初中數學教學的課前準備、課中引導及課后實踐

徐淑耀

摘 要：新課改實施的大背景下仍存在不能運用恰當的教學方法引導學生進行探索學習的情況。結合一線教學實踐，分別從課前、課中和課后三個階段來細談知識萌芽、生成和發展，最終生成能力的心得體會和經驗。

關鍵詞：初中數學；課前準備；課中引導；課后實踐

校園里我們經常聽到學生抱怨數學學不好，甚至有的學生課上、課下忙得不亦樂乎，但是考查成績總是上不去，這肯定是教學方法和學習方式出了問題。隨著新課改的實施與推廣，我們在遵循學生實際認知規律的前提下對教學方法和教學方式進行了篩選、優化和創新探索，當然由于課堂時間的限制，我們不能一股腦地將眾多教學方法都照搬進來，這就要求我們一定要結合教學內容的特點，根據學生普遍的認知規律，設定可以雙向調節的教學模式，這樣才能最大限度地引導學生參與到教學活動中來。鑒于此，筆者根據自己的教學經驗，以自己的成功課堂教學經歷為藍本，分別從課前準備、課中引導及課后實踐三個階段來闡述一線教師應做的準備、啟發、引導和評價等工作。

一、課前準備

凡事預則立，不預則廢。課堂教學要有大量的課前準備，過程包括對教學內容的詳細了解，對容易出現的問題進行預設；對每個層次學生認知規律的把握及對應設置教學方法，只有這樣才能做到事無遺漏，面面俱到。作為一門邏輯性比較強的學科，學生在學習過程中可能會遇到許多概念難以理解或者是方法不會運用，假如我們不能進行提前預設，就有可能出現捉襟見肘、丟三落四的尷尬局面，嚴重影響教學效果。這里筆者從教學內容和學生認知兩個方面進行備課討論如下：

（一）備教材

教材是傳遞知識的媒介，是引導學生夯實基礎的根本。實踐證明，盲目地偏離教材搞題海戰術是錯誤的。作為知識傳播者，教師在課前一定要對教學內容了如指掌，不能有絲毫的盲點，此外還要對該知識點上下聯系的內容有所回顧和前瞻，對學生可能理解困難的地方提前設計巧妙的解答方案，這樣做才能心中有數，才能引導學生以正確的方式展開探索與研究。

1.抓實基礎，解析難點

數學教材通常都是給出概念或者推導出定理，然后再設定一兩個例題，最后根據新學的內容設定幾個當堂練習。這些就是學生遷移知識、生成能力的最基本過程，是養成學生嚴謹的學習習慣的必由之路，一定要戒驕戒躁不能盲目拔高。

例如，學習平面幾何“相似形”內容時，我們要前瞻性地將相似三角形作為重點，再具體就是要在相似三角形的定義及三個判定定理為重點。因為在以后的學習和生活中，相似三角形在解決問題上有著廣泛的應用。我們還要具體設定如何讓學生運用相似三角形性質來解決實際問題，比如，測旗桿的高度等教學活動。我們還要考慮證明的需要如何指導學生自制教具，以提升學生的動手實踐能力。

通常備課時，要從比較容易出現的問題著手，采用由一般到特殊的認知方式將抽象的知識和概念形象化，有效降低理解難度，易于學生接受。

2.互動生成，超越教材

備課不僅僅是寫教案，最重要的是我們還要根據學生認知，設置啟發他們參與互動討論的引導方案，如此方能有效貫徹以生為本的新課改理念。另外，我們還要根據學生的不同認識能力設定相應梯度的問題引導。這樣才能差優兼顧，共同進步。

例如，學習相似三角形，我們可以對比前面所學的全等三角形，這樣利于鞏固知識和區分運用；學習不等式可以對比方程來學習。這些都是讓學生在自主、互動的環節中來實現，有效完善知識，生成能力。

（二）備學生

學生是學習的主體，數學教師備課需要尊重學生的學習主體地位，我們要了解和掌握學生的認知規律，尊重個性差異，備課時分析學生的知識結構差異，找好新知識學習的切入點，努力探索以科學的教學模式引導學生發展：

