“變量與函數”概念教學案例分析與反思

蔣紅英

摘 要：理解概念是一切數學活動的基礎。函數概念的產生是數學歷史發展中的里程碑，它使數學的研究對象從常量延伸到了變量。從數學教育的角度來看，研究函數所提供的動態的方法，數形結合的思想拓展了學生的思維，解析幾何、微積分、概率等都與函數息息相關。因此，函數概念作為中學數學的核心，是毋庸置疑的。

關鍵詞：變量與函數；概念教學；案例分析；教學反思

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）01-247-02

2015年7月22日-8月5日，由兵團教委，教研室組織的中學數學繼續教育培訓在石河子大學成功舉行。本次活動是全疆數學教師的再教育，再深造。其中由兵團教研室楊衛平主任組織的“變量與函數”說課活動引起了大家的關注。作為普通教師的一員，筆者有幸參加了觀摩活動，深受啟發。下面從以下幾個案例提出自己的反思：

案例一：例1、日氣溫變化圖：圖18.1.1是某日的氣溫變化圖，根據這張圖，你能否得到某個時刻的溫度？

從圖中我們可以看到，隨著時間t（時）的變化，相應地氣溫T（℃）也隨之變化.每一個時間t，都有一個唯一的氣溫T與之對應.

例2、高爾夫球的軌跡

我們用l標識高爾夫球飛行的水平舉例，用h標識高爾夫球的飛行高度.此時高度h隨著水平距離l的變化而變化。

例3、水中的波紋

把一塊小石頭投入池塘中，就會激起一陣陣的波紋。

面積S隨著半徑r的變化而變化.每一個半徑r都有唯一的面積S與之對應.

反思：考慮實例要盡量貼近學生的生活，此案例對課本上提供的例子作了修改，選擇了"一日內的溫度變化"、"高爾夫球的運動"、"水中的波紋"這樣三個例子.如果后兩個例子學生在生活中根本沒有經驗，學生理解起來會有困難。

案例二：例1、《名偵探柯南》中有這樣一個情景：柯南根據案發現場的腳印，鎖定疑犯的身高.你知道其中的道理嗎？”

例2、我們班中同學A與職業相撲運動員，誰的飯量大？你能說明理由嗎？

反思：此案例的設計意圖是想從學生的生活入手，但現實世界中各種量之間的聯系紛繁復雜，應向學生說明我們數學的研究方法是化繁就簡，本節課只關注一類簡單的問題.當然，這里的問題是作為研究“背景”呈現，教學時應作“虛化”處理，以突出主要內容。否則，教師不易控制課堂節奏，會在這一環節浪費大量時間，這樣的引入是否有必要？

案例三：問題一：一輛汽車以60千米/小時的速度勻速行駛，行駛里程為s千米，行駛時間為t小時.

1、請同學們根據題意填寫下表：

t/時 1 2 3 4 5 t

s/千米

2、在以上這個過程中，變化的量是______。不變化的量是__________。

3、試用含t的式子表示s=__________，t的取值范圍是 _________。

這個問題反映了勻速行駛的汽車所行駛的路程____隨行駛時間___的變化過程.

問題二：每張電影票的售價為10元，如果早場售出票150張，午場售出205張，晚場售出310張，三場電影的票房收入各多少元？設一場電影售票x張，票房收入y元。怎樣用含x的式子表示y ？

1、請同學們根據題意填寫下表：

售出票數（張） 早場150 午場206 晚場310 x

收入y （元）

2、在以上這個過程中，變化的量是_____________.不變化的量是__________.

3、試用含x的式子表示y.__y=_________________x的取值范圍是__________.

這個問題反映了票房收入_________隨售票張數_________的變化過程.

問題三：在一根彈簧的下端懸掛重物，改變并記錄重物的質量，觀察并記錄彈簧長度的變化，探索它們的變化規律.如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，設重物質量為mkg，受力后的彈簧長度為l cm，怎樣用含m的式子表示l？

1、請同學們根據題意填寫下表：

所掛重物（kg） 1 2 3 4 5 m

受力后的彈簧長度l（cm）

2、在以上這個過程中，變化的量是_____________.不變化的量是__________.

3、試用含m的式子表示l. l=___________m的取值范圍是_____。

這個問題反映了_________隨_________的變化過程.

問題四：圓的面積和它的半徑之間的關系是什么？要畫一個面積為10cm2的圓，圓的半徑應取多少？圓的面積為20cm2呢？30 cm2呢？怎樣用含有圓面積s的式子表示圓半徑r？ 關系式：________

1、請同學們根據題意填寫下表：

面積s（cm2） 10 20 30 s

半徑r（cm）

2、在以上這個過程中，變化的量是_____________.不變化的量是__________.

3、試用含s的式子表示r.__r=_________________s的取值范圍是__________

這個問題反映了___隨___的變化過程.

問題五：用10m長的繩子圍成矩形，試改變矩形的長度，觀察矩形的面積怎樣變化.記錄不同的矩形的長度值，計算相應的矩形面積的值，探索它們的變化規律。設矩形的長為xm，面積為sm2，怎樣用含有x的式子表示s呢？

1、請同學們根據題意填寫下表：

長x（m） 1 2 3 4 x

面積s（m2）

2、在以上這個過程中，變化的量是_____________.不變化的量是__________.

3、試用含x的式子表示s=_______________，x的取值范圍是 __________。

這個問題反映了矩形的__隨__的變化過程.反思：此案例引用了課本的五個實例。第三個例子，由于不少學生在理解“彈簧問題”時面臨列函數關系式的困難，可能沖淡對函數概念的學習，對于繁難的概念，我們更應注重為學生構建學生所熟悉的、簡單的數學現實，化繁為簡、化抽象為形象.過難、過繁的背景會成為學生學習抽象新概念的攔路虎.

綜合以上案例分析：

由于“變量與函數”是概念課，并且比較抽象，學生不容易接受，可以充分聯系小學知識進行比較，打消學生的恐懼心理。也可以運用一些史料，如：講述“函”字的古義，使學生獲得對“函數”這一概念的更深刻的理解。學生對概念的理解需要經歷一個從模糊到清晰的過程，通過正例與反例的對照，才能準確理解概念的內涵.反例引用的時機、反例的量要恰到好處.過早、過多的反例會干擾學生對概念的準確理解.概念生成的前期提供的各種量的關系中的實例提供的是一個更為廣泛的背景，讓學生經歷從各種關系中抽象出“特殊的單值對應關系”，從而體會產生函數概念的背景.在對函數進行舉例時，學生可能會舉出錯誤的對應，比如可能有的學生舉例子時忽略了函數的對應關系，也可能出現錯誤的對應方式，如一對多等等，在這個過程中，教師要及時糾正，加深學生對概念的認識。