數學教育提升學生思維品質的維度及策略

胡緒　宋曉林

摘 要 培養和完善學生的數學思維，是學校數學教育的應然取向。優秀的數學思維具有主動、靈活、全面、合理、深刻等特征。在培養學生數學思維方面，教師應以數學教育者的身份，引領學生主動地探索數學世界；抓住細節提升學生思維品質；給予學生充足的思考時間和充分的表達機會；提倡與培養懷疑和批判精神；調整評價思路，重視對學生思維發展和完善程度的診斷。

關鍵詞 數學教育 數學思維 數學素養 數學教育變革

鄭毓信先生在《“數學與思維”之深思》一文中闡釋了“有效促進學生的思維應成為判斷數學課成功與否的主要標志”，“數學教育應當致力于促進學生更積極地去進行思考”[1]。無論是從關注學生學習數學的興趣和激情，還是從長遠培養高素養數學人才來看，數學教育都應該注重幫助學生擁有高品質的數學思維，讓數學真正成為優美的思維體操。

一、數學教育應關注并促進學生思維發展和完善

當前“重知識、重分數”等頑固思想引領下的數學教育不可避免地陷入困頓的境地。譬如，精講多練后，師生仍會發現數學知識掌握起來是那么的困難；學生在學習數學過程中也會表現出思維惰性，他們不假思索地將一種題型的解法應用到類似題目上，而往往忽略兩者的差別。究其原因，一部分學生是不知從何入手解決問題，他們的思維似乎成為了“籠中困獸”，無法施展才能；另有一部分學生是由于在解決數學問題的過程中考慮不全面、不深入、不細致，對問題一知半解，導致錯誤發生。

眾多數學教師將這些問題歸咎于學生個人的態度、方法、基礎或智力等，并未深究自己所遵循的數學教育理念和方法是否真正培養和釋放了學生的數學思維活力。因此，教師繼續采用題海戰術，讓學生重復練習相同、相似的知識和問題。如此一來，學校數學教育中的教與學就陷入迷失般的惡性循環。

可見，雖然現有學校數學教育能促進學生數學思維的發展，但這個結果并不是教育者首先關注的重點，而是他們追求分數的“副產品”。也可以說，這個結果是數學學科固有的功能。我們認為，數學教育不能只憑“本能”發展，而須將促進學生思維發展和完善的功能發揮到最大。因此，我們需要將數學教育的關注點放在學生數學思維的發展和完善上，超越只看分數并以分數定學生優劣的認識，進而探索思維取向的數學教育須要關注的維度，以及在實踐中切實可行的培養路徑。最終實現，讓學生通過學習數學發展數學思維，能進行數學式思考，并嚴謹地解決數學問題。

二、學校數學教育培養學生數學思維品質的維度

1.數學思維的發展和完善須要以主動參與為前提

在學習過程中，數學學困生和學優生的一個顯性差別就是，后者在學習中比前者更加主動地思考、探究數學問題，更愿意體驗思索數學問題帶來的樂趣，而前者缺乏思維意識進而對數學學習失去興趣，認為數學是枯燥乏味的數字堆積。此外，兩者數學思維整體性也存在差異。前者由于沒有主動思維心向的指引，整個思維結構殘缺不全，解題過程漏洞百出，問題五花八門；而后者的學習和解題過程明顯表現出一定的準備態勢，他們的注意力會集中在將要開始的學習和解題上，從心里做好展開思維的準備，這種主動性也會延續到接下來的思維活動中，維系了整個學習和解題過程。因此，優秀的數學思維品質需以積極主動參與為前提，激發學生的思維活力。

2.數學思維須要有進行全面細致考慮的意識和習慣

學生理解、應用數學都是以問題為中心，“圍繞問題，數學教學過程得以展開，隨著問題解決的過程，學生的數學思維得到鍛煉。”[2]所以，學生對數學問題認識的全面、細致程度反映了其思想的發展與完善程度。

