圓的生活意蘊(yùn)與數(shù)學(xué)理解

石飛虹

[摘 要] 傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)常常過(guò)于抽象，學(xué)生理解起來(lái)有困難，因而學(xué)生容易排斥數(shù)學(xué). 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中堅(jiān)持從生活出發(fā)，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)在生活中的意蘊(yùn)，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的基本規(guī)律，可以讓學(xué)生親近數(shù)學(xué)；在學(xué)生感知數(shù)學(xué)的生活意蘊(yùn)的基礎(chǔ)上，再通過(guò)數(shù)學(xué)教學(xué)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生生成豐富的數(shù)學(xué)理解，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維有豐富的表象，對(duì)于提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)的有效性大有幫助.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；生活意蘊(yùn)；數(shù)學(xué)理解

不知道從什么時(shí)候開(kāi)始，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情越來(lái)越低了，要知道絕大部分學(xué)生在小學(xué)階段可是常常在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得成就感的，但到了初中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)排斥了起來(lái). 筆者做過(guò)一次努力：從非數(shù)學(xué)教學(xué)的角度來(lái)反思初中數(shù)學(xué)教學(xué). 結(jié)果發(fā)現(xiàn)問(wèn)題多多：數(shù)學(xué)教師將自己放在數(shù)學(xué)當(dāng)中，尤其是“有經(jīng)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)教師，其教學(xué)生活就是初中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，沉浸其中時(shí)間長(zhǎng)了，數(shù)學(xué)教師就屬于數(shù)學(xué)了. 一旦進(jìn)入課堂，數(shù)學(xué)教師眼中常常只有數(shù)學(xué)而沒(méi)有其他（包括學(xué)生）. 但學(xué)生卻不是如此，在學(xué)生的生活中，且不談其他學(xué)科知識(shí)的學(xué)習(xí)，就談生活本身，其對(duì)學(xué)生的吸引力要比學(xué)校學(xué)習(xí)大很多，在這種情況下，怎么能指望抽象的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還能給大部分學(xué)生帶來(lái)愉悅呢？

基于這樣的反思，筆者思考如何改變現(xiàn)狀，有所收獲. 盡管筆者的努力還不可能從面上完全革新，但已經(jīng)能夠讓數(shù)學(xué)課堂多一點(diǎn)快樂(lè)，能夠讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多一點(diǎn)活力，能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建多一些厚度. 現(xiàn)以“圓”的教學(xué)為例，談?wù)劰P者的淺顯嘗試.

圓的生活意蘊(yùn)，為學(xué)生構(gòu)建圓的概念增添感性認(rèn)識(shí)

圓在生活中非常常見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中也常常引用生活中圓的例子來(lái)幫學(xué)生建構(gòu)圓的概念. 但這樣的引用常常是具有功利性的，常常是用完了就扔了，真正基于“生活圓”的數(shù)學(xué)問(wèn)題是極少的，學(xué)生面對(duì)的仍然是極度抽象的“數(shù)學(xué)圓”. 這說(shuō)明生活中的圓還沒(méi)有真正成為數(shù)學(xué)課堂上的有價(jià)值的體現(xiàn). 于是在圓的概念構(gòu)建過(guò)程中，筆者嘗試花相當(dāng)?shù)木Γ瑏?lái)讓學(xué)生體驗(yàn)、感知、認(rèn)識(shí)、理解生活中的圓.

最簡(jiǎn)單的問(wèn)題是：生活中有哪些物體是圓的？初中的學(xué)生對(duì)這一問(wèn)題并不是感覺(jué)到簡(jiǎn)單，而是跳躍發(fā)言. 于是，碗、盤子、車輪、太陽(yáng)、地球、奧運(yùn)五環(huán)、硬幣等，就一下子冒出來(lái)了. 這說(shuō)明學(xué)生對(duì)圓的生活認(rèn)知是沒(méi)有問(wèn)題的. 但如此就過(guò)渡到圓的概念，那就太快了，學(xué)生還沒(méi)有來(lái)得及領(lǐng)略到生活當(dāng)中圓的意蘊(yùn)呢！于是筆者向?qū)W生拋出第二個(gè)問(wèn)題：為什么這些東西會(huì)是圓的呢？這個(gè)問(wèn)題會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)到有些突兀，他們知道這些物體是圓的，但卻從來(lái)沒(méi)有思考過(guò)它們?yōu)槭裁磿?huì)是圓的. 更大的問(wèn)題在于，一旦開(kāi)始思考這個(gè)問(wèn)題，答案反而不那么清晰了. 要說(shuō)出為什么碗是圓的，還真的不太清楚；要說(shuō)出為什么太陽(yáng)和地球是圓的，那更加說(shuō)不來(lái)了.

