高中數學解題中導數的妙用

曹建峰

【摘 要】高中數學是一門邏輯性比較強的科目，傳統的解題模式不但會花費大量的時間，還會在計算的過程中產生失誤，所以在解決數學問題的過程中找到“捷徑”對于學生解題有很大的幫助。導數就是學生在解題上的“捷徑”，抓住這一知識點的解題技巧會讓許多看似復雜的題目變的簡單。本文就從函數、方程求根、不等式三個方面來分析導數在高中數學解題中的妙用，希望能對我國高中數學的發展提供一些幫助。

【關鍵詞】導數；高中數學；解題；妙用

1、導數知識在函數解題中的妙用

函數知識是高中數學的重點內容，其中包括極值、圖像、奇偶性、單調性等方面的分析，具有代表性的題型就是極值的計算和單調性的分析，按照普通的解題過程是通過圖像來分析，可是對于較難的函數來說，制作圖像不僅浪費時間，而且極容易出錯，而在函數解題中應用導數簡直就是手到擒來。

例如：函數f（x）=x3+3x2+9x+a，分析f（x）的單調性。這是高中數學中常見的三次函數，在對這道題目進行單調性分析時，很多學生根據思維定式會采用常規的手法畫圖去分析單調區間，但由于未知數a的存在而遇到困難。如果考慮用導數的相關知識解決這一問題，解：f（x）=-3x2+6x+9，令f（x）>0，那么解得x<-1或者x>3，也就是說函數在（-∞，-1），（3，+∞）這個單調區間上單調遞減，這樣就能非常容易的判斷函數的單調性。

再如，將上面的題目加上第二問：已知a為3，求函數f（x）=x3+3x2+9x+a的極值。教師在引導學生分析這一問題時，應引導學生觀察，再次利用導數的概念，根據上一個問題中判斷出的單調性求出極值，這個過程中導函數正是解決這一問題的根本，也能在應用中讓原本復雜的問題變得簡單。

2、導數知識在方程求根解題中的妙用

導數知識在方程求根中的應用屬于一項重點內容，在平時的數學練習中以及高考的考察中均曾以不同的難度形式出現過。導數知識能針對方程求根，根據導函數的求解能判斷原函數的根的個數。在解這一類問題的時候，教師要善于引導學生利用導函數與X軸的交點個數來判斷方程根的個數。

例如，某一證明問題：方程x-sinx=0，只有一個根x=0。在分析這一問題時實際上就是利用函數的單調性質和特殊值來確定f（x）=0。其證明過程需首先利用到導數知識，令f（x）=x-sinx，定義域為R，求導f（x）=1-cosx>0，再利用函數單調性及數形結合思想，求得x=0是次方程的唯一根。此內容的應用就是最為典型的導數知識在方程求根中的應用。

除了上面的應用內容外，與之類似的還包括運用導數求方程根的個數，近似值等方面的求解問題。例如在這樣一道題中：函數f（x）=2x4-3x3+2x2-18，令f（x）=0，那么在區間[1，11]上這個方程有幾個根。此題與上一題類似，只是問題的提問方式出現了變化，其原理仍是遵循導數知識在方程求根應用中的基本思想。在分析這一方程求根問題時，首先需要明確這是一個高次方的函數求根問題，如果采用函數方法求根，不僅存在很高的計算難度，而且錯誤率也較高，對學生有很高的要求。但如果轉變思路，利用導數知識解決此類問題，就會發現原本復雜的方程求根問題就會變得簡單。解題過程如下：根據題意：f '（x）=4x3-12x2+20x，令f '（x）=0，那么可得4x（x2-3x+5）=0。通過驗算可知，x2-3x+5=0沒有實數解。所以，x=0，即f（x）的圖像上只有一個駐點，也就是x=0。且當x>0，求得f '（x）>0，f（x）在區間（0，+∞）上是一個遞增的函數，當然在區間[2，10]d：也是一個遞增函數，代入斷點可知f（2）=-3<0，f（10）>0，所以函數f（x）在區間[2，10]有且僅有一個根。

3、導數知識在不等式問題中的應用

不等式知識是高中數學中的一個單獨模塊，具有著非常典型的內容特征。在這一部分內容的解題中，導數發揮了重要的作用。在當前數學問題趨向于綜合考察，趨向于知識之間相互融合的基礎上，不等式問題解答中應用導數知識是非常重要的。導數知識在不等式問題中應用最多的還是在不等式的證明問題上， 能從一個點來解答原本無從下手的問題，給學生的解題帶來更多的可能。

例如，在某一例題中就有已知x>1，求證：x>ln（1+x）。此類推理證明問題的核心思想可以概括為，想要證明f（x）>g（x），x∈（a，b），需要先將這個不等式轉化為F（x）=f（x）-g（x）>0，再利用導數的正負性來判定F（x）在（a，b）上的單調性，最終得出想要的證明結果。其實此類的不等式證明在實際問題中非常普遍， 只要掌握了導數知識在解決不等式問題中的基本思想，理清基本思路，解決這類問題輕而易舉。再比如很多學生在看到這樣的不等式問題時會顯得手足無措：函數f（x）=xinx，其中0

總結

綜上所述， 導數知識在高中數學解題中有很多方面的用途，不僅與函數問題、方程求根，不等式等多個知識方面存在著聯系，還能在具體的實際應用中讓解題過程事半功倍，豐富了學生的解題思路和解題手段。相信在高中數學解題中，導數還會有更多的妙用，更多復雜的數學問題利用導數之后都有簡單的辦法來求解，而這些簡便的求解方法正等待著我們去開發探索。

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（作者單位：南通市天星湖中學）