美國中學數學教學中的數學文化活動

林佳樂，汪曉勤

（華東師范大學 數學系，上海 200241）

美國中學數學教學中的數學文化活動

林佳樂，汪曉勤

（華東師范大學 數學系，上海 200241）

摘要：美國《數學教師》雜志2007—2012年發表的數學文化活動類論文（不包括數學史）涉及數學與自然科學、數學與文學、數學與藝術、數學與社會科學、數學與建筑、數學與生活、數學與游戲、數學與體育8類主題.這些主題具有選題豐富、與時俱進、以問題解決為導向、以學生為中心、以信息技術為輔助工具等特點.美國中學數學課堂中的數學文化活動在數學文化本身的研究、數學文化活動的創設、活動形式的多樣、合作研究模式的建立等方面可供借鑒.

關鍵詞：數學文化；活動；特點；啟示

1　引 言

這里所說的“數學文化”是指數學與人類其他知識領域之間的聯系.早在20世紀50年代，美國著名數學家和數學教育家M·克萊因（M. Kline, 1908—1992）就將“數學文化”作為數學課程的四原則之一：“知識是一個整體，數學是這個整體的一部分.每一個時代的數學都是這個時代更廣闊的文化運動的一部分.我們必須將數學與歷史、科學、哲學、社會科學、藝術、音樂、文學、邏輯學以及與所講主題相關的別的學科聯系起來.我們必須盡可能地組織材料，使數學的發展與我們的文明和文化的發展聯系起來.”[1]中國普通高中數學課程標準遵循了M·克萊因的上述文化原則，將“體現數學的文化價值”作為課程基本理念之一：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.為此，高中數學課程提倡體現數學的文化價值，并在適當的內容中提出對‘數學文化’的學習要求.”[2]

目前，數學文化的教育價值在中國已經廣為人知，很多高等院校紛紛開設數學文化課程，中學數學文化校本課程也悄然興起，數學文化融入數學課堂教學已成為數學教育研究中的熱門課題.然而，教師在數學文化課程建設和數學文化融入數學教學的實踐中，普遍感到理想的數學文化素材還不夠豐富；在數學文化與數學教育關系的研究中，討論“為何”的較多，而探索“如何”卻很少；而數學文化本身的研究更不多見.

美國數學教師理事會的刊物《數學教師》（Mathematics Teacher）創刊于1908年，是一本面向中小學數學教育的刊物，創刊的早期即關注數學文化和數學史，在美國中小學數學教師界有著廣泛的影響.那么，《數學教師》近年來發表的數學文化方面的論文涉及哪些主題？美國數學教師如何在課堂教學中實施數學文化活動？有何特點？為了回答上述問題，研究者對該刊2007—2012年間所發表的有關論文（不包括數學史方面的論文）進行統計和分析，希望能為中國的中小學數學教師提供有用的數學文化素材，并為數學文化融入中小學數學教學提供借鑒.

文中的“活動”指的是圍繞某一主題、由學生參與、為解決問題而設計的教學活動，具體形式包括動手操作、小組討論、小組報告等.

2　《數學教師》上的數學文化內容

研究對2007—2012年間的數學文化方面的145篇論文進行分析，發現它們分屬專題研究和教學活動兩大類.其中，專題研究是對某個數學文化主題的探討，作者沒有提到有關主題在教學上的運用，共25篇.教學活動是作者設計的以數學文化為主題的活動，共120篇，絕大多數已在課堂上實施.圖1給出了數學文化教學活動類論文在歷年的數量分布情況.

圖1　《數學教師》歷年發表的數學文化論文數（2007—2012）

從圖1可見，《數學教師》十分重視數學文化教學活動，且近年來的文章數量呈穩定的態勢.

120篇論文共涉及8類數學文化主題：（1）數學與自然科學；（2）數學與文學；（3）數學與藝術；（4）數學與社會科學；（5）數學與建筑；（6）數學與生活；（7）數學與游戲；（8）數學與體育.以下分別對其進行介紹.

2.1數學與自然科學

2.1.1 數學與地理

McGivney-Burelle等設計了關于緯度和溫度關系的探究活動[3].100名中學生參與活動.先讓學生討論如何確定地球上任一點的緯度以及緯度和溫度之間的關系，利用所收集的數據，畫出擬合線，并利用該曲線進行預測，最后對數學模型進行修正.整個活動中，學生既體會到地理與數學之間的聯系，也提高了數據收集和處理的能力.

