單元復習，提高學生思維的靈活性

邱春禮

[摘 要]在單元復習課中，嘗試通過多元表征，引導學生構建知識網絡，并對知識與技能、策略與方法的選擇和應用作出指導，提高學生思維的靈活性。

[關鍵詞]數學教學 復習 靈動 單元 思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2015）26-019

一、習題——引發思考

1.現象

在一次練習中，分散編排著幾道習題，如下。

（1）直徑比是2∶1，周長比是（ ），面積比是（ ）。

（2）大圓半徑等于小圓直徑，周長比是（ ）。

（3）大圓半徑等于小圓直徑，周長和是18.84厘米，大圓周長是多少厘米？

前幾節課引導學生從比的角度認識圓的半徑、直徑、周長、面積之間的關系，但由于是分散學習的，所以希望通過本次的變式練習，增強學生從比的角度去思考并解決問題的意識。但是，從批改學生的練習結果（見下表）來看，情況不容樂觀。

為此，我訪談了幾位做錯的學生。

生1：我在做第（2）題時，自己假設了一個大圓的半徑為1厘米，小圓半徑則為0.5厘米，最后算錯了。

生2：我做第（3）題時，假設不出來，亂寫的。

生3：我下課與同學交流，才發現用比來做這么簡單，自己當時沒想到。

……

從上面的訪談中可以看出，學生在解決第（2）和第（3）題的過程中，并沒有想到前面小結過的知識。也就是說，第（1）題正確率為100%，更多的是來自于學生的背誦與記憶。

2.思考

鄭毓信教授認為：“在解題或新的數學學習活動中，學生往往不善于在心理表征的不同側面之間進行轉換，從而也就不能很順利地去找出對于求解目前所面臨的問題較為適合的成分。”林崇德教授則認為：“數學思維的靈活性，這是學生在數學思維活動中，思考的方向、過程與思維技巧的即時轉換科學性水平的集中反映。”由此可以看出，數學教學應當幫助學生學會在同一概念的不同心理表征或概念意象的不同側面之間靈活地實現轉移。我認為，這一任務落實在單元復習課中是比較合適的，因為單元復習課主要有三個功能，即知識整理、查漏補缺、思維提升，這三個功能不是單獨的個體，而是相互聯系、相輔相成的。依據“艾濱浩斯遺忘曲線”理論，一個單元的學習時間跨度剛好處在復習的最佳時機。

二、實踐——讓復習走向靈動

1.多元表征，構建網絡

新人教版小學數學六年級上冊教材安排了分數乘法、分數除法、比、百分數等內容，與學生在五年級學習分數的意義、四年級學習小數的意義等內容緊密相連，但由于每個單元有自己的側重點，而且時間跨度又大，所以給學生的感覺是零散的。同時，教材的編排是螺旋上升的，知識之間是緊密聯系的，不過這些前后聯系緊密的數學知識由于所處的學習階段不同，其表征也就不同。教學實踐表明，知識表征的不同，往往會誤導學生，讓他們覺得這些知識表征之間是沒有任何聯系的，從而在學習中不能靈活地提取與選擇合適的信息進行加工。

認知心理學認為：“信息以圖式的方式表征，將大大提高其激活和提取的速度，也會節省極為有限的工作記憶的存儲空間。”所以，在教學“百分數（一）”的單元復習課中，我做了以下的探究。

（1）文字表征。

師（呈現信息：男生人數比女生少20%）：請你說一句話，這句話所表達的意思要跟大屏上呈現的信息一樣，看誰想到的句子多。（先讓學生靜靜地思考，交流反饋）

生1：男生人數是女生人數的80%。

生2：男生人數是女生人數的0.8倍。

生3：男生人數與女生人數的比是4∶5。

……

通過變換句式，學生很快將百分數、分數、小數、比這些概念聯結起來，加深了對概念的理解。但是，我們從中也發現，受呈現信息的影響，學生的反饋大都呈現同樣一個模式，這對于學生思維靈活性的發展是不利的。

師（適時引導）：大家說的都是誰與誰在比？

生4：男生人數和女生人數在比。

師：還可以怎么比呢？

生5：女生人數和男生人數比。

師：那么，這句話的意思還可以怎么表達？

生6：女生人數是男生人數的125%。

生7：女生人數比男生人數多。

生8：女生人數是男生人數的1.25倍。

生9：女生人數與男生人數的比是5∶4。

……

當學生能用不同的數來表達的時候，說明學生對數的理解已經不是單一的、片面的，而是形成了一個整體的知識網絡。鄭毓信教授曾指出：“數學教學不應求全，而要求聯。”這就要求教師不僅要關注知識點的教學，更要重視溝通知識點之間的內在聯系，引導學生自主建構數學知識網絡。

（2）算式表征。

有了對數的意義的深刻理解，學生再來用等式表達，就比較得心應手了。

師：你能用等式表示這句話的意思嗎？

生10：女生人數×20%=相差數，女生人數×（1-20%）=男生人數。

生11：女生人數×=相差數，女生人數×（1-）=男生人數。

生12：女生人數×0.2=相差數，女生人數×（1-0.2）=男生人數。

生13：總人數×=女生人數，總人數×=男生人數。

師：仔細觀察，大家寫的等量關系有什么相同的地方？

生14：都是乘法，一個數乘分率或倍數等于另一個數。

……

這里，既將 “比一個數多（少）百分之幾”納入“一個數是另一個數的百分之幾”的認知結構中，又將“一個數是另一個數的百分之幾”納入“一個數是另一個數的幾分之幾”和“一個數是另一個數的幾倍”的認知結構中，形成概念系統，使學生了解有關概念之間的邏輯關系，從而實現概念的融會貫通。