1.分層備教

學生由于教育背景不同，認知能力和知識結構也各有差異。我們一定要正視這種客觀現實，不要進行一刀切的教學設計，分層次設計例題，讓學有余力的同學可以發散思維，拓展拔高；讓基礎差點的同學可以夯實基礎，步步為營，使學習能力和知識結構不同的同學各有所得，都能體驗到獲取知識的愉悅感和成就感，這樣才能具體問題具體分析，引導大家共同提高。

2.預設發難

活躍的教學氣氛中，總會有學生突然拋出問題進行發難，為了講解更全面，我們在備課時一定要針對教學內容可能出現的問題進行問題預設，這樣做不僅可以強化自身的知識儲備，提升應變能力，還能在遇到學生的“突然襲擊”時旁征博引，厚積薄發，順便將其他可能出現的問題捋順。

二、課中引導

隨著新課改的實施與推廣，諸多一線教師根據初中生的認知規律總結出許多高效的教學方法。這里筆者從教學方法、方式以及數學思想等角度進行討論：

（一）教學方法

教學方法就是我們在課堂教學中為了實現教學目標，運用的教學手段。方法針對的是教學細節如何操作的問題。本文結合教學實踐總結幾點課堂常用的符合初中生認知規律的方法：

1.巧設情境，牽引探索

初中生正處于好奇心和叛逆心都比較強的青春期，思考問題多以形象思維為主，容易感情用事，對抽象理論說教容易膩煩。這就要求我們一定要拋棄絮絮叨叨的講解，要在開課伊始就從他們的實際認知規律出發，設定符合他們認知發展的活潑、生動的情景來牽引他們產生濃厚的探索興趣，這樣才能有效地驅動他們進行探索與學習。

例如，在教學“相似三角形的運用”時，假如我們一上臺就開始解釋定理，然后設置題目讓大家處理，那同學們肯定沒有積極性，甚至會激起逆反心理，為了能激活學生的興趣，進而牽引他們深入學習，筆者就設置了一個導入情境：今天咱們要學一個絕活，然后手指校園的旗桿，問大家：有人能測出它的高度嗎？同學們一頭霧水，紛紛說沒法攀爬。然后我故弄玄虛：今天學的這個絕活別說是這根旗桿，就是遠處那棟大廈都測之不在話下。大家聽了無不震驚，學習我絕活的欲望悄然升起，然后筆者帶大家走到旗桿下通過教鞭和影子組成的三角形與旗桿和它的影子組成的三角形的相似性質，巧妙算得旗桿的高度。至此，大家豁然開朗，對相似三角形性質的運用產生了深刻的印象。筆者趁熱打鐵，讓大家嘗試測教學樓的高度，大家得心應手。endprint

2.聯系實際，勤于動手

實踐是我們探索真理和檢驗真理的唯一方法。數學在實際生活中有著很強的實踐操作性和應用性，在我們的學習和生活中處處都要用到數學。因此，在數學教學中，我們不要總是領著學生記憶定義，更不要玩題海弄得離心離德，我們要引導學生通過動手實踐來一步步認識知識生成和發展的過程，這樣才能讓他們心服口服，記憶深刻，才能有效遷移知識，提升能力，掌握運用技能。

例如，在學習等腰三角形的性質時，這樣看似簡單的內容我們越要引起重視，筆者為了強化學生理解記憶，就讓大家用紙剪好三個全等的等腰三角形，然后分別在上面畫出底邊上的高、中線和頂角的平分線，然后讓他們將三個三角形各邊對齊，舉起來看看，大家就會發現“三條線重合”在一起。如此，讓大家通過互動實踐生成的課堂生動活潑、印象深刻。

由這個教學案例我們認識到，動手實踐才是知識的生成之道，才是能力的發生源泉。說一百次不如做一次，自己實踐得來的知識，才能更好地生成技能，這樣才是真正地提高課堂教學效率，促進學生全面發展的教學方法。

3.開放問題，啟迪方法

數學解答是講求方法的，現行的能力型數學題許多不是一對一的固定答案和對應邏輯，在初中數學中我們經常會見到需要進行討論才能得出結論的數學題，所以，我們不要只教大家如何計算，如何證明，我們要教大家思考問題的方法和角度，這樣才能培養學生邏輯思辨推理能力，在遇到開放性問題時能進行實際解決。所以，筆者經常用開放型問題來訓練學生的邏輯思維能力，以期幫他們突破固定的學習模式，得到全面的發展。