Rubel等設計了地圖繪制活動[4].教師讓學生利用比例、變換、度量等知識學習地圖（包括世界、美國、地區和當地4類地圖）的繪制.其中一個環節是利用地圖對當地社區進行考察.兩名教師帶領一組學生帶著特定的問題走進社區，根據地圖信息找出該地區的人口組成、資源、面臨的挑戰等.通過此活動，學生利用數學知識解決實際問題的能力得到了提高.

2.1.2 數學與天文

Perham等設計了地球和火星軌道的探索活動[5].活動中，教師利用一些已知數據，引導學生確定火星的軌道形狀、周期、與太陽的平均距離、運行速度等.

2.1.3 數學與物理

Bryan讓學生參與熱氣球飛行活動，每次飛行時間約為30~45分鐘.在氣球上，學生每隔一定時間記錄溫度和高度.回到課堂中，學生們以各種形式交流、分享各自收集的數據.根據時間、溫度和高度的數據，確定時間——溫度與時間——高度曲線方程；利用數學知識對方程進行檢驗，進而對溫度——時間、高度——時間模型進行修正[6].作者倡導“做中學”，認為真正的學習發生在有意義的數學活動中.2.1.4 數學與生物

Collins設計了一個以諾貝爾生理學或醫學獎得主賈克·莫諾（J. Monod, 1910—1976）命名的教學活動[7].讓學生思考大腸桿菌的自然繁殖結果，并計算從單個細菌開始到填滿一個空間單位所需要的時間；匯總數據、繪制圖象、求出表達式.

2.1.5 數學與自然

Fernandez等讓學生觀察向日葵的生長規律，運用微積分的相關知識來探索邏輯斯諦增長模型，畫出向日葵生長高度隨時間變化的邏輯斯諦曲線.然后，結合微積分知識，對邏輯斯諦增長模型進行分析[8].通過本活動，讓學生體會數學的價值，體驗應用數學的樂趣.Walker從著名歌曲“花兒都去哪兒了”引入，讓學生探究花的曲線方程，并在極坐標系中畫出花的曲線[9].Fuentes設計了非洲大象的研究活動，根據不同種類大象的特點、區域分布等來判斷瀕臨滅絕的種類，然后利用統計知識畫出頻率分布圖[10].活動提高了學生處理數據、數學建模的能力.

Moore等在統計概念教學中讓學生對大蒜種植問題進行探究[11].先讓學生計算購買種子和種植的費用、需要的土地面積等，再讓他們探索，大蒜生長后會產生多少蒜瓣？讓學生畫出每顆大蒜的瓣數概率密度函數的正態分布圖.活動目的是培養學生的科學思維能力.

2.2數學與文學

Smyth等認為，在數學課上讓學生閱讀文學作品，能夠幫助學生更好地理解文字題，擴大其數學詞匯量，提高其批判性思維能力[12].作者針對小說《愛麗絲漫游奇境記》、《手斧男孩》、《數字城堡》、《時間的皺紋》、《平面國傳奇》、《福爾摩斯歷險記》、《哈利波特與神秘魔法石》，分別設計了一系列教學活動，將小說與某些數學主題聯系起來.例如，關于《愛麗絲漫游奇境記》，教師先介紹小說背景，引入比和比例的概念，讓學生自己編制有關“比和比例”的文字題，然后讓全班分組討論，解決這些問題.最后，各小組討論如下問題：作者劉易斯·卡洛爾是一位大數學家嗎？如何用數學來解釋愛麗絲所遇到的奇境？針對每部小說的教學活動都圍繞某一數學主題展開，作者認為，這樣能使學生更積極地看待數學.

Suzuki試圖通過數學與詩歌之間的聯系，讓學生看到課堂之外的數學，讓他們感受數學之美，并認識到，學數學不僅僅是為了考試[13].例如，詩歌每一行的末尾是押韻的，分別以A、B、C、D等來表示各個韻腳.在數學上，這些字母各分別對應于一些單詞所構成的集合.例如，A={moon, tune, spoon, ...}，B={fate, late, mate, date, ...}.若詩歌的韻律為ABAB，則第一、三行以A中的單詞結尾，二、四行以B中的單詞結尾.一首好詩要求集合A、B、C、…不能有交集，如莎士比亞十四行詩的韻律為ABAB CDCD EFEF GG.三個韻腳A、B和C共有3!=6種排列.因此，一首6′ 3=18行的詩歌應包含所有格式ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA.

Edwards認為，在高中階段，將文學與數學聯系起來，可以提高學生的閱讀能力，促進跨學科學習[14].作者在函數、統計、三角等知識點的教學中，運用數據分析方法，檢驗莎士比亞十四行詩；在講授統計假設檢驗時，讓學生運用相關知識來研究莎士比亞是否是愛德華·德·維爾的筆名；并利用軟件統計莎士比亞詩句的長度、出現的頻率等.該探究活動激發了學生的濃厚興趣.

