初中數學圖形與幾何內容認知水平的比較探究

黃永福

摘要：在中學數學教學中，培養和提高學生對圖形與幾何的認知水平，要依托數學課堂教學的每個領域，需要在具體的課堂教學細節和內容之中做深入的分析和比較。該工作目的是為了有效提高學生針對幾何圖形敏銳的洞察力和認知水平。

關鍵詞：初中數學；圖形與幾何；認知水平；比較

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）14-315-01

從心理學角度來看，認知水平是使頭腦中產生認識的內部處理過程及結果的不同狀態層次。學生認知水平會對其思維（包括圖形與幾何思維）造成影響，它有如下兩方面功能：一方面，它可以作為衡量初中學生對圖形幾何學習質量的依據；另一方方面，初中數學教師可以利用其選擇合適的教學方式。有必要就初中數學圖形與幾何認知水平的相關內容進行比較探究。

一、初中數學學生“圖形與幾何”認知水平現狀

目前國內外研究認知水平大多停留在以下層次上：幾何直觀水平，幾何理論構建分布，數學成就和認知水平之間的聯系及數學認知水平等。我國數學教學課程標準中強調“數學課程不僅要考慮自身的特點，更要遵循學生學習數學的心理規律……數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。”強調了數學學習認知水平的重要性。已有的圖形與幾何認知水平研究重點在以上所述范圍內，對其調查發現，我國大多數中學生數學圖形與幾何認知水平相對不高，另外在較高認知水平階段的表現也沒有達到一個令人滿意的水平。我國自開設數學教學課程以來，雖然在大綱上有所改革，但在圖形與幾何課程方面，基本上沒有什么變化，初中平面幾何內容相對比較枯燥，因為其過于強調利用公理化體系證明一些幾何圖形性質。在邏輯論證和推理方面也是。教師在講課時往往從頭到尾將某圖形在黑板上推理演繹一遍，就算完成了教學任務。例如此題：“已知正方形ABCD，E是BC延長線上一點，AE交CD于F，如果AC=CE，求∠AFC的度數。”教師通常就會將該題求解過程“演示”一遍，而沒有深入的比較分析其認知水平。這種引導學生考試的傾向比較明顯，并沒有注重從本質上提高學生圖形幾何認知水平。

二、初中數學“圖形與幾何”內容認知水平比較

1、課程標準圖形幾何認知分析

本文在深入分析范希爾理論的基礎上，理出了初中數學課程標準圖形幾何認知分析構架：將圖形幾何認知水平分為四類，分別為視覺、分析、非形式化演繹和形式化演繹。以教材中“等腰三角形”教學為例分析如下：

（1）視覺水平。即了解概念，初步認識圖形幾何。結合教學例子來講，就是學生從觀感上認識等腰三角形，通過自己的觀察和動手實踐，能夠對其有比較感性的認識，并且可以用自己的語言描述其輪廓特征，從感官層面解決基本幾何問題，但是不能用等腰三角形這種平面幾何圖形的特征來分型圖形，也無法對其進行概括性的論述。（2）分析水平。即能理解概念性的東西，了解其性質和概念之間的某種聯系規律，通過對這些概念和規律的理解，進行簡單的計算。具體結合等腰三角形例子來講，就是學生能夠自主分析等腰三角形邊與角之間的關系，探索二者的性質，并根據這些要素和分析結果找到某種規律，從而弄清等腰三角形的特征，這樣在遇到具體幾何問題時，就能就能形成自己的解決思路；在這一過程中，學生可以利用分析結果，辨認這種平面圖形，并且能對其進行分類。但是這個水平層次的學生無法弄清楚等腰三角形邊與角的組成要素內在性質之間的關系。（3）非演繹形式水平。即學生可以掌握幾何圖形性質即其之間的內部關系，對幾何定理也能熟悉的掌握。具體結合等腰三角形例子來講，即學生能夠用自己的語言表述等腰三角形特征與這種平面圖形的內在聯系；能對等腰三角形要素特征有一定的理解，比如能掌握等腰三角形兩邊相等、兩底角相等等內在屬性；能夠利用掌握的性質特征及定理，對等腰三角形進行簡單的推理論證。但是缺陷是對等腰三角形還沒有建立一個比較系統的認識體系，解決實際幾何圖形問題時還存在一定困難。（4）形式演繹水平。即學生能夠理解和掌握定理性質之間的內在關系。在本例中表現為，學生能夠根據掌握的性質及定理知識提出自己的猜想，利用邏輯推理演繹驗證自己猜想的正確性；能夠系統的掌握等腰三角形概念、定理、性質等的關系，并且能形成自己解決實際幾何圖形問題的思路；能夠將定理進行推理運用，推出逆定理。

2、圖形幾何認知水平內容分布

已有的研究表明，初中數學圖形幾何領域學生的幾何認知水平為2（分析水平），出現了學生圖形幾何認知水平比課標和教材認知水平低的不合理現象。從我們上面分析的課程標準圖形幾何認知水平構架來看，如果在圖形幾何領域數學教師使用的教材是一個標準，而學生的圖形幾何認知水平卻沒有達到教材相關認知標準，就會導致學生在學習過程中出現脫節現象，跟不上教師的教學節奏。因為他們根本不能理解教學內容，在學習圖形幾何課程內容時思維阻塞，不也能取得好的學習效果。

從初中數學圖形幾何知識點水平變化趨勢上看，在引入新的圖形幾何知識點時，學生都會從之前相對較高的認知水平降到低水平上，隨著教學的向前推進，會呈現逐漸認知水平逐漸上升的趨勢。這也從某種程度上反映出教材的認知水平是混合分布的。雖然這種分布是混合式的，但從具體的圖形幾何教學內容來看，其認知水平的分布時有規律可循的。即引入相對較為獨立的圖形幾何知識點時，認知水平都是由低到高分布的，這符合學生學習數學知識的實際情況。學生在這種認知水平分布狀態下可以充分利用自己已掌握的知識點學習新知識，由易到難，學習過程中有充足的時間思考問題，鞏固之前學過的知識，做到溫故而知新。

盡管目前初中數學教材編寫中加入了大量水平3的內容，但是對于學生而言，他們的圖形幾何認知水平畢竟有限，需要一個漸進的過程。因此，教師在教學過程中，不斷加強知識點之間的銜接，引導學生從較低認知水平向高認知水平過渡。

參考文獻：

[1] 任利娟.初中數學新課程實驗教材“空間與圖形”內容處理方式的比較研究-以人教版、北師大版和華東師大版教材為例[D].西北師范大學,2010.

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