然而，無論是學生通過問題認識數學，還是以數學知識解決問題，都需要做到“三清楚”：第一，將問題審清楚。在這個環節，學生需要對問題本身有清楚、全面的認識，能明確問題中的條件，并能對條件進行初步的分析，嘗試得出可能有用的其他信息。同時，需要明確待解決的具體問題，并嘗試對問題進行分解或與已知條件和嘗試性結論建立聯系。第二，將思路理清楚。這是對前一環節的繼承，也是基于問題的數學學習和解決數學問題的核心，同時還是考量學生數學思維發展和完善程度的核心指標。需要特別說明的是，這一過程本身極具教育意義，學生可以從中體驗到解決數學問題的思路并不是一成不變的，通過猜想、嘗試、驗證等方式可以從不同的角度找到解決問題的思想。第三，將結果表達清楚。數學是種交際語言，它能溝通不同人的思想。因此，數學問題最終需要得到清楚地表達，才能擴展其價值。這一環節對學生的要求是表達力求簡約、完整、規范。

不難發現，上述三環節都要求學生具有全面細致的思維意識和習慣。對數學問題似懂非懂，對問題中的條件及其蘊含的信息考慮不周，以及對數學問題本身結構的認識不全面都不能學好數學。所以，數學教育應關注學生數學思維全面細致性的培養。

3.數學思維需要靈活性來維系其生命力

數學是“思維的體操”，這表明數學思維有“舞出美麗”的活力，而這種活力需要數學思維具有靈活性來彰顯和延續。這是認識和解決數學問題的實際需要所決定的。

首先，解決數學問題的思路和方法應是靈活的。縱觀數學發展史，數學家常常會用幾十年甚至上百年的時間研究一個數學問題而不得解，但伴隨著新的思路和方法被發現，新的數學成果也應運而生。這表明，解決數學問題不能過于機械守舊，而應重視思路和方法的靈活性，否則數學思維將得不到提升和完善。其次，靈活的數學思維能提升學生思維的遷移能力。在教學實踐中，學生數學學習效果不佳的一個原因就是思維過于死板，將一種或幾種題型當做萬能的，而不靈活分析和運用相關知識。相反地，靈活的數學思維能加深學生對數學問題和知識的理解，達到舉一反三、觸類旁通的作用，進而提升學生的遷移能力。

所以，欲提升學生數學思維品質，就須將靈活性作為培養目標之一，以葆數學思維的生命活力。

4.數學思維須要兼顧有效與合理性，提升效度

數學是一門簡約而嚴謹的學科，因此在解決數學問題的過程中，數學思維須要彰顯其有效性與合理性。而在學校數學教育中，常有學生在解決問題時能很快找到思路，而在解決問題過程中，卻往往出現推進不下去的情形。這表明，學生的思維雖理論上可行，但操作不便，并不利于解決問題，思維的效度比較低。

對此，我們應認識到，數學不僅是理論學科，同時也是應用學科，合理并有效的思維才能真正促進學生更好地認識、理解數學，更有效地解決數學問題。縱觀數學史，有效合理的數學思想和方法是數學實現突破的關鍵。所以，學校數學教育需重視學生有效的解題思維的培養。

5.數學思維需要深刻性來實現對知識的超越

最理想的數學教育是能讓學生透過現象看本質，以辯證、嚴謹的思維探析數學和數學問題的本真。這就要求學校數學教育需在培養學生思維深刻性方面做出更多努力，這也是最能反映出學生數學思維品質優劣的一個維度。如果學校數學教育能幫助學生擁有這樣的思維品質，那么，數學教育者的使命就算是基本達成，數學教育也就超越了單純的數學和符號游戲，成為一項有創造性的活動。

三、提升數學思維品質的教育策略探究

1.引領學生主動地探索數學世界

實踐中，數學教育潛意識里遵循“分數決定一切”的原則，將思維和分數的關系本末倒置，學生數學思維主要是“被發展”。因此，我們認為學生思維缺乏主動性不是學校數學教育面臨困難的原因，而是學校數學教育造成的結果。

對此，在實踐中，我們引領學生主動探索數學世界時應注意適當降低對數學分數的期望，讓學生的學習觀從“考高分”轉變為“體驗數學學習思維過程”。這樣的轉變能讓學生將更多的注意力集中在對學習和解題質量的追求上，而不僅僅去追求學習和解題的數量。同時，還應讓學生體驗數學思維帶來的愉悅和成就，增大數學的吸引力。當學生學習和解題中出現困難時，及時提供精妙的解題思路和方法。通過實踐來看，學生此時的愉悅體驗感最強，數學的吸引力也體現得淋漓盡致。

2.抓住細節提升學生思維品質

思維的火花稍縱即逝，這就要求數學教師做一個“眼明手快”的人，及時發現學生思維細節中的亮點和漏洞。以往的數學教育主要關注學生顯性的知識問題，忽視學生隱性思維中的細節問題，故而就錯改錯，學生的數學思維能力并未得到提升。所以，教師應透過“知識性”錯誤分析“思維性錯誤”，并開出相應的處方。