2.3數學與藝術

Cooper等討論了音樂與幾何變換之間的聯系[15].水平平移為樂曲的旋律、和弦或樂曲的其他部分經過一段時間之后的重復；垂直平移則是樂曲旋律或和弦的上升或下降，音樂家稱之為變調.樂曲旋律關于垂直和水平線的反射，導致旋律被轉位或逆行演奏.作者建議，數學教師可以和音樂教師合作，在課堂上呈現上述過程.逆行演奏的轉位，即將旋律上升或下降并且將其退位返回，這個過程就是旋轉變換.逆行轉位一定是繞旋律第一個音符的180度旋轉.音樂上的伸縮變換主要有兩種方式，一是改變時間的長短，作曲者以此來告訴表演者加速（漸快）或減速（漸緩）；二是將每一個音符賦值，通過復合，獲得一組新的音符.作者建議，在幾何變換課上，可以鼓勵學生引進更多音樂上的例子并做出幾何解釋，通過“傾聽幾何”開始每一堂課的教學.

2.4數學與社會科學

Geist等將選舉中的數學問題引入課堂，讓學生探討如何使用數學方法來確定每一位總統候選人在新澤西州的代表數[16].作者介紹了哈密爾頓法：首先，剔除投票率少于15%的候選人，根據其余候選人的投票率來計算其配額；接著，統一縮減配額，同時新增代表被指定分配給具有最大余數的候選人.文章以22名代表，3名候選人的一個地區為例，通過投票數、投票率、配額、原始分配、余數比較等介紹哈密爾頓法，最后用該方法來計算克林頓、奧巴馬各自的代表數.鼓勵學生和教師用此方法對本州地區初選的數據進行驗證，探究活動讓學生體會到數學在政治上的應用.

2.5數學與建筑

Thomas等在教學中以世界著名摩天輪“倫敦眼”為背景，設計有關數學問題[17].給定一些基本信息，如“倫敦眼”逆時針轉動的平均速度、每個座艙內可容納的人數、每年的游客數量、輪子的總重量、當前的高度等，讓學生利用三角學知識求摩天輪半徑、兩艙之間的距離等，并通過列表、描點、擬合圖象，求出高度與時間的函數關系.

2.6數學與生活

Mahoney設計了“掌上數學”的教學活動[18].每個人的指紋以及掌心的曲線都不一樣，這些曲線都對應于數學上的某種函數，包括多項式函數、冪函數、指數函數、對數函數、正弦函數等.學生對本活動十分感興趣，每個人都欣賞自己的成果，并急于和他人分享，因此，數學的應用在課堂上被個性化了.

Colen在代數課上設計了“扮鬼臉”活動[19].活動開始，教師介紹了扮鬼臉的標準：第一，至少必須使用一種已學過的函數，如一次函數、二次函數、平方根函數、絕對值函數和半圓；第二，最多畫出10種函數的圖象，允許使用圖形計算器.最后，學生投票選出最佳鬼臉.

Bryan在教學中讓學生探究棉花糖的溫度隨時間變化的規律[20].Kalman則設計了一項巧克力軟糖制作活動[21].活動中，讓學生將巧克力粉與奶油按照一定比例混合，制成球狀，然后滾上一層可可粉.學生需要通過計算比例和體積來解決實際問題.

2.7數學與游戲

Fishman在數學課堂中利用撲克牌游戲來幫助學生學習因數概念和整數的因數分解[22].游戲規則如下：首先規定撲克牌中的J、Q、K和A分別代表11、12、13和14，每次兩個對手拿到牌后，將手中各牌對應的數字全部分解，去掉成對的數字，看最后剩下的數字.如6、A、3，可以看成2，3，2，7，3.去掉兩個2和兩個3，最后剩下7.上述游戲稱為“Go Fish”.作者還將其改成原理相同、稍稍復雜一些的“DocFish”游戲.

Garvey將國際象棋引入數學課堂[23].首先，向學生展示一個編了號的棋盤，并介紹棋子移動規則.讓學生設計關于王、皇后、車、象和馬的函數，從而計算每個棋子理論上可以得到的數字.學生用圖象、表格等形式來表示這些函數，并探索函數的某些性質.本活動不僅訓練了學生的思維，而且還豐富了學生的日常生活，因而深受學生歡迎.

