淺析高中數學不等式的應用

邱麗波

摘要：初中階段就已經接觸過一些簡單的不等式的證明與解法，比如一元一次不等式，高中階段在初中已有知識的基礎上進一步研究不等式的解法與證明。在新課程教學理念不斷深入教學的今天，對于作為數學基礎理論的“不等式”，要如何根據高中“不等式”，在教學中的課程要求和高考《考試大綱》的要求高效地開展教學實踐？通過本文的研究，我認為結合學生實際情況，有針對性、客觀性地制定教學方案，精心設計、大膽創新，不斷更新已有的教學理念，結合課本知識深入淺出、層層推進，重難點傾向性教學，以求在素質教學的指引下直擊高考“不等式”的內容。以高考目標指引教學實踐，以教學實踐推進素質教育的開展。

關鍵詞：高中數學；不等式；應用及解法

本文對高中數學不等式解法及應用進行研究，主要是通過幾個常考點來闡述。高考對知識的掌握，不是單單地考查簡單的知識，而是充滿了靈活性，考查學生的創新意識，那么學生掌握書本上簡單的知識點是不夠的，高考的題型是由簡單的知識組合而來的，需要同學們掌握通過現象看到本質的能力。

一、利用基本不等式、均值不等式解決最值問題

對有些不等式的求解，常有同學因不會變通或思維定式，導致因運算過繁而計算終止或棄而不解。針對這種情況，有必要選擇適當的方法以簡化解題步驟。

當然不利用基本不等式也可以解決這道題，只是方法特別難想，而且操作起來也不是特別容易。

解法二：判別式法

解：令2x+y=t，則y=t-2x

4x2+y2+xy=1

4x2+（t-2x ）2+x（t-2x）=1

6x2_3tx+t2_1=0

△：9t2_-24（ t2-1）≥0，即t2≤8/5

所以-2√10/5≤2x+y≤2√10/5，即所以2x+y的最大值是2√10/5。

二、利用不等式解決恒成立問題

不等式恒成立的問題既含參數又含變量，往往與函數、數列、方程、幾何有機結合起來，具有形式靈活、思維性強、不同知識交匯等特點。考題通常有兩種設計方式：一是證明某個不等式恒成立，二是已知某個不等式恒成立，求其中的參數的取值范圍解決這類問題的方法關鍵是轉化化歸，通過等價轉化可以把問題順利解決，下面我就結合自己記得教學經驗淡淡不等式的恒成立問題的處理方法。

1.構造函數法

在解決不等式恒成立問題時，一種最重要的思想方法就是構造適當的函數，即構造函數法，然后利用相關函數的圖象和性質解決問題，同時注意在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系.使問題更加清晰明了，一般來說已知存在范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數。

