“雞兔同籠”問題的一般化拓展

劉慧 劉憲升

【摘要】為了使“雞兔同籠”問題模型具有更廣泛的適用范圍，在簡述其拓展現狀的基礎上，應用一般化方法，通過逐步減弱問題條件的限制，給出了三個類型的拓展;并進一步將其拓展為“雞兔同籠”問題的一般模型，并用假設法給出了其一般解，得到了一般解的公式.

【關鍵詞】雞兔同籠;一般化;拓展;假設法

“雞兔同籠”問題一進入小學教材，就引發了廣大教師的教研熱情.屢屢刊發的教學設計、實錄與探究等文章，在傳承我國古代數學文化的基礎上，盡情地展現了其有趣、益智、典型性的特點.尤其是抓住典型性將其拓展為一類問題，既擴大了作為其重要解法“假設法”的應用范圍，又展現了其本身難以展現的現實意義.然而，縱觀諸多文獻對這個問題的拓展，筆者認為還有更大的拓展空間，本文就對這個問題作一探討.

一、“雞兔同籠”問題拓展現狀簡述

不少文獻對“雞兔同籠”問題的拓展，往往以枚舉實例（如“龜鶴”“人狗”“錢幣”“人船”等問題）的形式來進行，希望學生通過這些例子感悟具有相似數量關系的問題模型，掌握這類問題的解法.當然，也有進行歸納總結的，但給出一般性結論的不多.文[1]中列舉了10類常見的問題，給出了具體實例，并歸納如下：

“‘雞兔同籠展現的是這樣一類問題：把有聯系的兩種事物放在一起描述，已知這兩種事物的總數和關于這兩種事物本身特有的另一個數量，求這兩種事物各自的數量.”

這是有關文獻中較為全面的歸納，且基本能包含其他文獻通過枚舉給出的拓展實例.在這些拓展中，都用其他兩種事物將原問題的主體“雞”和“兔”置換下來，且這兩種事物的總數對應“雞”和“兔”的總只數，它們的另一方面數量對應著“雞”和“兔”的腿數，總數對應著“雞”和“兔”的總腿數.但這些拓展只是放開了雞和兔固有腿數的條件限制.

二、“雞兔同籠”問題的一般化拓展

一般化方法是從特殊到一般，從個別到普遍的認識方法.從數學方法論的角度講，命題的一般化就是通過放寬或取消原命題的某個或某幾個約束條件（即減弱命題條件的限制），使其從特殊的數學命題上升為一般的數學命題.下面，我們從問題的條件入手，通過一般化將其拓展.為此，先給出“雞兔同籠”問題，并將其條件進行分解.

“雞兔同籠”問題都可簡述為以下命題.

原命題 雞兔同籠，已知總頭數和總腿數，雞、兔各幾只？

由于總頭數和總腿數的數量變化不影響問題的拓展，故未給出具體數.

這個命題有以下兩方面條件：

一是作為主體的雞兔自身固有的相關數量特征條件（隱含條件）：

（1）一只雞和一只兔都有1個頭;

（2）一只雞有2條腿，一只兔有4條腿.

二是已知的條件：

（3）所有雞兔頭數總和;

（4）所有雞兔腿數總和.

另外，在進行一般化時，拓展問題中的兩種事物都與“雞”“兔”對應，但它們本身固有的數量特征不一定和“雞兔”一樣，為了方便，將這兩種事物稱為“怪雞”“怪兔”.

下面，應用一般化方法進行拓展.

拓展一

將原命題中的條件（2）放開，即放開雞兔固有腿數的限制，保留其他條件不變，就拓展為下面的問題類型.

類型一：本身固有兩方面特征數量的兩種事物，其一方面特征數量都是1.有一些兩種事物，它們該兩方面的數量之和均已知，求這兩種事物各多少.

例1 一個信封里放有1元和 5元的鈔票，共 8 張，24 元，信封里 1 元和 5 元的鈔票各有多少張？

把1張1元的鈔票看作“1個頭1條腿的怪雞”，把1張5元的鈔票看作“1個頭5條腿的怪兔”，可用“假設法”給出下面的解.