Zullo將撲克牌游戲與函數聯系起來[24]，包括“地板”函數、迭代、電子表格等.首先將牌的新位置n表示成行數r的函數n(r)，而r又可看作當前位置c的函數，即r(c)，因此，新位置就是n(r(c)).15張卡片編號為0，1，2，…，14.通過一系列計算得出公式：新位置=5+[當前位置/3].

2.8數學與體育

Goodman將籃球比賽中的判罰規則引入概率論的教學[25]，用概率樹、面積模型來幫助學生解決罰球后的得分結果，并計算獲得不同分數的概率，繪制曲線.通過解方程，學生得出結論：若某人罰球命中率大于0.618，則最可能為其球隊贏得2分；若罰球命中率小于0.618，則可能為其球隊贏得0分.最后，學生對模型做出修正，并計算得分及相應的概率.

Popelka在反射定律的教學中引入足球射門的例子[26].首先讓學生自由討論，之后讓他們在走廊中用足球進行試驗.定一個目標點，學生從不同位置踢球，球到達目標點后沿不同方向反射.經過多次試驗，總結出反射定律，最后完成學習單上有關反射的練習，作圖求出相應的未知量.

3　數學文化活動的特點

通過對《數學教師》中的數學文化類論文的考察，可以總結出美國中學數學課堂中數學文化活動的特點.

3.1數學文化活動的主題豐富多彩

《數學教師》上的數學文化論文涉及的主題豐富多彩.圖2給出了120篇論文所涉及的數學文化主題的頻數統計結果.從圖中可見，“數學與生活”類最多，其次是“數學與建筑”類和“數學與自然科學”類.這些主題涉及各個領域，但大部分都貼近學生、貼近生活、貼近現實世界，極易激發學生的探究興趣，完善學生的數學信念，促進學生的數學學習.

圖2　《數學教師》中的數學文化主題

3.2數學文化主題與時俱進

很多數學文化主題都與當前人們所關注的熱點息息相關，例如，2008年美國總統選舉后不到兩年的時間，便有關于選舉問題的文章.2009年甲型H1N1流感侵擾世界，同年便有一篇關于H1N1流感與數學的文章，利用統計知識來探討流感蔓延分布情況.

3.3數學文化活動以學生為中心

美國數學教師所設計的數學文化活動多通過學生動手操作來展開，學生有機會從實踐中學習數學，教師只是扮演引導者的角色.此外，數學文化活動多半需要輔助工具完成（如資料、數據），教師會提供資料或數據的出處，由學生自己查找.

3.4數學文化活動以問題解決為導向

課堂上的數學文化活動主要是以解決問題為導向，而不單純呈現數學文化，也不以教授數學知識為目標，但在活動過程中，教師在解決問題的同時滲透數學文化，讓學生體會到學習的快樂.

3.5數學文化活動與信息技術密切結合

許多數學文化活動是利用信息技術來完成的.主要體現在幾個方面：利用專門軟件繪制有關函數圖象，如數學與生活、數學與自然中的案例，需要學生親自動手操作畫出函數圖象.幾何圖形的呈現也需要利用軟件實現，從而可以直觀看出圖形的性質及變換.代碼程序，通過編寫程序，利用計算機實現畫圖等.統計方面，通過結合學生所學的統計知識，利用統計軟件解決實際問題.信息技術使知識的呈現更為深刻和直觀.

4　啟 示

基于對《數學教師》上數學文化活動的內容考察和特點分析，得到如下啟示.

4.1數學文化本身的研究

美國數學課堂中的數學文化活動所涉及的數學文化素材豐富多彩，主題也多種多樣.國內文獻多探討數學文化的教育價值，對于數學文化本身的研究、數學文化素材的開發比較少.后者正是數學文化融入數學教學研究的基礎.中國需要加強這方面的研究.

4.2數學文化活動的創設

美國中學數學課堂上的數學文化的呈現形式為主題活動，并以問題解決為導向.國內呈現數學文化一般是一課一評式和專題探究式兩種，形式比較單一，且深入性不夠.在將數學文化融入數學教學時，我們可以創設一些數學文化主題活動，而且主題的選取要貼近學生生活，讓數學課堂更生動活潑、更具人情味，更有效地發揮數學文化的教育價值.

4.3活動的呈現形式

數學文化主題活動開展的形式可以多種多樣，除了課堂上小組討論、小組報告的形式，美國中學開展的關于數學文化的活動引導學生參與到課外實踐中，如熱氣球飛行活動，繪制地圖活動等，都需要學生親自參與課堂之外的實踐或調查.強調以學生為中心，真正實現“做中學”.

