“倍的認識”一課的教學與思考

周興華　蔡宇清

[摘 要]“倍”是小學數學中非常重要的一個概念，“倍的認識”這節課便是學生認識“倍”的概念的起始課。通過課堂的觀察和實踐，我們需要找到教學中存在的問題和學生學習的困難之處，然后施以正確的教法，使學生真正理解所學概念，獲得發展。

[關鍵詞]倍 數學概念 課堂觀察 思考

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）23-018

“倍”是小學數學中非常重要的一個概念，“倍的認識”這節課便是學生認識“倍”的概念的起始課。作為青年教師，為了更好地教學“倍的認識”一課，我近期收集、整理了一些文獻，通過對文獻資料的梳理，對此課的教學再一次進行思考。

一、教師眼中的“倍”

從眾多發表的文章中，可以發現許多教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關系的一種表達方式，其數學核心思想是用一個量去刻畫另一個量。“倍”代表著兩個數量間的比較關系，它產生的前提和基礎是兩者比較，關鍵是要把其中一方以另一方為標準，分成相同的幾份。“倍”是學生在刻畫兩個量之間關系的時候，第一次從絕對數量的比多少到相對數量關系的轉變，對學生即將接觸到的分數、百分數、比，甚至以后的函數等內容的學習，起著至關重要的作用。也有的教師認為“倍”是刻畫兩個量之間關系的眾多表達方式中的一種，和其他的刻畫方式屬于同等位置，所以應該和眾多的刻畫方式建立起聯系，并將“倍”的刻畫方式準確地納入到表達關系的這一知識體系當中。

從目前的研究現狀來看，多數一線教師對“倍”的理解到了關系的層面，而北京教育學院劉加霞老師認為“倍”是從加法結構到乘法結構的轉折點。小學生的數學認知結構主要是加法結構和乘法結構，而乘法結構是在加法結構基礎上產生的高層次的數學認知結構。乘法結構不是指單一的認識乘法，而是一個概念體系，基本概念是乘法與除法，與之相關的有倍、最大公因數、最小公倍數、運算律及面積、體積、表面積、速度等概念和定律。這樣看來，從乘法結構的角度去進一步研究“倍”未必不是一個新的研究方向，我們既可以從乘法結構聚焦到“倍的認識”，也可以從“倍的認識”輻射到乘法結構。

二、教師教學時應關注什么

1.學生的學習基礎

美國著名認知心理學家奧蘇泊爾說過：“如果我不得不將教育心理還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要的原因是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去進行教學。”一線教師在教學“倍”的概念時，能從學生已有的認知出發，引導學生建立新舊知識之間的聯系。教材中“倍”的概念是依據乘除法知識中“幾個幾”“份”的概念擴展而來的，通過兩個不相等數量的比較，由“份”引出“倍”，使學生初步認識“倍”的含義，這就是學生具備的認識“倍”的基礎。針對“倍”的意義理解，教師教學中要讓學生對乘法意義中的“幾個幾”與新知“幾倍”形成關聯，引導學生運用己有的知識經驗來認識概念的本質，建立新舊概念間的聯系，從而促進知識的有效遷移。

2.情境教學

“倍的認識”一課，北師大教科書以快樂的動物創設情境，通過問題串一步步引導學生對不同動物的只數進行比較，從而認識“倍”的概念，而人教版教科書則是讓學生在用小棒拼擺圖形的過程中建立“倍”的概念。在實際教學中，教師又進一步將教材中的情境轉換成各種各樣有趣的情境，如有的以猜數游戲引入，有的利用拍手歌激趣，有的引導學生從動手擺不同顏色的圖片中發現數量關系的問題，有的讓學生比較不同事物的數量關系或比較物體的長度關系，有的創設挑戰三個卡通人物帶來的數學問題的情境……無論創設什么樣的情境，目的都是讓學生在感興趣的情境中，獲得積極的情感體驗，使他們感受到數學魅力的同時，掌握“倍”的概念。

3.從關系入手理解“倍”的意義

前面提到，多數教師把“倍”看成是刻畫兩個量之間關系的一種表達方式，因此教師往往從研究關系入手，引導學生理解“倍”的意義。如北京海淀區教研室的郭麗軍老師教學時先出示3個紅圓片、3個黃圓片，問學生兩種圓片的數量有怎樣的關系，然后增加3個黃圓片，再讓學生說一說3個紅圓片和6個黃圓片間又有怎樣的關系。學生會最先發現多少的關系，然后郭老師慢慢引導學生從多少的關系過渡到倍的關系，也就是讓學生的思維結構從加法結構上升到乘法結構。

4.利用畫圖表征，促進“倍”的理解

教師教學時一般先通過畫一畫、比一比等操作活動，引發、激活學生頭腦中的原有認知并使之外顯出來，然后讓學生進行討論和交流，引導他們從“幾個幾”的角度初步認識“倍”的含義。認知心理學認為：“概念形成其實可以概括為兩個階段，即從完整表象上升為抽象概念，實現抽象概念在思維過程中的具體再現。”這里，形成完整表象是最重要的一個環節。然而，由于低年級學生表達能力欠缺，所以讓學生通過畫圖表征來表達出自己構建的概念表象就顯得尤為重要。畫圖表征在實物操作與抽象思維之間架起了相互溝通的橋梁，讓學生在圈一圈、畫一畫等活動中初步建立“倍”的表象，有利于學生有效表達自己構建的概念表象。