同時，教師還應做一個“畫龍點睛”的人，巧用細節升華學生思維能力。譬如，對于有一定閱讀量和思維量的問題，學生往往會忽視一些重要的細節，造成解題思路受阻，這就需要教師引領學生關注細節，達到“山窮水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果。

3.給予學生充足的思考時間和充分的表達機會

著名數學家張伯駒先生告誡我們：“數學使我學會長時間的思考，而不是匆忙地去做出解答。”[3]而學校數學教育中，過量的問題充斥整個學習過程，留給學生自己思考的時間極為有限，學生思維的深度和細致程度受到削弱，所收獲得只是題量而不是思維量。因此，學校數學教育者應作相應的轉變。

第一，適當減少題量，將時間和空間讓位于思維。這要求我們在課前認真選擇蘊含思維量適中，并能鞏固所學的題型。這樣，學生有充足的時間分析、思考，能獲得對問題更深刻的理解，進一步鞏固所學。

第二，將思考的主體地位歸還學生。知識取向的數學教育，教師將問題的分析、表達一人承擔，學生則負責將教師的思維成果“遷移”到自己的筆記本或試卷上。結果，學生逐漸喪失了思維的意識和能力，學習演變為簡單地模仿。因此，教育者不能越俎代庖，而應相信并幫助學生發揮思維主體的作用。

第三，給予學生充分的表達機會。提升思維品質的數學教育提倡學生靈活地、個性化地解決問題，鼓勵不同的學生對于相同的問題有不同的解法，我們的職責是讓學生將他們的成果展現出來，達到相互交流和幫助的目的。更重要的是，“辯論”能激發學生的思維活力，并且讓學生體會這也是數學學習的有效途徑之一。

4.提倡與培養學生的懷疑和批判精神

提升思維品質的數學教育，旨在培養學生思維的創造性和創新性。為此目的，學校數學教育應提倡和培養學生的懷疑和批判精神。

第一，不能為學生的思維設定框架。數學教育長期重視數學知識和技能，其后果是讓學生徘徊于題海之中，思維也受制于數學知識的嚴密結構。所以，在夯實基礎的前提下，應適當填充相應的內容，開闊學生的視野，為創造和創新提供支持。單純重視題型的訓練容易導致學生思維固化，降低思維遷移能力，適當地增加數學教育中的思維量，能為學生思維發展提供更多可能性。

第二，批判和懷疑精神需要鼓勵。現實中學生缺乏懷疑和批判能力的重要原因是不敢懷疑和批判。所以，教育者應及時鼓勵學生的創造性行為和思維，激發學生去懷疑和批判，并體會其帶來的成就。同時，懷疑和批判精神的養成需要長期關注，否則學生思維惰性就會顯現，創新思維的培養也不能延續。此外，教師的鼓勵應是辯證的，不能對所有懷疑和批判行為都表示贊許，否則創新就會成為“異想天開”。

5.調整評價思路，重視對學生思維發展和完善程度的診斷

現實中，數學教師主要是以對知識點的考察來評價學生學習效果的優劣，而思維則被放置在次要的位置上。這樣就使評價失去了從根本上查漏補缺的功能。所以，數學教育者亟需轉變評價觀念，重視對學生數學思維的考察。首先，評價的對象應由數學知識轉變為數學思維。這彰顯了數學思維在數學學習中的核心地位，也體現了數學教育的著力點是數學思維。其次，評價的目的應轉變為發展和完善學生思維。只有這樣，我們才更明確思維是成績的前提，但成績不能替代思維的事實，進而更重視對學生數學思維的培養。最后，符合思維導向的評價，應在教師和學生兩個活動系統之間建立一種動態的聯系。在這個動態的過程中，數學教育者通過正式或非正式的方式與學生交流，探析學生數學學習心理、思維發展和完善程度，然后有針對性地對思維進行提升或補救。

參考文獻

[1] 鄭毓信.“數學與思維”字深思[J].數學教育學報，2015（1）.

[2] 胡緒，宋曉林.數學處方式教學探究[J].教學與管理，2014（4）.

[3] 代欽.對日本精英教育的懷舊及其借鑒作用——日本數學家藤田宏教授訪談錄[J].數學教育學報，2010（2）.

【責任編輯 郭振玲】