例如，假設a和b滿足ab=1，那么1/（a2+1）+1/（b2+1）=____。這題一看計算量好大啊，其實不然，我們可以通過其他角度來進行解答，如，特殊值法。既然ab=1那我們就假設a和b都是1，這樣得結果是1；為了防止錯誤，我們再假設當a=2，b=1/2時結果也是1；當然我們也可以進行推理：ab=1可得a=1/b然后帶入，也可以得出結果是1。學生在尋找不同的數學解法和解題思路時，數學思維能力也會隨之得到提高，掌握思路和方法，才能實現知識與能力的對接。

（二）教學方式

與教學方法不同，教學方式注重的是課堂的組織形式。教學方法得當，組織方式不合理也會影響到教學質量。通常用的教學方式有兩種：分層教學法和合作學習法。

1.注重分層教學

我們在備課時就已經在承認學生客觀差異的基礎上對學生的實際認知能力、基礎情況和特長優勢進行了分析，然后在課堂教學中我們要具體落實分層教學，以防止一刀切的教學方式帶來的消極影響。

（1）教學內容的層次

分層教學還要包括教師對教學內容的分層把握。一堂課涉及的內容，我們要明確重點、難點。對于了解型內容應該怎樣引導，重難點應該如何釋講，我們都要認真研究新課程標準，不要想當然，這樣才不至于失了教學重心，才能做到心中有數，切中知識要害。

（2）對應層次設置問題

教學實踐中我們根據學生的實際情況進行基礎型、能力型和創新型三個層次的劃分，這就要求我們就為這三個層次設置不同的引導問題，經驗豐富的老師就能抓住新舊知識結合點進行有層次對應的引導和設問。

例如，教學二次函數后時，學生對它的單調性有了初步了解，這時我們就可以這樣設置問題引導學生探索思考：①請畫出二次函數y=x2-ax+2的圖象并分析它的增減性；②如果該函數在x<0之間是遞減的，那么a的取值范圍是多少？③該函數與x軸如果只有一個交點，請問a是多少？這三個問題步步緊逼，層層深化，可以讓三個層次的學生分別得到鞏固和發展。

2.合作學習

合作學習是常用的學習方法，初中數學有許多難點知識，如果只靠一己之力可能無法短時間內容完成知識遷移，這就要求我們組成學習小組，進而相互啟發，產生1+1>2的教學效果。通常我們在學生認知規律的基礎上根據“組內異質，組間同質”的原則分成4～5人的小組。組內設組長一名，根據大家的特長和優勢分配任務，然后再讓大家交換體驗知識生成。

例如，因為三角形的性質和應用比較多，所以，我們在八年級學習完三角形的知識后，為了強化大家的運用能力，筆者就組織學習小組要求大家將學過的三角形知識進行歸納梳理。這樣的總結性學習個人操作肯定不如團隊操作節約時間，效果良好。果然，大家在分工下進行責任區內整理，然后再通過合作交流完善其他區域的知識。這個過程中教師適時指導，形成良好互動，取得良好效果。

（三）數學思想

數學思想方法在我們解決問題時，具有提綱挈領的作用和指導性的地位，所以，數學教師要時刻注意引導學生運用恰當的數學思想方法來分析和研究問題。這里由于篇幅只討論以下幾種：

1.數形結合探索

廣義上講數學就是對空間形式和數量關系的研究和描述，數與形是數學最基本的概念。數形結合實質就是就是截圖形象的圖像來表達和描述抽象的數量關系和概念，它能讓我們根據解題要求將幾何問題用代數化解，代數問題幾何描述最終達到簡化試題，提高解題效率的作用。

例如，我們在學習“一元一次不等式和一元一次不等式組”時，為了讓問題更簡單明了，給同學留下深刻印象，我們就可以采取形象、直觀的數軸來表達不等式的解集，這樣通過直接的觀察分析就能最終掌握不等式的解集是所有符合相應條件的數的集合。