5.在不斷對比與抽象中，逐步理解“倍”的意義

烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的。”在學生通過動手操作等手段初步認識“倍”后，如何讓學生進一步理解“倍”的概念呢？這就需要教師引導學生在不斷對比與抽象中，舍棄“倍”的各種非本質特征，在變化中抓住“不變”，而這“不變”就是“倍”的本質。許多教師在教學中會設計多個比較的環節，如“一份數不變，幾份數在變，倍數也隨之變化”“一份數在變，幾份數也在變，倍數卻不變”等，通過比較引導學生逐步明晰和把握概念的本質，使他們的認知和理解不斷深入。

三、教學“倍的認識”的新思考

雖然學生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但這并不表示學生真正認識、理解了“倍”，在運用“倍”解決問題時仍然會出現各種各樣的困難。這首先是因為學生受自身認知結構水平的影響，即從加法結構到乘法結構，學生的認知結構需要發生一定程度“質”的變化。“倍”的學習是學生認知結構發生質的變化的第一次機會，因為學生學習“倍”要經歷從加法結構到乘法結構的轉變，所以認知結構的轉變是學生學習的最大困難。其次是因為知識點本身的難度。“倍”不是單一的乘法結構，它是乘法意義的拓展與延伸，但同時也包含對除法意義的理解，這無疑會對初次理解“倍”的概念的學生造成一定的困難。

我校最近開展了“課堂觀察”研究活動，通過對教師和學生的細致觀察，我們發現學生在學習“倍”的過程中還有以下三個問題。

1.對“關系”不理解

“關系”一詞，在現代漢語詞典中的解釋是事物之間相互作用影響的狀態。我們在日常生活中會經常用到這個詞，感覺理解起來很簡單，但學生對于用在數學背景中的“關系”一詞并不是很理解，大多數學生聽到老師提出“它們之間有什么關系”的問題時，出現聽不懂的現象。所以，這時教師不妨停一停，可以舉個例子來進一步說明，這樣才能使學生更好地繼續下面的學習。

2.理解“倍”的概念不能只通過觀察

通過對文獻的梳理，我發現許多一線教師都是讓學生直接觀察靜止的事物來尋找數量之間的關系，如觀察黑板上擺好的教具或畫好的簡單圖形等。當教師在黑板上擺出6個紅色圓片和3個白色圓片時，學生會很快說出6比3多3或者3比6少3，但很難會想到6里面有2個3或者6是3的2倍，這也恰恰說明了兒童的認知從加法結構上升到乘法結構是十分困難的。那么，怎樣才能讓學生的認知自然過渡呢？通過嘗試，我發現動手操作是一個可行的辦法。課前為學生準備可以擺動的學具，如最簡單的小圓紙片等，這樣學生在擺一擺學具的過程中會自然地產生分堆的想法（如下圖），如把3個白色圓紙片擺成一堆、把6個紅色小圓紙片擺成兩堆等，這里的“一堆”就是“1份”或者叫做“1倍量”。這樣教學，使學生更自然地想到6里面有2個3，這就是學生腦子中最初的“倍”。

許多教師為了讓學生更好地理解“倍”，看清數量之間的關系，常常會采用圈一圈的辦法。其中，還有一些教師一上課就讓學生去圈一圈，然后直接引出“倍”的概念。我認為這樣教學節奏過快，因為“倍”的認識需要一個過程。這里，教師不妨放慢腳步，在學生初步建立“倍”的概念后，引導他們動手擺一擺。其實，擺出的“1堆”和圈出的“1份”能達到異曲同工之妙，而動手擺一擺會讓學生對“倍”的認識更加深刻。

3.難于表達“倍”

學生能夠說出誰是誰的幾倍，也能借助乘法進行計算，但在表達時仍然會出現許多困難。“倍的認識”一課的教學，要求學生能夠理解“倍”的含義并學會表達“倍”。在表達“倍”時，教師不要急于給學生出示標準的表達形式，而是要等待學生先形成自己的表達方式。根據學生的年齡特點，發現學生的理解能力優于他們自身的表達能力，所以學生表達不清楚是正常的。因此，在學生表達對“倍”的理解的時候，教師可以嘗試用畫圖的方式，引導學生從多個角度進行表達，以加深他們對“倍”的理解。

總之，“倍的認識”一課不是一節新課，但是作為青年教師，我們需要有把它看成一節新課去研究的態度，更需要不斷去思考、去研究、去創新，以使學生真正理解所學知識，在數學上獲得不同的發展。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 高麗杰，從“形”到“數”，在不斷對比與抽象中認識“倍”[J].小學教學（數學版），2010（1）.

[2] 劉加霞.從加法結構到乘法結構：“倍”是轉折點——評析高麗杰老師的“倍的初步認識”[J].小學教學，2010（7-8）.

[3] 顧曉東.基于已有經驗的意義關聯——“倍的認識”教學反思與改進[J].小學教學參考，2014（1）.

（責編 杜 華）