4.4合作研究模式的建立

《數學教師》數學文化類論文的作者并不僅僅局限于中學，很多論文是大學研究者與中學教師合作的成果.在中國，大學研究者與中學教師的合作較少，研究者建議中學階段可以開設以數學文化為核心的校本課程，由大學研究者與中學教師合作，設計一系列數學文化課堂活動.最終，通過評級課堂活動，檢驗數學文化在課堂中的有效性.

［參 考 文 獻］

[1]Kline M. The Ancients Versus the Moderns: A New Battle of the Books [J]. Mathematics Teacher, 1958, 51(6): 418-427.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]McGivney-Burelle J, McGivney R J, McGivney K G. Investigating the Relationship Between Latitude and Temperature [J]. Mathematics Teacher, 2008, 102(3): 172-177.

[4]Rubel L H, Chun H W, Shookhoff L. Learning to Map [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(8): 587-591.

[5]Perham A E, Perham F L. Looking to Mars for Mathematics Connections [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(5): 344-349.

[6]Bryan L. Imagine Yourself in This Calculus Classroom [J]. Mathematics Teacher, 2007, 100(6): 394-401.

[7]Collins R L. Monod’s Nightmare Problem [J]. Mathematics Teacher, 2007, 100(9): 627-631.

[8]Fernandez E, Geist K A. Flower Power Sunflowers as a Model for Logistic Growth [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(8): 580-585.

[9]Walker J M. Where Have All the Flowers Gone [J]. Mathematics Teacher, 2007, 101(2): 88-91.

[10]Fuentes S Q. Estimating African Elephant Populations [J]. Mathematics Teacher, 2009, 102(8): 621-625.

[11]Moore N T, Deming J C. The Mathematics of Garlic [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(1): 22-28.

[12]Smyth T S, Waid B. Integrating Literature: A Novel Idea [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(2): 113-119.

[13]Suzuki J. The Alliance: Mathematics and the Arts [J]. Mathematics Teacher, 2009/2010, 103(5): 318-319.

[14]Edwards M T. Who Was the Real William Shakespeare [J]. Mathematics Teacher, 2009, 102(8): 580-585.

[15]Cooper B D, Barger R. Listening to Geometry [J]. Mathematics Teacher, 2009, 103(2): 108-115.

[16]Geist K, Jones M A, Wilson J. Apportionment in the Democratic Primary Process [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(3): 214-220.

[17]Thomas C D, Gitonga I. Mathematics in the London Eye [J]. Mathematics Teacher, 2012, 106(3): 172-177.

[18]Mahoney J F. The Hands Project [J]. Mathematics Teacher, 2011, 105(1): 56-61.

[19]Colen Y S. Funny Face Contest [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(1): 50-56.

[20]Bryan L N. Cooking with Quadratics [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(4): 309-313.

[21]Kalman A M. Fixing Ganache Another Real-Life Use for Algebra [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(6): 416-419.

[22]Fishman D M. DocFish a Card Game with Factoring [J]. Mathematics Teacher, 2010, 103 (9): 656-662.

[23]Garvey D. Chess Piece (Wise) Project [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(5): 400.

[24]Zullo H S. An Excellent Card Trick [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(7): 526-530.

[25]Goodman T. Shooting Free Throws, Probability, and the Golden Ratio [J]. Mathematics Teacher, 2010, 103(7): 482-487.

[26]Popelka S R. Corner Reflector Mathematics [J]. Mathematics Teacher, 2011, 105(2): 112-119.

[責任編校：張楠]

Activities of Mathematical Culture in American High School Mathematics Teaching

LIN Jia-le, WANG Xiao-qin
(Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Abstract:The papers on mathematical culture (not including the history of mathematics) published in the Mathematics Teacher from 2007 to 2012 are analyzed and 8 categories of themes are identified, namely, mathematics and science; mathematics and literature; mathematics and art; mathematics and social science; mathematics and architecture; mathematics and life; mathematics and games; mathematics and sports. These themes have the following features: dealing with rich and various topics; keeping pace with the times; being oriented towards problem solving; being student-centered; taking the information technology as the auxiliary tool. Based upon these features, some implications are put forth, including the study of mathematics culture itself, the creation of mathematics culture activities and the establishment of the cooperation model of research on mathematical culture.

Key words:mathematical culture; activities; features; implications

作者簡介：林佳樂（1988—），女，吉林松原人，碩士研究生，主要從事數學史與數學教育的相關研究.

收稿日期：2015-03-11

中圖分類號：G40-059.3

文獻標識碼：A

文章編號：1004-9894（2015）04-0008-05