2.分類討論研究

現行的數學問題越來越切近現實生活，而生活中許多問題都未必是只有一種死答案，往往需要我們根據實際情況進行討論，優選或排除。實際解題中我們經常會遇見受成立條件的制約的解答范圍，所以，我們在解答過程無法用統一的答案形式來概括，需要經過分類討論來確定。

例如，函數問題最常見根據未知數取值范圍進行分段討論的閾值問題。且看下題：假如y=（a-2）x2+（a-5）x-1（a為實數）的圖象與x軸僅有一個交點，那么a的值是多少。endprint

分析：這道題我們一看是二次冪就按二次函數來求解，得出：只有當Δ=（a-5）2+4（a-2）=0時函數頂點在x軸，也是函數圖象與x軸的唯一交點?？傻贸鯽無解。

但是還存在一種情況就是：當a-2=0時函數變成一次函數，這時表達為：y=-3x-1，很明顯其與x軸有且僅有一個交點（-■，0），最終得出a=2。

由上例可見，如果不討論我們就會忽略關鍵步驟，分類討論是面面俱到的解題方式，它能將復雜的問題化整為零，解題思路調理清晰、有條不紊，問題答案豁然開朗。

3.函數思想

函數是數學中最重要的概念和思想方法，它概括數量之間的關系。函數思想就是我們在解題時候巧妙借助函數的性質和概念經過研究解決實際問題。初中數學對函數思想做了基本的安排，這里選取用代數式來演示函數思想方法的應用：

例如，針對下列代數式：2x+3…①；■+2…②；3x+■ …③。筆者曾引導學生聯系函數的性質這樣解釋：代數式①表示對于任意數x，都存在一個對應的定值2x+3；代數式②可以理解為，只要x不等于1，那么就會有一個對應的定值■+2；代數式③可以這樣描述：任意大于或等于1的值x都存在對應的值3x+■。只要我們掌握用函數思想理解的方式和方法，在具體的應用題問題上就能得心應手。

4.等價轉化思想

等價轉化就是在質不變的情況下降抽象的復雜的問題轉換成容易的熟悉的問題，是我們最常見的數學思想方法之一。其實我們仔細觀察許多地方用的都是等價轉化思想。

例如，解最簡單的方程5+x=8我們就會等價轉換成x=8-5這樣就容易算出x=3；二次方程組消元轉化為一元一次來得出答案也是一種等價轉換。

初中數學教學中，我們首先要引導學生通過最簡單的消元和轉換等基本技法去解決根本性問題。轉化思想方法要求我們遵循熟悉化、簡單化、直觀化和標準話的原則，將數學問題及時轉換成我們比較熟悉的方式來解答或者將相對繁瑣的、復雜的問題轉化為簡單明了的問題，譬如解題過程中經常用到的從分式到整式、從無理式到有理式等。

5.建模思想

其實知識運用的本質就是我們對需要處理的問題對大腦中儲備的知識模型進行對比模仿。所以，數學教學中我們一定要讓學生注意積累，養成建模的好習慣。

例如，學習數學就是為了生成解決實際問題的能力，對于生活中資源優化配置的問題諸如，最佳投資、最佳設計、最小成本和最大利潤等問題會常常遇到，這些問題我們就可以抽象歸納成最值問題。這里就通過一個實例分析一下怎樣將實際問題構建成函數問題來解決。

例如，某連鎖旅店有50個房間，數據顯示，如果房間單價定成180元/天能全部住滿，可是如果每上調10元時，就會多余出一間，假設旅店住客的成本是20元，那么怎樣定價才能賺取最大利潤？

分析：根據題意我們發現利潤與單價、租住數量之間有函數關系，比如，單間在180元的基礎上調x元（x>0，且x為10的倍數），居住房間是（50-x/10）間，如果我們用y表示當天利潤的話，其函數模型就是為：y=（50-x/10）（180+x-20）