（3）圖形表征。

師：你還能用圖形來表示這句話的意思嗎？（學生動手畫一畫后交流反饋）

生15：

生16：

……

為了讓學生的思維靈活起來，數學教學要引導和促進學生在同一數學概念心理表征的不同成分之間作出靈活的轉移。概念的外部表征，算式的符號化，豐富了學生內在的思維結構，為靈活解決問題和學習新知識提供了可能。

2.精選素材，有效指導

有了豐富的知識儲備，學生在面臨比較單一的問題時，知識的提取與應用不存在太多的問題，甚至有很多單一的技能已經達到了自動化的程度，如基本的口算等。但遇到稍難一點的問題或學習新知識時，學生在提取的過程中還是會出現困難，這是因為學生不善于搜索，缺乏搜索的路徑與方法。所以，教師要設計好相關練習，通過課堂的有效指導，讓學生積累靈活解決問題的經驗。

（1）知識技能的綜合運用指導。

新人教版小學數學六年級上冊第二單元“位置與方向（二）”主要學習用方向和距離兩個要素確定位置，由于這是四年級學習過的知識，所以教材補充了“用數對確定位置”的內容。相對簡單的知識點如何豐富它的內涵，讓學生積累靈活解決問題的經驗呢？仔細分析后發現，我們可以把這一內容放到大背景下，也就是放到“圖形與幾何”的領域之中引導學生進行探究。“圖形與幾何”領域分為“圖形的認識”“圖形的測量”“圖形的運動”“圖形與位置”四個板塊的知識，怎樣的習題可以承載這么重要的學習任務呢？一份畢業卷上的一幅圖（見右圖）引起了我的注意。在單元復習中，我以此圖為例，讓學生畫一個與△ABC面積相等的三角形，并用數對表示出它三個頂點的位置，然后思考：“在畫的過程中，你用到了哪些知識？”我讓學生在獨立思考后進行反饋，反饋時側重于畫法，數對表示頂點的教學就一帶而過了。

生1：我測量了它的底和高，底是5厘米，高是2厘米，于是我畫了一個底是5厘米、高是2厘米的三角形。

生2：我是將這個三角形向右平移5格來畫的，因為平移后的圖形形狀、大小不變。

生3：我是將這個三角形繞點B順時針方向旋轉90度來畫的，因為旋轉后的圖形形狀、大小也不變。

生4：我是用軸對稱來畫的。

生5：我是將點C向右平移一格來畫的。

師（小結）：利用這些知識，我們還解決過哪些問題呢？

……

以這一習題為載體，通過回憶學過的基礎知識與基本技能，把一個個零散的知識點串聯起來，培養了學生解決問題的能力。

（2）策略方法的綜合運用指導。

在五年級“長方體和正方體”的單元復習中，我以下圖為例，讓學生用多種方法解決問題。

師：以正方體與長方體的組合為例（如下圖），想一想，你有幾種方法來求它的體積？請你用算式表示出來。（右邊方框內是當時的板書）

（先讓學生獨立思考，再請幾個學生板演，學生出現分割、填補、平移這三種方法）

師：觀察黑板上的算式，你都明白同學的算法嗎？（指名學生邊說邊用課件演示，讓所有學生明白每個算式的意思）

師：根據算法的特點，我們可以給它們取個名字。（板書：分割、填補、平移）為了豐富同學們解決問題的策略（板書對稱擴大和倍比關系這兩個算式），請同學們觀察并思考這兩個算式的算理。你能看懂嗎？

……

師：這些方法與策略不僅僅可以用來解決立體圖形的體積問題，在平面圖形、數與代數領域中也有用武之地。老師以擴大法的運用為例，拋磚引玉，希望能給大家一些啟發，我們一起來看一看。（課件呈示如下，學生自由閱讀與理解）

①擴大法在平面圖形練習中的應用。

下圖中扇形的半徑為6厘米，圓心角為45度，AC垂直于OB，垂足為C，陰影部分的面積是多少平方厘米？

分析：將圖以OB為對稱軸畫出它的軸對稱圖形，如下圖所示，這樣左圖陰影部分的面積為（π×62÷4-62÷2）÷2=5.13（平方厘米）。

②擴大法在數與代數中的應用。

雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

用□表示雞的只數，用○表示兔的只數，根據已知條件發現如下。

□+○=8…………………………………………（1）

2□+4○=22………………………………………（2）

將（1）乘2（擴大到原來的2倍），得：

2□+2○=16………………………………………（3）

對比（2）與（3），得2○=22-16。

解得○=3

□=5

展示多種解題策略與方法的主要目的在于引導學生學會從多角度看問題，積累運用多種策略解決問題的數學活動經驗，并指導學生學會將策略應用到其他知識領域，明白這些策略的使用范圍。這樣教學，既拓寬了學生的視野，又提升了學生的思維能力。

總之，提高學生思維的靈活性，不僅要讓學生學會使用各種具體的認知策略，更重要的是要讓學生懂得應該在何時何地使用何種策略，提高學生的元認知水平。

（責編 藍 天）