數學中考中的二次函數最值問題

張建

摘要：二次函數是初中數學的重點知識，更是難點知識，對于學生來說，確實是一道難過的坎。但是二次函數卻高中數學的基礎知識，所以二次函數是中考中必考的知識，也是各省市中考卷中壓軸大題主要的命題方向，是教師、學生是復習中要突破的方向。

關鍵詞：中考數學；二次函數；最值問題；解題方法

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）12-367-01

二次函數一般出現在綜合題中，變化比較多，本文就二次函數最值問題，結合中考真題，粗略地談談。

要想解決二次函數最值問題，必須掌握二次函數最值問題最基本的基礎知識：二次函數y=ax2+bx+c的圖象是一條拋物線，頂點為 ，對當a＞0時，當x= 時，函數最小值為 ；當a＜0時，當x=時，函數最大值為 。如果把二次函數y=ax2+bx+c通過配方法變為：y=a(x－h)2+k的形式，則對當a＞0時，當x=h時，函數最小值為k；當a＜0時，當x=h 時，函數最大值為k。

一、在中考中有很多題目都是直接運用這些基礎知識的，來看看幾個例題：

例1、(2013年廣東湛江)拋物線 的最小值是．本題中，a＝1>0，我們知道，有最小值是1

例2、（2013?內江）若拋物線y=x2﹣2x+c與y軸的交點為（0，﹣3），則下列說法不正確的是（）

A、拋物線開口向上B、拋物線的對稱軸是x=1

C、當x=1時，y的最大值為﹣4D、拋物線與x軸的交點為（﹣1，0），（3，0）

本題中的C選項就是一個最值問題，只要了解二次函數最基本的知識就能完成，解答如下：

解：把（0，﹣3）代入y=x2﹣2x+c，得c＝－3則y=x2﹣2x-3＝（x-1）2-4

在關系中，a＝1>0，我們知道函數有最小值，是－4.

所以，本題唯一錯誤的選項就是C

所以說，在數學中考中，二次函數最值問題考察得比較多，題型也比較多，有選擇、填空，也有綜合題。

二、并不是所有的二次函數最值問題都是直接用基礎知識解答的，有一些問題中，自變量的變化范圍并不是全體實數，有取值范圍，學生們在作題的時候，不要在配方為y=a(x－h)2+k的形式后，就馬上迫不急待地寫：當x=h時，函數最大（小）值為k，要把考慮x=h是否在題目要求的取值范圍內作為一個程序編在大腦里，避免不必要的錯誤。

（三）還有些題目是上述形式的綜合，在一個問題中，在自變量不同的取值范圍有不同的函數，我們要分別求出在不同取值范圍內的最值（而在不同函數中的最值可能是有上述的各種情況出現），再得出最終的最值，更需要學生認真思考，如下一題：

例3、（2013?呼和浩特）如圖，已知二次函數的圖象經過點A（6，0）、B（﹣2，0）和點C（0，﹣8）．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）設該二次函數圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為 ；

（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發t秒時，△OPQ的面積為S．

①請P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

②請求出S關于t的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

③設S0是②中函數S的最大值，直接寫出S0的值．

本題中的第（3）問的第③小問是一個最值問題，要分三種情況進行討論：

當E在OC上，D在OA上，即當0≤t≤1時，此時S= OE?OD，由此可得出關于S，t的函數關系式；當E在CA上，D在OA上，即當1＜t≤2時，此時S= OD×E點的縱坐標．由此可得出關于S，t的函數關系式；當E，D都在CA上時，即當2＜t＜ 相遇時用的時間，此時S=S△AOE﹣S△AOD，由此可得出S，t的函數關系式；

綜上所述，可得出不同的t的取值范圍內，函數的不同表達式．以上就是我對中考中的二次函數最值問題的一個粗淺的認識，希望能起到一定的拋磚引玉的作用。