合理猜想，嚴密論證

朱炎林

[摘 要] 猜想不只是一個空洞的概念，而是學生的已有經驗與新的問題相互作用、相互碰撞的過程. 初中數學論證既需要關注學生經驗基礎上的合情推理，也需要重視數學規律之上的嚴格論證. 無論是猜想還是論證，歸根到底都需要學生思維的完整參與.

[關鍵詞] 猜想；論證；初中數學；知識建構；數學思維

初中數學知識教學至少有兩種途徑：一是傳統教學中教師的講授，學生在教師精心設計的思路引領之下，不斷地發現新的知識，直到構成完整的知識系統；二是基于學生的實際并從學生的認知基礎出發，讓學生在自身努力之下不斷地解決問題并且獲得新的認知. 應當說這兩種途徑在實際教學中都有存在的價值，并沒有優劣之分. 而具體采用哪一種途徑，關鍵在于對學生已有知識基礎的判斷. 就筆者的感覺而言，初中數學知識相對不那么復雜，且前后系統性比較強，如果學生對知識的掌握還算比較扎實，那后一種途徑則可以更為普遍地使用. 當然，這里也不能忽視第一種途徑，因為至少對于部分“學困生”來說，必要的講授與重復還是必須存在的. 這里有一個相輔相成的關系. 下面，筆者僅從大部分學生的實際出發，以“等腰梯形的性質與判定”教學為例，努力引導學生在數學知識建構的過程中大膽猜想并嚴密論證，以求知識建構的自主性和科學性.

大膽猜想是新舊知識的經驗

性碰撞

在數學探究中，猜想是一個環節，盡管新課程改革至今已有十幾年，但筆者發現絕大多數數學探究中對猜想的理解還只停留在經驗的角度. 其實，從猜想的心理機制來看，猜想是一個復雜的過程，真正的猜想是在新的信息輸入之后，學生在原有的知識系統中提取相應的知識去嘗試性地進行解釋，并且這會有一個短暫的自我判斷過程，即判斷自己的解釋是否合理. 一般情況下，如果學生感覺合理（不一定是真的合理），那學生就會表達出自己的猜想，而如果感覺不合理，學生就有可能不開口，這又意味著實際教學中的另一種情形：不開口不意味著學生沒猜想. 總的來說，猜想就是一個新舊知識進行經驗性碰撞的過程，在實際教學中只有重視這個過程，才能讓猜想真正發揮其對學習的推動力.

在“等腰梯形的性質”教學中，“性質”的發現緣于學生對等腰梯形特征的研究，而特征又來自生活中經驗的積累與即時觀察——用數學工具進行觀察，這實際上也是一個猜想的過程. 筆者首先讓學生到生活中去尋找等腰梯形，學生一般可以舉出梯子、對稱的屋面、高壓線架子上的圖形等. 然后筆者用PPT向學生呈現出一個等腰梯形，并提問：等腰梯形有哪些特征？（如果學生不明白什么叫特征，則需要教師提醒從線與角的關系角度去描述，可以提前作出對角線和中位線）正常情況下，學生此時能夠基于兩個已知條件——上、下底平行且兩腰相等去分析、猜想.

經驗表明，學生的猜想一般都是先從對稱的角度去進行，進而猜想出同一底邊上的兩個內角相等、對角線相等等；在尋求等量關系時，學生的猜想帶有邏輯思維的特征，他們會通過心算去判斷對角互補的關系，而中位線的大小與底邊的關系則難以直接看出來，但教師可以引導學生先根據直覺去判斷可能存在的關系.

分析學生的這一猜想過程，可以獲得這樣幾點認識：其一，學生根據等腰梯形的對稱性去猜想線與角的關系，實際上是將生活中形成的對稱認識，以及之前學過的與對稱相關的數學知識，與新呈現在面前的等腰梯形進行對比，從而直覺地獲得一些等量關系. 其二，也存在另外一種可能，即部分學生的猜想實際上經歷了一個直覺判斷的過程，他們會迅速地認定由底邊、腰和對角線構成的兩個三角形是全等關系，從而獲得猜想結果. 這一猜想過程不是嚴密的數學證明，基本上就是一種直覺思維，而直覺思維原本就是生活和學習經驗的結果，其是猜想的重要依據，對角互補關系的猜想也屬于這種過程；對于中位線與上、下底的關系，學生幾乎無法得出精確的關系，但其長度介于上下底之間，又因為前有三角形中位線知識，因此又容易讓學生直覺地猜想是上、下底之和的一半. 有了這樣的猜想之后，學生就會嘗試著證明（借助這一機會，可以將教學引向嚴密論證的階段）. 但無論是什么情形，都會發現新舊知識的碰撞是猜想的本質所在，因此，在數學猜想中，要充分調動學生已有的經驗和知識，要想方設法引導學生去進行新舊知識的碰撞.

