理解數學課程的核心內涵

【摘 要】數學課程內容是數學教學的基本點，是顯性的，但卻非核心。從學科教育的角度來看，《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出的“核心概念”是數學課程內容的核心所在。文章結合《標準》的內容要求和數學課堂教學實例，簡要介紹了與初中數學課程相關的若干“核心概念”的基本內涵。

【關鍵詞】符號意識 幾何直觀 數據分析觀念 運算能力 推理能力 模型思想

相信每一位數學老師都立志“教好”數學，也都知道為此必須“理解”要教授的數學課程內容，并且也都認可那些具體的數學內容并不是我們教學的核心所在，那么我們要教授的數學課程的核心究竟是什么呢？

首先需要明確的是，對處于義務教育階段的絕大多數學生而言，數學是他們未來生存和發展過程中解決問題的工具，是促進他們能力提高的有效載體，而不是他們未來職業生涯中的研究對象。那么，在這一階段，數學核心的教育價值究竟是什么？對此，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）在“課程內容”部分給出了明確的說明：在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識。

這就是所謂的義務教育階段數學課程的10個“核心概念”。除去應用意識和創新意識這兩個為所有課程所必須關注的核心概念以外，與初中階段數學課程關系密切的有符號意識、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。下文筆者試圖根據親身經歷的《標準》修訂過程和自己的理解，對上述6個核心概念的內涵做簡單的闡述，以期為大家理解核心概念提供幫助，進而為深入理解數學課程內容、有效實施數學教學提供線索。

一、符號意識的內涵與體現

按照《標準》的界定，符號意識主要是指能夠理解并且運用符號進行表達、運算和推理，知道由此而得到的結論具有一般性。本質上看，數學在引入抽象的符號之后，才真正成為現代意義上的數學，并顯露出其“追求一般意義”的本質。

對學生而言，只有在接觸到抽象的符號之時，才可算是開始代數學習之日。這里，學生遇到的數學符號基本可以分為兩類：對象符號——數字、字母、關系式、圖像（表）等；運算符號——四則運算、指數運算、代數關系等。此時，符號意識有以下兩個含義：作為表示的工具和作為運算的對象。

對于“作為表示的工具”，其基本含義是：在研究一些數學的、非數學的現象中，能夠運用合適的數學語言和符號表達其中存在的多種數學信息和數學規律，也能夠了解借用數學符號（表達式）所呈現的對象的數學特征；同時，能夠運用數學符號表達推理過程。

對于“作為運算的對象”，其基本含義是：能夠按照既定的法則、規律從事必要的運算，并理解有關運算的含義、原理。

在當前教學實際過程中，更應當引起我們關注的是：符號不能僅僅被視為抽象的“符號”——只是對它們進行一些不賦予任何含義的運算，而應當強調對它們的理解，以及在理解基礎上的有效應用。

就具體內容而言，符號意識主要與《標準》里的“數與代數”部分相關，涉及的相關主要條目包括：（1）借助現實情境了解代數式，進一步理解用字母表示數的意義；（2）能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示；（3）理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，能進行簡單的整式加法、減法和乘法運算；（4）能推導乘法公式（具體略），并能利用公式進行簡單運算；（5）能用提公因式法、公式法進行因式分解；（6）了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質進行約分和通分，能進行簡單的分式加、減、乘、除運算。

由此可見，幫助學生初步形成符號意識是發展學生數學思維特別是抽象思維的起始，而學生的符號意識主要表現在兩個方面：用符號表示和操作符號。因此，發展學生的符號意識應當讓學生經歷“從具體到抽象”的過程，從事“用符號表達一般關系”“對符號進行轉換”和“解釋符號所表達的對象（操作）的實際含義”等活動。

需要注意的是，這里的數學符號一定與具體的數學內容、數學活動密切關聯，不宜被視為“毫無意義”的純粹符號。而且符號意識的強與弱和能夠操作符號（比如進行多項式運算、因式分解等）的復雜程度并無直接關聯。