即y=-1/10（x-170）2+10890

這樣看來函數有最大值，也就是當x=170時，函數最大值y=10890。所以，房間單價是：180+170=350（元）時，賓館可以攫取最大利潤10890元。

如此設置引導，讓學生體驗典型問題的解決過程，并形成的一個數學結構，領悟到同類型問題的數學思想和數學方法，有效構建知識脈絡，生成數學能力。

建模的原理就是將常見數學情境和問題進行抽象和概括，建立健全相應的解決問題的途徑模型，讓數學關系更清晰明朗。中學階段常見的建模思想運用很多，其中有方程（組），函數解析式，圖解法等。教學實踐中我們一定要優選比較典型的問題作為建模標準，如此方能達到舉一反三，實現由點到面的知識遷移和能力生成。

三、課后實踐

這里說的課后實踐是針對課堂的最后幾分鐘的反思練習，用于總結和錯誤預防，還包括課堂后的數學探索活動，筆者通常設置任務或者課題探索來驅動學生去鞏固知識。

（一）反思引導，查漏補缺

孔子說：“學而不思則罔，思而不學則殆?！彼?，課后我們要留下幾分鐘查漏補缺。實際上，學生對絕大多數初中數學概念理解都不成問題，但是許多細節卻不能引起他們的重視，如果不加以反思、發現和矯正就很容易“養虎成患”。因此最后幾分鐘，我們可以通過提前預設好的大家容易出錯的問題來矯治學生的麻痹大意。

這里舉一個簡單的例證：在學習完分式的概念和意義后，許多學生都覺得簡單，對于練習也是不屑一顧，于是筆者就抓住細節設置了如下問題：“如果使x-2/■是負數，那么x滿足什么條件？同學們一看基本試題，于是得出結論x<2即可?？纯粗杏嫲?，細節上栽跟頭了吧。其實這就是個陷阱問題，題目中分母確定是正數，所以只要考究x-2<0就行，但是有一個前提是這個分式必須有意義，這樣的話分母■不能等于0，x<2區間內要把x=-1的情況排除。在這一過程中，我們通過巧設陷阱，引導學生上當一次，迫使學生養成勤于思考、時時反思的良好學習習慣。

有效利用錯誤資源進行反思是學生內化知識的必經階段，所以，我們一定要給學生留出空間，讓他們養成糾錯反思的習慣，做到在學習中反思，在反思中進步。

（二）課下活動，實踐應用

針對課下作業，我們不要去堆積習題。筆者通常是根據新學的數學知識給大家布置操作性比較強的數學探索活動。這樣以生活化的問題讓學生在實踐中發現問題、探索問題和解決問題的知識生成能力全過程，才是夯實基礎，提升技能的必由之路。

例如，學完函數探求最值的數學模型思想后，筆者就給大家出了個實際問題讓大家來解決：我家想裝電信的網線，但是老師沒有時間去了解，請同學們利用課余時間幫老師選一種比較優惠的套餐。同學們給老師辦事的積極性很高，利用周末去電信，對方給出兩個套餐：一種是包月65元；另一種是按時間算，每小時3元，兩種收費整理成y元與x小時的函數：y=65（0

（三）作業評價

評價是課堂的必要組成部分，不能忽略。但是傳統評價方式是學生寫“一個月”，教師寫一個“閱”。這樣的評價方式只會打消學生完成課外作業的積極性，更不能彌補缺漏。這就要求我們一定要根據設置的作業內容和學生的實際認知情況來進行綜合分析及評價。作業的目的除了鞏固知識就是發現錯誤，所以發現錯誤我們不要一味地批評，要指正其錯誤根源，并引導正確的方式和方法，這樣才能保護學生的自尊心，讓學生感覺到作業正確和錯誤都會有所收獲。教學實踐證明，這樣的作業評價方式，不僅能起到很好的激勵作業，還利于學生發現問題、解決問題，完善知識脈絡，生成運用能力。

上面是筆者結合一線初中數學教學實踐對整個課前準備、課中授課及課后作業布置、評價等進行的討論與分析。本文看似滔滔不絕，其實薄物細故，從學生的實際認知出發，對初中數學完整的課堂流程進行了全面的優化舉例研究。當然教學實踐中，我們沒有必要苛求某人的理論學說，但是一定要學習新課改理念，一定要分析學生的實際認識規律，這樣才能立足現實，從客觀出發，設定符合學生認知發展的教學流程，才能有效提升學生數學能力。

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（作者單位 浙江省杭州市蕭山區益農鎮初級中學）

編輯 王團蘭