如何培養學生數學解題的反思能力

高淑波

摘要：反思不僅是對數學學習一般性的回顧，而且是深究數學活動中所涉及的知識、方法、思路、策略。反思是數學學習的一個重要環節。而教學經驗告訴我們，學生往往最容易忽略的也是解題后的反思。沒有反思就沒有數學思維、數學解題策略的優化。因此，如何培養學生數學解題的反思能力是我們數學教師值得深思和研究的問題。

關鍵詞：數學教學；解題反思；能力培養

中圖分類號：G427文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）05-016-1

迅速提高數學解題能力，有諸多條件和因素。長期的學習經驗表明，不少同學在完成作業或進行大量解題訓練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節：解題后的“反思”。何謂“解題反思”？一道數學題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案之后，必須認真進行如下探索：命題的意圖是什么？考核我們哪些方面的概念、知識和能力？驗證解題結論是否正確合理，命題所提供的條件的應用是否完備？求解論證過程是否判斷有據，嚴密完善？本題有無其他解法——一題多解？眾多解法中哪一種最簡捷？把本題的解法和結論進一步推廣，能否得到更有益的普遍性結論——舉一反三，多題一解？……如此種種，就是“解題反思”。許多同學完成作業，因為學習態度和心理狀態的不同，或者老師缺少必要的指導和訓練，大部分都缺少這一重要環節，未能形成良好的解題習慣，解題能力和思維品質未能在更深和更高層次得到有效提高和升華。學習數學，也就只能登堂未能入室。為了提高學生的解題能力，應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。教師如何幫助學生提高數學解題的反思能力？筆者認為可以從以下幾方面探討。

一、積極反思，查缺補漏，確保解題的合理性和正確性

解數學題，有時由于審題不確，概念不清，忽視條件，套用相近知識，考慮不周或計算出錯，難免產生這樣或那樣的錯誤，即學生解數學題，不能保證一次性正確和完善。所以解題后，必須對解題過程進行回顧和評價，對結論的正確性和合理性進行驗證。可是一些同學把完成作業當成是趕任務，解完題目萬事大吉，頭也不回，揚長而去。由此產生大量謬誤，應該引以為戒。

1.結論荒唐，引為笑柄。一名同學做關于體積計算題時，由于單位換算和計算出錯，竟然計算出電鍍100克小鏍絲釘需要28868千克鋅！另一名同學計算一顆地球衛星離地面的最遠距離是3厘米！如此荒謬絕倫的錯誤結論，本來只憑生活常識也足可鑒別真偽，可惜解題者竟深信不疑，作業上交，傳為笑話。

2.以特殊代替一般，“瞞天過海”。初中數學作業題：證明：無論x為何值函數y=x2+2x+3的值都大于0。一些學生這樣證明：x=-1，y=2；x=0，y=3；x=1，y=6……這是非常明顯的錯解。同學不分青紅皂白，函數的增減性，把解方程的方法套用于解不等式，并且不理會函數的性質，手到擒來，草率下結論。解后不加反思，造成大錯。

3.臆造“定理”，判斷無據，以日常概念代替科學概念。將“在同圓或等圓中，同一條弧所對的圓周角相等”判定定理混淆于“在同圓或等圓中，同一條弦所對的圓周角相等”，將相近知識套用到解題中，臆造“定理”，判斷無據。以上常見的解題錯誤，不勝枚舉，有的明顯可見，有的稍為隱蔽，但只要學生自己解題后能認真進行反思，是不難發現并及時予以糾正的。可惜不少同學只滿足于一知半解，解完了事，不加探索回顧，任其漏洞百出。這種錯誤思想和做法，像蛀蟲一樣嚴重蛀蝕著學生的思維品質，影響學生解題能力的提高。由此可見，解題反思的積極意義及其重要性，必須引起師生在教學中的足夠重視。

二、積極反思，探求一題多解和多題一解，提高綜合解題能力

數學知識有機聯系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題方法途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。即使一次性解題合理正確，也未必能保證一次性解題就是最佳思路，最優最簡捷的解法。不能解完題就此罷手，如釋重負。應該進一步反思，探求一題多解，多題一解的問題，開拓思路，溝通知識，掌握規律，權衡解法優劣，在更高層次更富有創造性地去學習、摸索、總結，使自己的解題能力更勝一籌。

1.一題多解，既可看到知識的內在聯系、巧妙轉化和靈活運用，又可梳理出推證恒等式的一般方法和思路：從左到右、從右到左、中間會師、轉化條件等，這些對提高解題能力很重要。

2.多題一解，善于總結，掌握規律，探求共性，再由共性指導我們去解決碰到的這類問題，便會迎刃而解，發揮多題一解的優勢。一步論證，從而可以推出多題一解這類題目的統一解法。

三、積極反思、善于總結，使重要方法、公式、定理的應用規律條理化

課堂上所獲得的知識是有限的，許多問題的解決要通過學生對信息的聯想、創造，通過反思，深刻理解數學知識和數學思想方法，以實現再學習的目的。

我們發現不少同學做題，易犯就事論事，就題論題，“鐵路巡警，各管一段”的毛病，掌握的知識支離破碎，腦海一片空白。所以，我們要指導學生善于總結。善于總結就是解決問題后，引導學生從解決問題的方法、規律、思維策略等方面進行多角度、多側面的總結，有意識地去啟發引導學生對自己的思考過程進行歸納總結，力圖從解決問題中找出新的普遍適用的東西，以現在的解決問題的經驗幫助后來問題的解決。有了這個“經驗”，在以后遇到類似的新問題時，能產生一種“直覺”，正確判斷思維方向。這遠比學生單純解決問題的意義要大。它的教育價值不僅在于使學生掌握這類問題的基本規律，而且在于使學生學到一些解決問題的思維方法，最終過渡到“學會學習”。因此，是否善于總結解決問題的經驗，是一個人解決問題能力高低的一個重要因素。

總之，數學學習既是知識與技能的學習，也是發現和創造的訓練，更是一種反思和更新目標的機會。縱觀近幾年的中考數學試卷，已經走上了考查綜合素質與能力的道路。只有通過反思，才能讓學生知道失分的原因，知道失誤、一知半解、一無所知在全部失分中的比重，知道如何解決問題，知道如何進一步學習。