二、幾何直觀的內涵與體現

按照《標準》的界定，幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。因此，幾何直觀與空間觀念相同之處在于，兩者都是借助圖形進行思維；兩者不同之處在于，空間觀念的思考對象一定是物體（圖形），著眼于表述思維對象原有的幾何結構，而幾何直觀的思考對象可以是（也經常是）代數關系及其他的非幾何圖形，此時只是借助圖形形象地表達思考對象的數學特征（關系）。

例如：任何兩個人之間要么互相握過手，要么沒有。如果我們用兩點之間是否存在連線，表示它們所代表的兩個人相互間是否握過手，那么，在個人組成的集合中，彼此間握過手的情況可以用一個類似于“n邊形”的圖像直觀地表示：圖像中所有的線段數k就表示有k組人彼此間握過手。

在《標準》“內容標準”里的“數與代數”部分，與此相關的主要條目包括：（1）能用數軸上的點表示有理數，比較有理數的大?。焕斫庀喾磾岛徒^對值的意義；能夠在數軸上表示出一元一次不等式的解集。（2）了解乘法公式的幾何背景。（3）能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析；能根據一次函數的圖象和表達式y=kx+b（k≠0）探索并理解k>0和k<0時圖象的變化情況；能根據反比例函數的圖象和表達式y=■（k≠0）探索并理解k>0和k<0時圖象的變化情況；能通過圖象了解二次函數的性質。（4）會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函數圖象的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題；會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解。

這其中，（1）（2）兩條屬于建立幾何直觀的初級階段，即初步了解相關代數內容的幾何表示，而（3）（4）兩條屬于建立幾何直觀的高級階段，即應用幾何直觀從事對代數對象的研究，特別是（4）為此次《標準》新增條目，體現了關注培養應用幾何直觀研究代數對象的能力，畢竟，表達式y=a（x-h）2+k較y=ax2+bx+c有更為明顯的幾何意義。

在《標準》“內容標準”里的“圖形與幾何”部分，與此相關的主要條目大多包含在“圖形的變化”部分，如：（1）了解軸對稱的概念，探索它的基本性質；了解常見的軸對稱圖形，探索它們的基本性質。（2）了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它的基本性質；探索常見中心對稱圖形的基本性質。（3）認識圖形的平移、旋轉現象，探索其基本性質，運用相關性質進行圖案設計。（4）了解圖形的相似（位似），探索多邊形相似（位似）的基本性質。

如上所述，幾何直觀的基本特征是“借助圖形進行思維”，因此，幫助學生在頭腦里構建基本的圖形結構和變化方式是培養其幾何直觀的基礎。這里，“對稱”“運動”與“相似”是最為基本的部分。數學中的數形結合思維方式就是一種典型的幾何直觀。而發展形似幾何直觀的最基本做法就是“畫一個圖表示正在思考的問題，包括它的條件、彼此間的關系，以及需要確定的結論，等等”。

三、數據分析觀念

數據分析觀念為每一位現代公民所必備，《標準》對此的解釋包括兩個部分。

其一，了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷……了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。

這表明，數據分析觀念的核心是：面對現實問題時能夠想到并且實現“用數據說話”?；蛘哒f，一個是“用數據說話”的意識，一個是“用數據說話”的能力。所謂“用數據說話”的意識，即指當個體面臨需要做出決策的情境、需要解決的問題時，能否意識到需要收集相關信息、數據，以幫助自己做出明智的判斷、決策；而“用數據說話”的能力則指能夠有效從事“用數據說話”的基本過程：收集數據—表達數據—處理數據—解釋結果。

例如，在現實情形中，我們常常會發現在自己生活的城市里，某個交通路口在一定的時段內（如上下班高峰時間）南北向車輛堵塞的情況很嚴重，而同一時段內東西向車輛行駛則比較順暢，此時，就會想到在該路口重新設置紅綠燈變換頻率和時長，為了使得重新設置的方案能夠有效地解決南北向車輛堵塞的情況，又不給東西向車輛行駛造成較明顯障礙，設計者就應當有“統計意識”——首先統計該時段路口南北向車輛、東西向車輛通過的具體數據，并以此作為重新設置紅綠燈方案的基本依據，而不是隨意地做加減法。