例2：已知函數f（x）=a-2/2x+1，a∈R是奇函數。

（1）求實數a的值。

（2）判斷函數f（x）在（-∞，+∞）上的單調性，并證明你的結論。

（3）對Vt ∈R，不等式f[t2-（m-2）t]+f（t2一3/2m一1）>；0恒成立，求m的取值范圍。

解：（1）f（x）的定義域是R，又因為f（x）是奇函數，所以f（0）=0，解得a=1。

（2）f（x）在（-∞，+∞）上為增函數。

證明：在（-∞，+∞）上任取兩個不相等的實數x.，x2，且令x1<；x2，則Ax=x2-x1>；0。

△y=f（x2）-f（x1）=（1-2/2x2+1）-（1-2/2x1+1）=

2（2x2=2x1）/（ 2x1+1）（ 2x2+l）

因為x1<；x2，所以扣2x1<；2x2即2x2-2x1>；0。

因為2x1>；0，2x1>；0，所以△y>；0。

所以f（x）在（-∞，+∞）上為增函數。

（3）f[t2-（m-2）t]+f（t2-3/2m-1）>；0恒成立，

F[t2-（m-2）t]>；-f（t2-3/2m-1）

因為f（x）是奇函數， f（-x）=-f（x）

所以F[t2-（m-2）t]>；-f（t2-3/2m-1）

f（x）在（-∞，+∞）上為增函數，t2-（m-2）t>；-t2+3/2m+1

整理得：2t2-（m-2）t-3/2m-1>；0恒成立

令f（x）=2t2-（m-2）t-3/2m-1，該二次函數函數值，恒大于零，因為開口向上。

只需 △<；O，解得m的取值范圍是{m l-6<；m<；一2}

2.分離參數法

在不等式中求參數范圍的過程中，當不等式中的參數（或關于參數的代數式）能夠與其他變量完全分離出來，并且分離后不等式一邊的函數（或代數式）的最值或范圍可求時，常用分離常數法。

例3：二次函數f（x）滿足f（x+l ）-f（x）=2x且f（0）=0

（1）求f（x）的解析式。?； （2）在區間[-1，1]上，r=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，求m的取值范圍。

解：（1）待定系數法

設f（x）=ax2+bx+c（a≠0），因為f（0）=0，所以c=0。

又因為f（x+l）-f（x）=2x，所以解得a=1，6 =-1，所以f（x）=x2-x。

（3）因為y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，所以x2-x>；2x+m恒成立。

即x2-3x>；m恒成立，只需求y=x2-3x在[-1，1]上的最小值，令最小值大于m即可。

解得y=x2-3x在[-1，1]上的最小值為-2，所以m的取值范圍是{mlm<；-2}

三、不等式證明問題

比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。

1.比較法

比較法是證明不等式最基本的方法，有作差比較和作商比較兩種基本途徑。?； 例4：已知a，b，c，求證：1/2a+1/2b+1/2c≥1/a+b+1/b+c+1/c+a

證明：a，b均為正數，

1/4a+1/4b-1/a+b=b（a+b）+a（a+b）-4ab/4ab（a+b）=（a-b）2/4ab（a+b）≥0?； 同理1/4b+1/4c-1/b+c=（b-c）2/4bc（b+c）≥0，1/4c+1/4a=1/c+a=（c-a）2/4ac（a+c）≥0

三式相加，可得1/2a+1/2b+1/2c-1/a+b-1/b+c-1/c+a≥0

1/2a+1/2b+1/2c≥1/a+b+1/b+c+1/c+a

總結：在比較兩個代數式的大小時，可借助它們的差的正負符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。在用商值比較法證明不等式時，要注意作商后的式子變形，分母、分子的正、負號，判斷其商與1的比較大小以確定不等號的方向。

2.綜合法

綜合法是依據題設條件與基本不等式的性質等，運用不等式的變換，從已知條件推出所要證明的結論。

例5：已知a，b∈R+，a+b：1，求證：（a+1/a）2+（b+1/b）2≥25/2

證明：∵a+b=1 ∴1=（a+b）2=a2+b2+2ab≤2（a2+b2）

∴a2+b2≥1/2

∴（1+1/a）2+（b+1/b）2=（a2+b2）+4+（1/a2+1/b2）≥1/2+4+8=25/2

總結：用綜合法證明不等式時，一般是從已知條件人手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。

3.分析法

分析法的思路是“執果索因”：從求證的不等式出發，探索使結論成立的充分條件，直至已成立的不等式。

綜上可知，不等式作為中學階段的重要內容和求解數學問題的重要工具，在高考命題中被淋漓盡致地體現了出來，它所涉及的內容的深度和廣度是其他章節的知識和內容所無法相比的。因此，要想在高考中獲得理想的成績，必須高度重視不等式內容的復習和研究，既要掌握好不等式中的基本題型的解法，更要關注不等式與其他數學知識融合在一起的綜合問題與應用問題的解法，強化運用數學思想方法指導解題的意識，提高應用不等式知識解題的能力。