1） + y = 6，

（x + y）y=z2 + 9.

以x + 1，y為兩實數(shù)根，構造方程t2 - 6t + z2 + 9 = 0.

∵方程有實數(shù)根，

∴ Δ = （-6）2 - 4（z2 + 9） = -4z2 ≥ 0，

由此得到z2 = 0，且Δ = 0.

∴ 方程t2 - 6t + 9 = 0有兩個相等的實數(shù)根，

∴ t1 = t2 = 3.

于是x + 1 = y = 3，

∴ x = 3，y = 3，z = 0.

∴ x + 2y + 3z = 2 + 2 × 3 + 0 = 8.

從以上各例不難看出，構造法解題有著你意想不到的功效，問題很快便可解決. 構造法解題重在“構造”， 通過仔細地觀察、分析，去發(fā)現(xiàn)問題的各個環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系，從而為尋求解法創(chuàng)造條件. 因此，在解題時，若能啟發(fā)學生從多角度、多渠道進行廣泛的聯(lián)想，就會得到許多構思巧妙、新穎獨特、簡潔有效的解題方法，而且能加強學生對知識的理解. 運用構造法解題能培養(yǎng)學生思維的靈活性，提高學生分析問題的創(chuàng)新能力，也可從中欣賞數(shù)學之美，感受解題樂趣.