高中數學恒成立的解題方法和思路

劉淑娟

摘要：數學是高考的必考科目，恒成立是高考數學試卷中的常見考題。本文列舉了函數法、變換主元法、數形結合法，分析了高中數學恒成立問題的解題思路和方法。

關鍵詞：高中數學 恒成立 解題方法 思路

恒成立是高中數學教學的難點和重點，它不僅包含變量，還包含參數，且解題過程較為復雜，有些學生往往無從下手。因此，本文通過講解例題，認真分析了恒成立問題的解題思路與具體方法，以便提高學生解決問題的能力，提升學生的數學水平。

一、函數法

1.一次函數恒成立問題

例1.設存在x，且x [-3，1]，現有不等式（2a+1）x+a+2>0。若要不等式（2a+1）x+a+2>0恒成立，求解a的取值范圍。

解析：針對一次函數f（x）=kx+b，x [m，n]，則存在：

當時，f（x）>0恒成立。

當時，則可證明f（x）<0。

該題是比較簡單且典型的恒成立問題，學生可以按照上述證明方式，把x=-3、x=1分別代入f（x），則得出不等式方程組：，之后進行簡化，可得a ≥-1，a≤。此時，學生便可得出本題答案：a的取值范圍為[-1，]。

2.二次函數恒成立問題

例2：設有不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0，若使不等式（m-1）x2+（m-1）x+2>0在任何條件下恒成立，求解m的取值范圍。

解析：首先，學生需先把不等式變為一元二次方程，通過方程根的判別式、最值以及對稱軸等方程性質求解題目。判別式法為：設任意二次函數f（x）=ax2+bx+c，其中a0，且xR。那么，二次函數恒成立會有以下幾種情況：①當f（x）min>a時，f（x）>a，對所有xI恒成立；②當f（x）max>a時，f（x）g（x）max且xI時，則有f（x）>g（x）。在本題中，二次項系數中含有未知參數m，所以學生應分類討論：①當m-1=0時，則f（x）=2>0恒成立，所以m=1；②當m-10時，則有m-1>0且=（m-1）x2-8（m-1）<0，可得（1，9）。由此，可得本題答案：m的取值范圍為m [1，9]。

二、變換主元法

例3.設存在a，a的取值范圍為[-1，1]。有f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0，且f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a>0恒成立，請判斷x的取值范圍。

解析：在解答含參數的不等式恒成立問題過程中，學生可使用變換主元法，令參數a作為方程中的變量，因變量x作為參數，之后把題目轉換成一次函數恒成立問題，則會降低該問題的難度。具體解題步驟如下：令g（a）=（x2+2x-1）a-4x+3，由題目條件已知a [-1，1]，將a=-1、a=1分別代入g（a）中，可得，由此可知g（a）>0恒成立，x的取值范圍為[-3- ，-3+]。

三、數形結合法

例4.設存在函數f（x）= -a+，同時存在函數g（x）=ax+a。若要f（x）≤g（x）恒成立，求解a的取值范圍。

解析：首先，學生需要轉化不等式，之后構造函數，把不等式兩邊轉換為較常見的函數，之后繪制圖像，得出參數取值范圍。具體解題步驟如下：由已知條件可得：f（x）≤g（x）可變換為≤ax+2a。設y1=，y2=ax+2a。由y2=ax+2a可知，y2=ax+2a過點（-2，0），斜率為a。而y1= 可變換為（x-2）2+y12=4（x≥4，y1≥0），學生由（x-2）2+y12=4可知，其幾何圖形為以點（2，0）為圓心，半徑長為2的半圓形圖形。故而，若要使f（x）≤g（x）恒成立，則需要y2圖像高于y1圖像（如圖1所示）。通過圖像，能夠明確得出兩個函數之間的不等式關系。

由圖可知，直線與圓相切時，可得，

解得a=或a=-。因此，可得出本題答案：若要f（x）≤g（x）能夠達成恒成立，則參數a的取值范圍為[，+∞]。

四、結束語

不等式恒成立覆蓋了大量的知識點，綜合性較強。如果學生的解題思路過于單一，將不利于解決問題。因此，教師應積極探索解題策略，幫助學生提高成績。

參考文獻：

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[2]沈宏.高中數學中恒成立問題的解題策略[J].讀與寫（教育教學刊），2014，（1）.

[3]盛軍.數形結合方法在高中數學教學中的應用評價[J].赤子（上中旬），2015，（15）.

（作者單位：山東省菏澤市鄄城縣第一中學）