談數學教學中的發散思維能力的培養

談鋒

【摘要】培養學生發散思維能力是中學數學教學目的之一.在教學中，有意識地培養學生的發散性思維可以激發學生的學習興趣和學習效率，也有助于培養開拓型現代人才.本文論述了培養學生發散性思維能力的意義，以及如何培養學生的發散性思維能力.

【關鍵詞】發散思維；數學教學；能力培養

發散性思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料，信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑去分析和解決問題的一種思維方式.長期以來，中學數學教學以集中思維為主要的思維方式，課本上的題目和材料的呈現過程大都循著一個模式，學生習慣于按照書上寫的與教師的方式去思考問題，用符合常規的思路和方法解決問題，這對于基礎知識、基本技能的掌握是必要的，但對于數學興趣的激發、智力能力的發展是不夠的，因此，在數學教學中教師要有意識地培養學生的發散性思維能力.

一、培養學生發散性思維能力的意義

（一）培養學生發散性思維能力是提高學生學習積極性的有效措施

傳統的數學教學往往只重視對學生集中思維的訓練，即教師要求學生用學到的數學知識，用教過的方法來解決同一類問題，以達到熟練掌握的程度.這種思維訓練對于夯實學生基礎知識非常重要，但往往缺乏獨創性，結果缺少新鮮感，過多地約束了學生的思維，一般說來學生對此興趣不大，回味不濃，不會產生新的思維成果.而我們在教學中如果讓學生多考慮一些方法靈活多樣或答案不唯一的發散性問題，并在教師指導下做一些探究實驗和民主討論，使學生在解決問題的過程中得到一些意外的收獲，那么就會使所學的數學知識“活起來”，解決問題的方法多起來，使學生真正領悟到主動學習的愉悅，有利于發展學生的直覺思維，培養他們的參與意識，從而提高學習數學的積極性.

（二）培養學生發散性思維能力是提高學生解決問題能力的重要手段

初中數學新大綱指出：“初中數學中要培養的創新意識主要是指對自然界和社會中的現象具有好奇心，不斷追求新知、獨立思考，會從數學的角度發現和提出問題，并用數學方法加以探索、研究和解決.”這段話告訴我們：數學教學的目的不僅僅是要求學生會解決問題，還要鼓勵學生的好奇心，教會學生發散性地“從數學的角度發現和提出問題”，而對數學問題的探索、研究、解決的過程首先是一個發散的醞釀多種方案的過程，然后才是從中比較優劣，確定最佳解決方案的過程，是發散和集中的有機組合.只要教師鼓勵學生多動腦筋，大膽質疑，不斷加以探索和研究，就會發現更多更新的未知世界，思維能力在提出問題和解決問題的過程中得到更快地發展.

（三）培養學生發散性思維能力是提高學生創造性能力的根本保證

我國著名數學家徐利治先生說過：“任何一位科學家的創造能力，可用如下公式來估計：創造能力=知識量×發散思維能力.”美國心理學家吉爾密特也認為：發散思維是從所給的信息中產生信息，其著重點是從同一來源中產生各種各樣的為數眾多的輸出，并且發生轉移作用.這兩種觀點從不同側面說明了同一個問題：發散性思維的優劣是決定學生創造性能力大小的重要因素.教師在數學教學過程中對學生的思考方向進行適當的引導，使他們從不同的角度、不同的方向來尋求多種解決問題的方法，對于提高學生的創造性能力有很大的作用.可見，學生的創造性能力不是遙不可及的本領，只要我們在使學生掌握扎實的數學知識的同時，放大膽子讓學生進行發散性的思考和訓練，大多學生的創造性能力就會得到不同程度的提高.

總之，發散思維是多方向性和開放性的思維方式，它同單一、刻板和封閉的思維方式相對立.它承認事物的復雜性、多樣性和生動性，在聯系和發展中把握事物.發散性思維仿佛具有眾多條的“觸角”，不拘泥于一個方向、一個框架而向四面八方延伸，可使學生的思維縱橫交錯，構成豐富多彩的、生動的“意識之網，而這張網可以迅速、靈活地‘編出多種多樣的”意識產品.那么如何培養學生的發散性思維能力呢？

二、培養學生的發散性思維能力的基本途徑

在數學教學中，培養學生的能力主要是對發散性教學問題的討論.發散性數學問題，就是問題的條件或結論是不完整的或解題方法是不確定的有關問題.

（一）對問題的條件進行發散

數學教學中，經常會碰到某一類問題，當已知條件變化時，解決問題的角度、方法也會跟著變化.可以通過引導學生變化已知條件，去訓練學生的發散性思維.

例 6本不同的書，試給出適當的條件，確定排法的種數.

學生在拿到這個題目后，討論會很熱烈，思維會很活躍，試著從各個不同角度去解決問題.比如：

（二）對問題的結論進行發散

數學中的有些問題，在確定了已知條件后，沒有固定的結論.可讓學生根據已知條件，盡可能多地得出各種不同的結論.例如，在學完數列后，問學生： 數列3，3，3，3，……是什么數列？

學生就會對所學的數列知識進行回顧，陸續會做下列回答：

a.常數列 b.無窮數列 c.公差為0的等差數列

d.公比為1的等比數列 e.有界數列 f.通項公式為an=3的數列

結論的發散有利于增加思維的廣度和深度，否則思維會纏繞在“一棵樹”上，無法散開.