如果說(shuō)問(wèn)題的提出卻得不到解決，那學(xué)生自然會(huì)有失望的心理，生活的意蘊(yùn)領(lǐng)略也就談不上了. 但是筆者又不能直接給他們提供答案，于是給了他們一個(gè)提示——一個(gè)方法上的提示：假設(shè)法，假設(shè)它們不是圓的，那會(huì)出現(xiàn)什么情形？由于考慮到問(wèn)題的復(fù)雜性，譬如天體之所以呈現(xiàn)圓形（實(shí)際上是球形），那與天體的自轉(zhuǎn)有關(guān)，但學(xué)生此時(shí)沒(méi)有知識(shí)基礎(chǔ)，因此不做過(guò)多的研究. 只將問(wèn)題集中在碗和車輪上. 學(xué)生一下子活躍了起來(lái)：假設(shè)是方的？碗可以是方的嗎？有，但正常都是圓的吧；車輪？那肯定得是圓的，方的怎么走啊？……

一個(gè)假設(shè)性的思維讓學(xué)生的思維無(wú)限活躍了起來(lái)，筆者在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生去思考：碗是瓷的，瓷器的制作都是手工的（呈現(xiàn)瓷器的制作過(guò)程：制作模具的持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)之下，一個(gè)碗的泥胎形成了）. 看來(lái)碗的圓形與轉(zhuǎn)動(dòng)是相關(guān)的，在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，工人可以確保自己手與中間的轉(zhuǎn)軸距離不需要改變，就能形成一個(gè)圓形的碗. 再說(shuō)車輪，車輪是用來(lái)轉(zhuǎn)動(dòng)的，而要想轉(zhuǎn)動(dòng)，從機(jī)械的角度講，其實(shí)就是要保證車輪與地面接觸的點(diǎn)與車輪轉(zhuǎn)軸的距離不變——如果變了的話，車就會(huì)出現(xiàn)一會(huì)兒高、一會(huì)兒低的情形.

于是學(xué)生開(kāi)始總結(jié)了，這里面都有個(gè)保持距離不變的共性，一個(gè)邊上的點(diǎn)與中間的點(diǎn)的距離不變的性質(zhì). 發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)之后，有學(xué)生恍然大悟：老師，我知道了，怪不得木匠師傅有時(shí)要畫(huà)個(gè)圓，就用一顆釘子固定在中間，用一根繩系在上面一轉(zhuǎn)，就畫(huà)出了一個(gè)圓呢！原來(lái)圓是這么形成的……

這一過(guò)程大概就是十分鐘左右的時(shí)間吧，比傳統(tǒng)教學(xué)的先舉例然后得定義多花了七八分鐘的時(shí)間，但這個(gè)過(guò)程如何？筆者以為，學(xué)生活躍的思維、智慧的認(rèn)識(shí)、靈光一閃情形下的舉例，都已經(jīng)說(shuō)明了這一教學(xué)策略是成功的. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)生活中的圓進(jìn)行了深刻的理解，獲得了對(duì)生活中圓的意蘊(yùn)的感受，且并不影響學(xué)生從生活圓走向數(shù)學(xué)圓.

圓的數(shù)學(xué)理解，為學(xué)生生成圓的認(rèn)識(shí)提供理性思維

有了生活意蘊(yùn)作為基礎(chǔ)，學(xué)生對(duì)圓的感覺(jué)“親切”了許多，在他們的眼中，圓不再只是那個(gè)抽象的圓圈了，而是有了生活中的事物作為理解基礎(chǔ)的，這從學(xué)習(xí)心理的角度來(lái)看，這是學(xué)生思維中有了圓的表象，而這又恰恰為學(xué)生對(duì)圓的形象思維提供了基礎(chǔ)，且為從形象思維向抽象思維的過(guò)渡奠定了基礎(chǔ). 對(duì)了，這個(gè)過(guò)渡，就是從生活圓向數(shù)學(xué)圓的過(guò)渡.

數(shù)學(xué)圓畢竟不同于生活圓，對(duì)其的認(rèn)識(shí)更多的應(yīng)當(dāng)是抽象的. 除了基本的圓的符號(hào)及表示之外，對(duì)于圓的理性認(rèn)識(shí)，教師需要進(jìn)行什么樣的教學(xué)設(shè)計(jì)呢？以同心圓的教學(xué)為例，筆者將教學(xué)的重點(diǎn)放在讓學(xué)生生成數(shù)學(xué)理解上. 同心圓從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講并不復(fù)雜，學(xué)生根據(jù)同心圓的概念，也能大概地認(rèn)識(shí)到這兩個(gè)圓具有“同心”的特征，但很顯然的是，這種從數(shù)學(xué)下定義出發(fā)的數(shù)學(xué)理解過(guò)于抽象，學(xué)生思維中只可能有數(shù)學(xué)意義上的同心圓，而這樣的理解缺少了形象基礎(chǔ)作為支撐，對(duì)后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)甚至是其他學(xué)科的學(xué)習(xí)會(huì)埋下隱患. 筆者一位教高中物理的同行常常跟筆者說(shuō)，現(xiàn)在的高中學(xué)生在圓周運(yùn)動(dòng)中，常常弄不清楚同一圓周運(yùn)動(dòng)物體上的兩點(diǎn)的角速度和線速度的關(guān)系. 筆者思考，這可能就與初中階段同心圓的教學(xué)忽視了豐富學(xué)生理解過(guò)程有關(guān)系.