其二，通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。這說明，“用數據說話”的結果并非確定的，即對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同（但從足夠多的數據中可能發現規律）。通常，對于同樣的數據，需要根據問題的特征選擇不同的處理方法。而且，根據數據處理結果所得到的推斷并不一定正確（但具有合理的可信度）。

例如：電視臺需要了解某個欄目在A市的收視率，不可能對A市所有電視觀眾一一詢問。通常采取的做法是“抽樣調查”方法，即按照某種抽樣方式（隨機抽樣或分層抽樣），在該市抽取一定數量的個體作為調查樣本，將所獲得的具體數據做數據處理，并以相應的數據處理結果作為A市該欄目的收視率。這里，“借用樣本估計總體”的思維過程就是“數據分析觀念”的一種體現，它的過程屬于“或然推理”：一方面，用這種方式形成的推斷具有較大的可信度，能夠作為有效結論使用；但另一方面，它也可能有誤差，即與真實情況不相吻合。

就具體內容而言，數據分析觀念主要與《標準》里的“統計與概率”部分相關，涉及的主要條目包括：（1）經歷收集數據、表達數據、處理數據和解釋結果的過程；（2）能夠選擇并制作相關統計圖表表達數據，能夠計算統計量，并理解其含義；（3）能夠解釋數據統計結果，并根據結果做出簡單判斷和預測；（4）了解樣本與總體的關系，可以根據樣本的數據特征，推斷總體的數據特征。

由此可知，數據分析觀念的思維層次較高，它建立在邏輯思維基礎之上，屬于對現實情境的“合理性”解釋。發展學生的數據分析觀念必須在真實的情境中進行，必須破除以往“真實條件+正確思維過程=正確結果”“一個數學問題的答案要么正確要么錯誤”等思維定式，而代之以“結論是否合理”“答案是否好”等思維方式。

四、運算能力的內涵與體現

運算能力是典型的數學能力，但隨著時代的發展，內涵的變化十分明顯。《標準》對運算能力的描述是：運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。簡單地說，運算能力僅指能夠“正確地從事運算”，而不涉及運算速度和巧妙程度。

之所以有這么大的變化，主要因為目前人們能夠非常方便地使用機器從事數學運算（包括代數運算），數學運算已經成為一種“機械思維活動”——可以借助機器，按照既定的程序反復操作而獲得結果。人類思維的主要精力將不再集中于此，而是致力于從事更為高級的創造性活動。

同時，《標準》也說明：培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。即：理解算理是發展運算能力的一個重要方面，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題也是發展運算能力的一個重要方面。這里的“合理簡潔的運算途徑”更多地指根據解決問題的需要所選擇的“恰當運算方式”——精確計算還是估算，借助工具計算還是手算，等等，而不是“簡便算法”。

在《標準》“內容標準”里的“數與代數”部分，與此相關的主要條目包括：

（1）關于數的運算

理解有理數的運算律，會用平方運算求百以內整數的平方根，會用立方運算求百以內整數（對應的負整數）的立方根，會用計算器求平方根和立方根；能求實數的相反數與絕對值；能用有理數估計一個無理數的大致范圍；了解近似數，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算，并會按問題的要求對結果取近似值。

（2）關于式的運算

了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算；能進行簡單的整式（分式）的加減法和乘法運算；能推導乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2，（a±b）2=a2±2ab+b2；并能利用公式進行簡單計算；能用提公因式法、公式法進行因式分解。

（3）運用運算解決問題

能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程、二元一次方程組、數字系數的一元二次方程、一元一次不等式（組）。

從上述標準可見，關于運算的學習，在理解相關運算原理的基礎上，對于數的計算技能要求在降低（如開方），但對于計算器的使用比較關注；對于式的運算則強調“基本與簡單”。事實上，所有的運算學習與訓練更多地指向“運用運算解決問題”，即能夠求解《標準》中所開列的方程（組）、不等式（組）。

