巧妙運用幾何直觀，助力學生思維發展

羅賢龍

【摘要】義務教育數學課程標準（2011版）提出要培養學生的幾何直觀能力。幾何直觀在學生的數學學習中發揮著不可替代的作用，它可以將抽象的數學概念清晰化，有效地幫助學生理解算理，建構模型，助推數學能力提升，思維發展。

【關鍵詞】幾何直觀 清晰概念 理解算理 深化思維

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）02-0114-02

隨著數學2011版課程標準的頒發、使用“幾何直觀”成了新標準中的十大核心概念詞。重視幾何直觀能力的培養，加強幾何直觀的運用，是數學教學的方向。幾何直觀主要是指利用圖形描述、分析、解決問題。借助幾何直觀，可以將復雜的數學問題簡明化、形象化，有助于學生的思考和理解，有效地幫助學生清晰表征，建構模型，提升數學思維。

一、抽象概念，清晰表征

在小學數學基礎知識中，數學概念占有相當的比重，并且有些數學概念比較抽象，小學生受到自身知識經驗水平和思維水平的限制和影響，對這些概念往往是懂非懂，模棱兩可，教師一時也很難用語言解釋清楚。這時，幾何直觀往往會成為非常有效的表達、解釋工具。正如，笛卡爾曾說過的：“沒有任何東西比幾何圖形更容易引入腦際了，因此，用這種方式來表達事物是非常有益的。”數學中圖形語言也像文字語言那樣具有記錄作用，而且比文字語言更形象，更有利于學生的形象記憶，更有利于學生對數學知識的理解。

例如：教學“3的倍數的特征”。教師一般情況下先復習2、5的倍數的特征，小結：判斷一個數是不是2或5的倍數，只要看個位；其次列舉一些3的倍數，發現3的倍數的個位上0到9都有可能，發現不能依據個位特征判斷一個數是否是3的倍數；接著猜想3的倍數是否與各個數位上的數和有關；最后得出結論，記憶并應用結論。但事實上，學生對于3的倍數為什么要看一個數的各個數位上的數字之和只知其果而未知其因。而利用百數表和小棒直觀圖就能清晰的解決問題。

1.在百數表上圈出3的倍數。

2.觀察百數表，你有什么發現？（“3的倍數排成了斜行；十位上的數加1，各位上的數就減1。”）

3.它們什么不變？（“十位上的數與各位上的數的和不變。”）。至此，3的倍數的特征就呼之欲出。

驗證：以“42”為例。借助小棒圖讓學生直觀看到：1個十被3除余一，4個十被3除，共余4個一，再加上個位上的2個一，一共6根小棒，剛好是3的倍數。

4.拓展：驗證三位數。例如“105”，百位上的數除以3余下的根數1和各位上的根數5相加是3的倍數，所以105是3的倍數；“115”，百位上、十位上的數除以3余下的根數加上個位上的數的和不是3的倍數，所以115不是3的倍數。

通過幾何直觀，不僅使學生明晰了3的倍數的特征，更使學生深刻領悟3的倍數的特征隱含的“所以然”。

二、理解算理，構建模型

在小學數學知識體系中，計算教學占有很大的比重，雖然通過教學學生能掌握計算方法，但還有很多學生不能理解算理，而且了解的也不夠深入。我國數學家華羅庚先生曾很形象地講過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”數形結合，幾何直觀能幫助學生實現算法具體化與抽象化兩者之間的高度融合，高度統一，幫助學生對知識的深層建構，加深對算法的理解。

例如：教學環形的面積公式：s=л（a2-b2）=л（a+b）×（a-b）

在學習過環形面積的計算之后，很多學生對于л（a2-b2）的計算總是錯誤較高，究其原因之一是多數學生計算時用的是口算的方法，如果遇到數字較大時，往往學生算得比較慢，而且錯誤率又較高。很多老師會讓學生再仔細地算一遍，但學生錯誤依舊。我思索著，可否用л（a+b）×（a-b）來計算呢？這樣不僅可以可以簡化計算，而且很多時候可以口算。

我決定讓幾何直觀來幫忙，讓學生理解a2-b2=（a+b）×（a-b）。a2代表大正方形的面積，b2代表小正方形的面積。a2-b2代表圖中空白部分的面積（圖一）。其中，空白部分的面積可以通過割補的方法（圖二）拼成一個長方形（圖三）。圖三長方形的面積就是長（a+b）、寬（a-b），面積等于（a+b）×（a-b）。所以，a2-b2=（a+b）×（a-b）。當學生的頭腦中有了這三幅圖的經驗支撐，他們對于a2-b2=（a+b）×（a-b）的理解是深刻地、全面地。

