向量在高中數學解題中的應用分析

楊帆

【摘要】高中數學教學中最為重要的教學與研究任務就是向量教學，它是研究代數、幾何問題的關鍵.高中數學向量知識的學習和應用，有助于學生更好的體會數學與生活及其他學科之間的相互關系，進而理解數學的使用價值.

【關鍵詞】向量；高中數學；應用分析

高中數學教學中，向量教學是重要執教內容之一，并且其在代數、幾何等領域都具有重要的使用價值.新課改增加了高中數學中的向量教學內容，深化了向量教學的內容，因而，必須以新的思路和觀念來看待高中向量教學.文章分析了向量法在高中立體幾何、平面幾何、三角函數、不等式等方面的應用，以增強學生對于高中向量知識的理解和實際應用能力.

一、向量的基本認識

向量早在19世紀就已經成為物理學家、數學家研究和應用的對象，到了20世紀，向量被引入了數學教學領域.我國于上個世紀九十年代將向量并入了高中數學教學大綱中.

二、向量在高中數學解題中的應用分析

1.向量法在立體幾何中的應用

向量在立體幾何中應用，與在平面幾何中的應用模式一致，但加入了立體幾何中的空間想象，使得學生在傳統的幾何問題處理模式中面臨一定的差異，因而，采用向量法，能夠促使幾何問題簡化，化繁為簡，找到問題答案.

例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點.在棱C1D1上是否存在一點F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結論.本題可以應用向量法求解.

解析 以A 為坐標原點，建立坐標系，設正方形的棱長為2，則B（2，2，0），E（0，2，1），A1（0，0，2），B1（2，0，2），

∴BE=（-2，2，1），BA1=（-2，0，2），

設面BEA1的法向量為m=（x，y，z），則

m·BE=-2x+2y+z=0且m·BA1=2x，2z=0，取x=1，

則z=-1，y=32，.∴m=1，32，-1.

假設在棱C1D1上是存在一點F，使 B1F∥平面A1BE，設F（x0，2，2），（0≤x≤2）

則BF=（x0-2，2，2），則m·BF=1×（x0-2）-32×2-（-1）×2=0.

解得x0=1，∴當F為C1D1中點時，B1F∥平面A1BE.

2.向量法在平面幾何中的應用

（1）利用向量法求出直線方程

例如，已知△ABC的三個頂點分別為A（0，-4），B（4，0），C （-6，2），點E，F，D分別是AB，AC，BC 的中點，求直線FD，EF，DE 的方程.

已知三角形三個頂點的坐標，A（0，-4），B（4，0），C （-6，2），能夠得知中點F，D，E的坐標分別為（2，-2）、（-1，1）、（-3，-1），設M（x，y）為DE 上的一個點，由于DM∥DE，則xty，=xzy 就能求出DE所在方程，同理，可以求出EF、FD所在的方程.

利用向量分析幾何元素之間的關系，將上述問題轉換為共線向量與直線向量的問題，就能夠得出EF，FD的直線方程.

（2）向量法在不等式中的應用

在求解不等式的過程中，可以采用向量法.例如，a2+b2±c2+d2的結構，可以構造向量的和與差，利用向量的三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求解.

例1 證明

（x-2）2+9+（x-5）2+1≥5.

證明 設 a=（x-2），b=（5-x，1），

由|a|+|b|≥|a±b|，得出

（x-2）2+9+（x-5）2+1≥（x-2+5-x）2+（3+1）2，

得出（x-2）2+9+（x-5）2+1≥5.

利用向量法求解，比三角代換、兩點間的距離公式等都簡單，解法新穎、構思 巧妙，同時也可以為學生展示出數學建模的整個過程，即：問題、建模、還原，發揮向量的工具性作用.

3.向量法在三角函數中的應用

向量在三角函數中的應用，可以用來證明正余弦的兩角和與兩角差的問題.例如，證明cos（α-β）=cosαcosβ+

sinαsinβ.

證明 設（e1，e2）是平面上的標準正交基，a，b是平面上的單位向量，a與e1的夾角為a，b，與e2的夾角為β，且a>β.向量a在（e1，e2）下的坐標為（cosα，sinβ），向量b 在（e1，e2）下的坐標為（cosβ，sinβ），則有|a|=|b|=1.

所以a·b=|a|·|b|cos（α-β）=cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ

由此可見，三角函數中采用向量解法，能夠借用幾何的直觀性、簡潔性，更好的完成求解的過程.

結 語

總之，以往的幾何學習主要是基于一個圖形的性質推斷出另一個圖形的性質，這種學習方式往往缺乏規律性，高中學生很難掌握.采用向量法的“形-數”推理法，有較強的規律性，適合高中學生應用.向量作為一種數學工具，可以應用其相關知識與理論、運算方法，化繁為簡，進行求解，從而在很大程度上降低運算量，更加有利于培養學生的創新意識.