解 假設8張都是1元的，則有24-1×8÷5-1=4（張）5元的，故1元的有8-4=4（張）.

此拓展，其實就是大多數文獻中枚舉或歸納的拓展，但不限于兩種事物的總和，只需知道它們本身一方面的特征數量為1即可.正是這一不可忽略的因素，才使我們可進一步進行下面的拓展.

拓展二

在拓展（一）的基礎上，再將原命題中的條件（1）放開，即同時放開雞兔固有的頭數和腿數的限制，保留條件（3）（4），則可拓展為下面問題類型.

類型二：一些本身固有兩方面特征數量的兩種事物，它們這兩方面的數量之和均已知，求這兩種事物各多少.

例2 一輛三輪車有2個座位，一輛四輪車有4個座位.若干輛三輪車和四輪車共有24個車輪，20個座位.問三輪車和四輪車各多少輛？

把一輛三輪車當作一只2個頭3條腿的“怪雞”，一輛四輪車當作一只4個頭4條腿的“怪兔”，可用“假設法”給出如下解.

解 假設20個座位都是四輪車的，則有20÷4=5（輛）四輪車，有4×5=20（個）車輪，比實際車輪少24-20=4（個）.四輪車的一個車座換成三輪車的一個車座，車輪多3÷2-4÷4=0.5（個），需要換4÷0.5=8（個）車座，故三輪車有8÷2=4（輛），四輪車有5-8÷4=3（輛）.

由此可見，“雞兔同籠”問題并不限于知道這兩種事物的總數，只要知道兩種事物固有的兩方面特征數量之和即可.此拓展是拓展（一）的進一步發展，它包含了類型一所不能包含的大量數學問題.

拓展三

在拓展一、二的基礎上，再將原命題中的條件（3）或（4）放開，即再將雞與兔的頭數或腿數之和放開，使其至少一個為差，這就有一和一差、兩個都是差的情況，而兩個都是差的情況又包含一大一小、都大或都小的情況.下面分別舉例說明，然后給出一般結論.

例3 某次數學測驗，答對一題得5分，答錯一題倒扣1分.小華共答了20道題，得了76分.問小華答對和答錯了各幾道題？

小華所得分是他答對題的得分與答錯題的扣分之差，故此例是一個和、一個差的情況.將答對的一題對應1個頭5條腿的“怪雞”，將答錯的一題對應1個頭1條腿的“怪兔”，可用“假設法”給出如下解.

解 假設小華20道題全答對了，應得5×20=100（分），比實際得分多100-76=24（分）.將一道答對的題換成一道答錯的題，所得分減少5+1=6（分），故答錯了24÷6=4（道）題，答對了20-4=16（道）題.

例4 雞兔同籠，雞頭比兔頭多3個，雞腿比兔腿多2條.問雞與兔各幾只？

此例已知兩個差，且都多的情況，可用“假設法”給出如下解（都少的情況可轉化為都多的情況，不另舉例）.

解 假設有3只雞，則兔有0只，有0條腿.可據假設和已知，兔腿比0條多2×3-2=4（條）.同時增加一只雞和一只兔（保持雞頭比兔頭多3個），相當于兔的腿數增加4-2=2（條），故應增加4÷2=2（只）兔，即兔有2只，雞有3+2=5（只）.

例5 某學期某班一、二組同學各平均獲得3個和2個小紅星，及德育加2分和3分的獎勵.一組比二組獲得的小紅星多8個，德育加分少3分.兩小組各有幾名同學？

此例是已知兩個差，且一個多一個少的情況.將一組的每名同學對應著3個頭2條腿的一只“怪雞”，將二組的每名同學對應著2個頭3條腿的一只“怪兔”，可用“假設法”給出如下解.