嚴密論證是數學思維的精細

化應用

在筆者看來，論證的過程是將猜想過程中尚不夠精細的思維精確化的過程，也是利用合情推理或嚴密的數學關系進行論證的過程. 這個過程需要花時間，但無論是合情推理還是數學論證，這個時間又是值得花的. 之所以在這里強調這一點，是因為實際教學中常常會出現為了迅速得出結論而忽視論證過程的現象，這看起來為知識的獲得節省了時間，可以將更多的時間用到數學知識的應用當中去. 可實際上這樣的速成思路，卻不利于學生數學知識的建構和數學思維的發展.

在“等腰三角形的判斷”教學中，筆者首先借助合情推理思想，用學生活動的方式進行證明. 比如對于“同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形”，可以讓學生通過剪紙的方法去進行：作出底角相等的梯形然后對折，看兩腰能否吻合；對于“一組對邊平行且不等，另一組對邊相等且不平行的四邊形是等腰梯形”這一判定方法，筆者則引導學生在大腦中建構想象表象：一組對邊平行且不相等容易構建，另一組對邊相等但不平行是什么樣子？用學生的話說，只能是呈“八”字形或倒八字形，于是等腰梯形的樣子也就出現在學生的思維當中了. 其余判定定理的方式類似，此處不再贅述.

無論是合情推理思想下的學生活動，還是想象表象的建構，距離嚴密還有一定的距離，其主要作用在于培養學生的數學想象力，在于為嚴密的論證奠定思維基礎. 進入嚴密論證的環節，關鍵在于引導學生發現證明需要用到的數學工具，如全等三角形知識，兩直線平行內錯角相等等. 這個過程也是傳統數學教學的重要內容，此處也不再贅述.

但需要強調的是，等腰梯形判定定理的尋找與發現，需要強化或者說放大從文字語言到數學語言（數學符號與數學圖形）的過程，因為筆者在教學中發現，學生對于這些判定定理的運用，常常有一種“知其然，但不知其所以然”的現象，而這一現象的原因不是因為證明過程不科學，而是由文字語言轉換成數學語言不充分引起的. 事實上，這也是初中數學教學中一個容易忽視的地方——文字語言的數學化. 嚴格來說，是用數學知識翻譯生活知識的過程，如“對角互補的梯形是等腰梯形”這一判斷是語言性的，在學生的思維中其不應當以文字的形式存在，而應當以圖形和數學關系的形式存在，“對角互補”必須是一個梯形中的對角之和為180°的情形，“等腰梯形”應當是一個具體的圖形而不是這四個字.

從某種程度上講，這種將判定語言轉換成數學語言的過程，是本知識教學中“精細化”的主要體現，因為從結論發現的角度來看，本課知識的學習中學生的思維不會遭遇太大的挑戰，而將等腰梯形的判定定理轉換成數學圖形及因素關系，才能完成從語言向數學轉化的過程. 如果說初中數學要追求“精”，要追求“細”，那這樣的轉換才是“精細”的真正體現.

知識建構是數學思維的完整

化體現

初中數學教學所教者無非是三維目標所描述的內容，問題在于，無論是教師基于三維目標對教學進行描述，還是學生在課堂上沿著時間主線進行知識構建，總會經歷一個遺忘的過程，這樣的遺忘會讓學生所獲得的知識變得碎片化，這是規律倒也不需要過于擔心，因為后續的復習，可以將知識補上. 但需要注意的是，在新的知識建構過程中，要讓學生的數學思維得到一個完整的運用與體現.

眾所周知，數學是關于“數”與“形”的科學，數學就是將“數”與“形”的關系以邏輯關系連接起來. 數學知識是千變萬化的，但數學關系卻是相對不變的. 尤其是初中數學教學中，數學關系的運用基本上是實數四則運算的運用、因果關系的運用等，在一節數學知識建構的過程中，教師要盡量將這種關系體現出來，從而實現學生數學思維的完整化. 可以肯定地講，只要學生的數學思維處于活躍狀態，那數學知識的建構就不會出現太大的問題. 但需要注意的是，數學思維是不是活躍，不僅僅與學生的智力因素有關，更與學生的非智力因素有關，只有學生的動機明確、注意力集中時，數學思維才有可能被激活，而數學思維的完整性也才可能真正實現.

以上借助等腰梯形的性質與判定，闡述了筆者關于數學教學中猜想與論證的認識，這些認識有些是基于經驗的，有些是基于思考的，由于能力所限，謬誤之處難免，懇請專家、同行批評指正.endprint