于是，筆者首先做一個(gè)工作：讓學(xué)生用課前準(zhǔn)備好的大小不同的兩個(gè)圓重疊，以確保它們能夠構(gòu)成同心的關(guān)系. 由于筆者讓學(xué)生準(zhǔn)備圓時(shí)不準(zhǔn)用圓規(guī)，而是借助于圓形物體描出來(lái)的圓. 因此，學(xué)生在將兩個(gè)圓重疊的時(shí)候，盡管不斷努力，但總是對(duì)自己的重疊結(jié)果沒(méi)把握. 怎么辦呢？有學(xué)生提出找圓心，這是一個(gè)好的思路，怎么找圓心呢？必須結(jié)合上述對(duì)圓的認(rèn)識(shí)來(lái)進(jìn)行，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)就是要找到圓周上點(diǎn)距離相等的點(diǎn). 這個(gè)過(guò)程并不復(fù)雜，但需要強(qiáng)調(diào)的是此時(shí)生成一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的契機(jī)：確定圓心. 這個(gè)工作是否此時(shí)完成，看具體情況而定，這里不贅述. 從方法的角度來(lái)講，學(xué)生已經(jīng)獲得了一種方法. 這個(gè)時(shí)候再回到假如使用圓規(guī)作圖的情形上來(lái)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)問(wèn)題的解決要順利得多. 那么生活中又有哪些同心圓呢？車輪上離圓心距離不同的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，其實(shí)都是一個(gè)同心圓.

其實(shí)，所謂數(shù)學(xué)理解，關(guān)鍵在于讓學(xué)生有一個(gè)理解數(shù)學(xué)的過(guò)程，沒(méi)有一個(gè)過(guò)程，是生成不了數(shù)學(xué)理解的. 而過(guò)程的設(shè)計(jì)則與具體的教學(xué)內(nèi)容密切相關(guān)，也與學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)密切相關(guān)，筆者以為，好的數(shù)學(xué)理解過(guò)程，一定是在對(duì)學(xué)生的學(xué)情有準(zhǔn)確的把握的基礎(chǔ)上，再結(jié)合具體的數(shù)學(xué)知識(shí)而設(shè)計(jì)的. 譬如以上的過(guò)程，筆者就注意到了學(xué)生缺少同心圓的感性認(rèn)識(shí)，然后設(shè)計(jì)了這一過(guò)程. 事實(shí)也證明，有了這一過(guò)程，學(xué)生在后來(lái)遇到同心圓時(shí)，都會(huì)回憶這一情形，他們大腦中已經(jīng)生成的同心圓表象，可以為后面很多相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建提供基礎(chǔ).

從生活到數(shù)學(xué)，初中數(shù)學(xué)教學(xué)需要堅(jiān)持的重要認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)不可能不抽象，不抽象就不叫數(shù)學(xué)了，但數(shù)學(xué)教學(xué)卻不宜過(guò)于抽象，尤其是對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，純粹的邏輯推理常常會(huì)讓學(xué)生感覺(jué)數(shù)學(xué)并不可親. 而基于生活的數(shù)學(xué)知識(shí)構(gòu)建，與基于數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)，則可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué). 也正因?yàn)槿绱耍P者才提出了感受數(shù)學(xué)知識(shí)在生活中的意蘊(yùn)并生成數(shù)學(xué)理解的教學(xué)建議.

事實(shí)證明，這一建立對(duì)于實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)是有積極意義的，堅(jiān)持?jǐn)?shù)學(xué)概念之前先到生活中尋找相關(guān)的事例，并認(rèn)真研究之，從正反兩個(gè)方面思考之，可以讓學(xué)生對(duì)生活中的數(shù)學(xué)有超過(guò)生活認(rèn)識(shí)深度的感受. 這種感受對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建來(lái)說(shuō)是寶貴的，學(xué)生既能發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律（盡管這時(shí)的發(fā)現(xiàn)還顯得比較粗糙），也能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活并不遙遠(yuǎn). 而數(shù)學(xué)理解則是在感受生活意蘊(yùn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，其是從生活數(shù)學(xué)向純粹的數(shù)學(xué)過(guò)渡的重要階段，也是體現(xiàn)數(shù)學(xué)教師教學(xué)水平的重要環(huán)節(jié).

綜上所述，堅(jiān)持從生活到數(shù)學(xué)的教學(xué)觀念，可以讓初中數(shù)學(xué)教學(xué)更圓潤(rùn)，更有效.endprint