解 假設一組有8個小紅星，則二組應獲得德育加分3+2×8÷3=253（分）.一、二組同學同時平均增加一個小紅星，二組同學平均多增加3÷2-2÷3=56（分），故應增加253÷56=10（個）小紅星，故二組有10÷2=5（人），一組有8+5×2÷3=6（人）.

綜上所述，此拓展不管是哪種情況，都可用“假設法”來解，都屬于“雞兔同籠”類問題.這一拓展的問題類型可敘述如下.

類型三：一些本身固有兩方面特征數量的兩種事物，已知它們這兩方面數量之一和一差或兩差，求這兩種事物各多少.

三、“雞兔同籠”問題的一般模型及其一般解

（一）“雞兔同籠”問題的一般模型

將上面的三次拓展，再進一步整合和一般化，可得到更一般的拓展，稱之為“雞兔同籠”問題的一般模型，敘述如下.

一般模型：一些本身固有兩方面特征數量的兩種事物，它們這兩方面的數量之和或差均已知，求這兩種事物各多少.

（二）“雞兔同籠”問題的一般解

在一般模型中，為敘述方便，以“怪雞”與“怪兔”來代表兩種事物，給出如下一般命題，并用“假設法”給出其一般解.

命題：“怪雞”“怪兔”分別有a，b個頭和c，d條腿.一些“怪雞”“怪兔”同籠，它們的頭的個數之和（差）為m，腿的條數之和（差）為n.“怪雞”“怪兔”各幾只？（a，b，c，d均不為零，且ad≠bc）

下面先把m，n當作和給出解法.

解 假設“怪雞”的頭有m個，則有c（m÷a）條腿，比實際少n-c（m÷a）條腿.把一個“怪雞”頭換成一個“怪兔”頭多d÷b-c÷a條腿，故應換上[n-c（m÷a）]÷（d÷b-c÷a）個“怪兔”頭，“怪兔”有：

[n-c（m÷a）]÷（d÷b-c÷a）÷b=（an-cm）÷（ad-bc）（只）.

因此，“怪雞”有

{m-[（an-cm）÷（ad-bc）]b}÷a=（dm-bn）÷（ad-bc）（只）.

只列算式為：

“怪兔”有：[n-c（m÷a）]÷（d÷b-c÷a）÷b=（an-cm）÷（ad-bc）……①

“怪雞”有：{m-[（an-cm）÷（ad-bc）]b}÷a=（dm-bn）÷（ad-bc）（只）……②

注：關于m，n一個為和一個為差，或兩者都為差的情況，只要引入負數的概念，上面的解法都適用.這時把“怪雞”“怪兔”總頭數或總腿數少的一方固有的該特征數量記為負數，多的一方記為正數，這樣m，n就都可看作代數和來處理.且上面①與②可作為這類問題的公式用，對具體問題只需將對應數字代入即可.下面用例5來進行說明.

在例5中，將一組的每名同學對應著有3個頭-2條腿的一只“怪雞”，將二組的每名同學對應著有-2個頭，3條腿的一只“怪兔”.此時，一組比二組小紅星多8個可看成共有8個頭，德育加分少3分看成共有3條腿.將相應數字代入①與②中即可獲得下面的解.

解 二組同學有：

[3-（-2）（8÷3）]÷[3÷（-2）-（-2）÷3]÷（-2）=5（人）;

一組同學有：[8-5（-2）]÷3=6（人）.

當然，也可將相應數字代入①與②化簡后的式子求解（略）.

上面“雞兔同籠”問題的一般模型，可以說包含了小學乃至初中的大量數學應用題，在擴大“假設法”應用范圍的同時，對學生解題策略和思路的形成及遷移具有重要意義，有利于學生從題海中解放出來.

【參考文獻】

[1]楊忠.關于“雞兔同籠”問題的教學思考[J].教育實踐與研究（A），2013（6）.

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[3]許衛兵，朱樂平.感受“模型”的力量——“雞兔同籠”教學新解[J].小學教學（數學版），2009（6）.

[4]王建.在一題多解中培養數學思維的廣闊性[J].數學學習與研究，2010（4）.