五、模型思想的內涵與體現

模型思想是體現數學應用價值的典型思想。從數學教育的角度來看，建立模型思想本質上是幫助學生體會數學與外部世界的聯系。而培養學生模型思想的基本活動就是建立模型。按照《標準》的說明，建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義。

這說明，模型思想的應用包括三大步驟：從現實到數學模型——從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，尋找相關的數學關系，建立數學模型；處理數學模型——求解模型的數學結果；得到原問題的結果——討論結果的意義，檢驗結果的適切性。

這樣的過程可以用下圖表示：

在《標準》“內容標準”里的“數與代數”部分，與此相關的主要條目包括：（1）能根據具體問題中的數量關系列出方程（組），體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型；能夠解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程、二元一次方程組、數字系數的一元二次方程，一元一次不等式（組）；能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。（2）能根據具體問題中的數量關系，列出一元一次不等式，能解數字系數的一元一次不等式（組），能夠應用一元一次不等式解決簡單的問題。（3）能夠表達簡單實際問題中蘊含的函數關系（一元一次函數、反比例函數、一元二次函數），并進行分析；能夠應用上述函數關系解決簡單問題。

因此，關于模型思想的教學需要明確的是：課程所涉及的主要數學模型包括方程（組）、不等式（組）與函數。而學習的內容為：建立模型；求解（分析）模型；結果檢驗。

發展學生的模型思想需要讓他們經歷真正的解決問題的過程，而不僅僅是套用現成的公式、方法或例題解決相似的問題。在實際的建立模型過程中，教師應盡可能選擇“真實的問題”，鼓勵學生借助各種工具、資源，并以小組合作的方式，經歷完整的解決問題的過程。

六、推理能力的內涵與體現

《標準》對推理與推理能力所做的說明是：推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成——合情推理用于探索思路、發現結論，演繹推理用于證明結論。

這表明，一個完整的推理過程往往包括合情推理和演繹推理。它們對于推理過程、結果的貢獻各不相同，難分伯仲。簡單地說，在探索事物規律（特征）的過程中，合情推理活動顯得更明顯，而在確認事物規律（特征）的過程中，演繹推理活動顯得更明顯。

在《標準》“內容標準”里，與此直接相關的主要條目包括：

（1）“數與代數”部分

①分析問題中的數學關系，建立方程（組）、不等式（組）與函數關系式。②求解方程（組）與不等式（組）。

這些都屬于“代數推理”，即推理的基本依據是數學公式、代數運算法則和運算律，推理的基本類型是演繹推理。其中對邏輯關系領悟要求較高的是《標準》新增的“會利用待定系數法確定一次函數的表達式”。

（2）“圖形與幾何”部分

①探究圖形性質，圖形之間的形狀、大小和位置關系。②分析圖形運動過程中的不變量（關系）。③證明相應的幾何定理。④應用幾何定理解決問題。

這些都屬于“幾何推理”，推理的基本類型包括合情推理與演繹推理。其中，①和②主要是合情推理，即推理的基本依據是已有的條件、各種探究性活動（測量、作圖、計算等）所得的結果；推理的主要方式包括類比、歸納、概括等；而③和④主要是演繹推理，即推理的基本依據是已有的條件、基本幾何事實；推理的主要方式是邏輯論證。

要提高學生的推理能力，這兩者皆不可偏廢。有益的做法是經常讓學生經歷完整的推理過程——先合情推理，再演繹推理；并且有意識地將兩者結合起來——在進行合情推理時思考“合情”的理由，在進行演繹推理時注重尋找合理的證明思路。因此，《標準》中表述推理活動的要求時通常采用“探索……性質”“探索并證明……”的字樣?！?/p>

【參考文獻】

[1]全日制義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]《義務教育數學課程標準（2011年版）》解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[3]馬復，凌曉牧主編.新版課程標準解析與教學指導（初中數學）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

（作者系南京師范大學教師教育學院教授，教育部《全日制義務教育數學課程標準》修訂組核心成員，教育部中小學教材審查委員）