算法思想在概念教學中的應用

王曉明

【摘要】算法的實質是解決問題的步驟，其核心思想就是運用程序化解決問題，這也是中國古代數學的特色.算法思想指導下的數學程序化訓練不僅有利于深化對概念的理解，提高數學應用意識；而且使學生表達清晰思考有條理，培養學生的邏輯思維能力.

關鍵詞算法思想；程序化；邏輯思維能力

算法思想雖然沒有明確的定義，但一般認為算法思想就是指把問題的解題步驟或解題過程“程序化”的思想方法，也是通過一系列簡單操作解決復雜問題的過程，而且解題的每一個步驟是“明確”的，整個解題過程是“通用”的，甚至是“機械”的.

算法的實質是解決問題的步驟，其核心思想就是運用程序化解決問題，這也是中國古代數學的特色.算法思想指導下的數學程序化訓練不僅有利于深化對概念的理解，提高數學應用意識；而且使學生表達清晰思考有條理，培養學生的邏輯思維能力.事實上，在初中我們就涉獵過算法，例如，有理數求和的算法：有理數+有理數=s1符號；s2數值；這里，我們將代數運算總結為算法；再如，解一元一次方程的算法：s1去分母；s2去括號；s3移項；s4合并同類項；s5將系數化為1.這里，我們將求解方程的過程處理成算法.在解題時，訓練學生嚴格按照步驟求解.算法不僅提供了思維過程而且提供了規范的書寫格式.

高中數學新課程注重學生算法思想的培養，算法思想是貫穿數學課程的一條主線.B版教材除將“算法初步”集中列為必修內容外，還將算法思想滲透在高中數學課程其他有關內容之中，如教材必修1中的二分法求函數零點的算法，必修4將角度換算為弧度的一個算法等.其實，許多數學概念既表現為一種對象結構，又表現為一種過程操作，如計算求解一個數值、證明一個結果等.利用概念的“過程操作”的性質，使概念的表述程序化、算法化，將概念總結到最佳境界，就能幫助學生更好地運用概念.下面舉例說明：

類比有理數求和的算法，同理可得向量減法運算的算法：s1共起點；s2連終點；s3指向被減（結果）.算法最初就是為了科學計算而準備的，所以很多涉及運算的問題，如復數（或向量）求模、三角公式、距離公式、數列求和等本質都是簡單的算法.挖掘這些概念的本質，將其算法化，會提高課堂效率，幫助學生深刻理解概念，增強概念的可操作性.

算法是一種通性通法，除了可將代數運算處理成算法，在平面解析幾何和空間解析幾何的教學中如果注意滲透算法的思想，可以使學生進一步體會解析法的優點——可以程序化、算法化.

例1用定義法求軌跡方程的算法

S1：建立適當的平面直角坐標系.

S2：用M（x，y）表示曲線上任一點.

S3：列出限制條件，即找出等量關系并用坐標表示條件，列出方程.

S4：將方程化為最簡形式.

S5：檢驗.

例2立體幾何中向量方法的算法

S1：建立立體圖形與空間向量的聯系.

S2：用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面.

S3：把立體幾何問題轉化為向量問題.

S4：進行向量運算，研究點、直線、平面之間的關系（距離和空間角等）.

S5：根據運算結果的幾何意義來解釋相關問題.

含有的算法性質的內容、體現算法思想的知識點非常普遍.在概念教學中，我們強調學以致用，學習概念想最終目的是應用.而沒有實現陳述性概念定義的算法化是學生不能應用概念的主要原因之一.如將導數的定義算法化：

S1：求函數值的變化量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

S2：求平均變化率ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx.

S3：求瞬時變化率 f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx.

通過這種算法化的學習，將概念轉化為程序語言，使抽象難懂的導數概念更為直觀易于操作.再如，二面角平面角的定義算法化：

S1：判斷角的頂點是否在棱上.（看頂點）

S2：判斷角的兩邊是否分別在兩個面上.（看兩邊）

S3：判斷角的兩邊是否與棱垂直.（看垂直）

以上三步是證或做平面角的依據，結合角的要素（頂點和邊）及要素的位置我們就可以操作二面角平面角這個概念了，如果能將一些類似的復雜概念表達成算法，立體幾何這塊硬骨頭也就好啃了，學生也不會迷失在概念的多元表征中.

以算法為核心的“機械化”思想，體現了數學的通用化、機械化和程序化思想，具有高度的概括性和精確性，可以化難為易，化繁為簡，為各類實際問題的解決提供框架.同時把算法及程序設計作為技能讓學生掌握應用以體現如何學數學、用數學的新的學習觀，極有利于學生的數學思維能力的提升，特別是知識遷移能力的培養，對學生后續的學習起到重要的指導作用，也有利于學生知識結構的建構，利于學生形成較為完整的知識體系，利于學生數學的長遠發展.

基于此，我們研究課程內容應具有算法化的眼光，學會從算法化和算理化的角度解讀教學內容，從知識層面和辯證思維出發，高觀點低起點地改進和發展概念教學的框架，尋求解讀教材的有效途徑.