（三）對圖形進行發散

圖形的發散是指圖形中某些元素的條件不斷變化，從而產生一系列的新圖形.

例如，在雙曲線概念的教學中，給出雙曲線的定義“平面內到兩定點F1 ，F2 的距離的差的絕對值是常數（小于|F1F2| ）的點的軌跡叫作雙曲線”以后，通過演示實驗，做如下啟發、引申：

（1）將“小于|F1F2|”改為“等于|F1F2|”，其余不變，點的軌跡是什么？（兩條射線）

（2）將“小于|F1F2|”改為“大于|F1F2|”，其余不變，點的軌跡是什么？（軌跡不存在）

（3）去掉絕對值，其余不變，點的軌跡是什么？ （只有一條）

（4）若令常數為零，其余不變，點的軌跡是什么？ （線段F1F2的中垂線）

了解幾何圖形的演變過程，不僅可以舉一反三，觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區別和聯系，從而開拓了學生的發散性思維.

（四）對解法進行發散

解法的發散即一題多解，就是同一題目，盡可能考慮多種不同的解法.教師平時在教學中要重視對學生進行一題多解的訓練，教會學生多途徑、多角度去分析問題，靈活運用已有的知識技能，找出盡可能新、盡可能多、盡可能好的解題方法，這樣，既可幫助學生總結解題規律，達到對知識的融會貫通，又可發展其發散性思維.

這些方法不但使學生掌握了無理不等式解法，而且幫助學生復習了集合，還應用了換元法.解法中具有大量信息，知識覆蓋廣，活躍了學生思維.

三、培養學生發散性思維能力的主要方法

（一）利用類比進行發散

所謂類比，是指由一類事物具有某種屬性，借以推測與其類似的事物也可能具有這種屬性的一種推理方法，它常稱為類比推理，是一種從特殊到特殊的推理方法，其結論具有或然性，是否正確需要經過嚴格的證明或者實踐檢驗.

在數學教材中，存在著并列關系的兩個數學對象，它們之間，無論是數學內容和教材處理都很相似.如等差數列和等比數列，它們的性質、重要結論有許多可以類比的地方.因此，在等比數列的教學中，不需要像等差數列那樣重新開始，而可以啟發學生對照等差數列的概念、公式和性質類比到等比數列中來，從而獨立自主地獲得知識.

教師不僅要在教學上運用類比推理，還要創造條件，讓學生自己去學會類比，并在積極的參與中發掘拓展自己的潛能.可以設計以下幾個教學環節： 一是設計類比表格，把兩個對象可以類比的項目列出來，幫助學生在閱讀中進行比較；二是指導學生閱讀，在閱讀中填寫類比表格；三是組織學生進行討論，交流閱讀心得和類比表，教師及時給予指導；四是通過練習，讓學生體會類比在解決數學問題中的作用.

（二）利用聯想進行發散

聯想，是類比的進一步展開，是根據命題的具體情況，聯系有關的定義和規律，或聯系已經證明過的命題、證題的某些技巧與模式等，從而獲得解決問題的方法.

就數學來說，其概念、命題之間存在著各種各樣的聯系： 既有本質的也有現象的，既有縱向的也有橫向的，等等.數學對象的種種聯系的內化，是數學聯想方法的客觀基礎.正是由于這些聯系，使得人們能夠通過聯想方法達到對事物由此及彼的認識和把握.

在數學教學中，應注意引導學生多思多想，獨立地思考、分析問題，改變思維保守、封閉的狀態.例如，在求函數的最大、最小值時，可引導學生注意聯想下列一些方法： a.利用配方法；b.利用二次方程的判別式；c.利用三角函數的有界性；d.利用基本不等式；e.利用導數；等等.

數學的各個部分，在內容和方法上，是相互滲透、密切相關的.因此在運用知識解決問題時，既要注意橫向聯系，又要注意縱向聯系，達到思維的流暢.

（三）利用歸納猜想進行發散

歸納法是通過對一些個別的、特殊的情況加以觀察、分析，從而導出一個一般性結論的方法，是一種從特殊到一般的推理方法.

猜想，是帶有想象成分的預測，是指以某些已知的事實和一定的經驗為依據，對問題作出推測性的判斷.

猜想既不同于已被實踐證明了的科學結論，也不同于毫無根據的胡猜亂想.猜想具有兩個顯著的特點： （1）具有一定的科學性； （2）具有一定的推測性.結論可能正確也可能錯誤.欲斷定猜想得到的結論正確，必須經過嚴格的演繹證明； 欲否定猜想得到的結論，舉出一個反例即可.

人們運用歸納法，得出對一類現象的某種一般性認識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想.

數學中的很多定理、法則、公式等，基本上是由對特例的觀察、研究、分析開始，繼而歸納猜想出一般結論，最終用演繹法或數學歸納法給出嚴格的證明.歸納猜想具有很大的創造性，其創造性不僅表現在由經驗材料上升到一般原理，而且對于從范圍較窄的一般原理上升到更為普遍的一般原理也具有一定的作用.在教學中，應結合教學內容鼓勵學生大膽歸納猜想，引導學生通過猜想去探索數學規律，去發現解決問題的方法.

綜上所述，通過對條件、結論、圖形、解法等方面進行發散，并借助類比、聯想、歸納猜想等訓練發散性思維的方法，激發靈感的火花，從而拓展了學生的發散性思維，增長了他們的創新能力.

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