再比如：a÷b÷c=a÷（b×c）。教學時，很多老師采用的是通過舉例子的驗證，學生可以記住這個結論，但更多地是建立一種表象，沒有將其本質屬性納入自身的知識體系中。因此，我們可以通過幾何直觀讓學生借助圖形親自參與到操作、驗證中，讓歸納、推理、概括、總結的過程由學生自己完成，這樣，不僅可以幫助學生有效地記住這個數學規律，還可以幫助學生建立相應地數學模型。

畫圖時我們假設b=3，c=4，那么：

三、深化思維，提升能力

美國數學家斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以轉化為圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創造性地思索問題的解法。”這就表明，解題時若能挖掘問題的幾何意義，配以圖形，示以直觀，那么就能取得以簡馭繁的效果。而小學中高年級的數學教材或配套練習往往是用文字的形式呈現的。純文字的形式表述比較簡潔，但也使學生在理解上增加了一定的困難，以致學生常常讀不懂題意。如果在解決問題時學生能主動的畫一畫、涂一涂，借助幾何中直觀的圖形將抽象的問題具體化、形象化，學生能輕松地找到解決問題的辦法，提升學生解決問題的能力。

1.加強語言之間的聯系，合理轉換

例如：五年級（1）班和（2）班同學分組去春游，兩班人數相等。（1）班學生平均分成了4組，（2）班同學平均分成了6組，結果1班每組的人數比2班每組人數多4人，這兩個班共有多少人？

單讀文字，很多學生不能找出其中的數量關系，解題也無從下手，引導學生分析時，可以將文字語言逐步轉化成圖形語言，溝通他們之間的聯系，題意也在直觀中明晰。

2.注重數與形的結合，有效理解

借助幾何直觀可以加強學生對數學知識方法的理解， 優化解題過程。學生的幾何直觀能力增強了， 對其提高數學理解能力有很大的幫助。

本題可以設計三個教學層次：第一層次，鼓勵學生嘗試自主解答，學生一般會先通分，然后相加；第二層次，不斷添加分數，制造學生認知沖突，尋找解決問題的數學規律；第三層次，教師可以引導學生構造出一個邊長為1的正方形，通過引導學生看圖，發現算式與圖形之間的聯系，從中發現規律。計算題和圖形看似沒有任何關系，但將分數加法轉化成圖形表示后，不僅避開了復雜旳運箅，還提升了學生思維的深度，將數與形更好地結合了起來。

3.強化數學意識的培養，提升思維

幾何直觀不僅是一種數學意識，也是一種技能與能力，更是一種數學的思維方式。在數學問題的解決過程中，我們常常發現有些學生遇到數學問題的時候寧可托著下巴冥思苦想，也不肯用草稿紙畫一畫，嘗試算一算，試探地尋找解題的規律。因此，對于數學教學來說，幾何直觀首先表現為一種數學意識——面對數學問題時的一種本能式的思考；其次是，表現為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，不僅能將數學中的文字語言用圖形等方式畫出來，而且還能借助數學圖形進行思考，有一種數學經驗的積累和經歷，更是一種數學能力；其三，學生形成一定的用圖、畫圖來解決數學問題的正定向之后，逐步會形成一種遇到抽象性的數學問題之后，會主動地運用幾何直觀的思維方式展開數學思考。總之，幾何直觀不僅是一種技能，更是一種能運用圖形等直觀手段進行思考的能力，是一種思維方式。

幾何通常被喻為“心智的磨刀石”。縱觀我們的小學數學教材，可以發現幾何直觀無處不在，若我們教師在教學中能有效挖掘幾何直觀因素，使用好這“助力器”，就可以大大提升學生的數學思維能力。

參考文獻：

[1]曹培英.跨越斷層，走出誤區：“數學課程標準”核心詞的實踐解讀之四——幾何直觀[J].小學數學教師.2013（6）

[2]嚴玉秋.在小學數學教學中如何培養學生的幾何直觀能力[J].數學學習與研究.2013（04）

[3]許冰彬.從“圖導”走向“圖構”：幾何直觀教學的新視域[J].江蘇教育.小學教學.2014（1）