學生數學符號意識PORE評價框架的構建

朱立明，馬云鵬

（東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024）

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學生數學符號意識PORE評價框架的構建

朱立明，馬云鵬

（東北師范大學 教育學部，吉林 長春 130024）

摘要：“符號意識”作為《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出的10個核心素養之一，是學生必須具備的一種數學素養．評價學生符號意識的發展水平，是教育工作者在義務教育階段數學課程與教學中不能回避的任務．基于對符號意識內涵的分析和國內外的相關研究成果的借鑒，構建了一個關于數學符號意識4個維度（數學符號的感知，數學符號的運算，數學符號的推理，數學符號的表達），每個維度包括由低到高3或4個水平的PORE評價框架．

關鍵詞：義務教育階段；符號意識；核心素養；發展水平；PORE評價框架

1 問題提出

英國著名數學家羅素曾說：“數學是什么？數學就是符號加邏輯”．數學符號是抽象思維的產物，可以表示一般的數量關系及變化規律．在數學中，現實世界的數量關系和空間形式是以抽象的數學符號和公式表達出來的[1]．而數學公式一般也是借助數學符號來表達的數學命題，是數學課程內容的重要組成部分[2]．2011年頒布的《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011版）》）將符號意識作為10個核心素養之一，而數學符號是抽象性、簡潔性與廣泛應用性矛盾的統一，因此，學生在符號意識的提升過程中，往往只是進行機械性記憶，難以厘清數學符號之間及其與數學知識之間的相互聯系，符號意識的缺乏將直接影響學生對數學的理解和感悟，引導學生通過學習活動將數學符號內化，形成真正的符號思維是一個長時間的過程[3]．正如波利亞（G.Polya）所說：“學生沒有充分的機會親身體驗到數學符號語言有助于思維，那他討厭數學是無可非議的，幫助學生獲得這方面的經驗體會是教師的重要職責”[4]．

要發展學生的符號意識，首先，需要清晰地了解學生符號意識的現狀；其次，要對教師是否在數學教學活動中有效地培養了學生符號意識進行合理的價值判斷；最后，以此判斷為依據，幫助教師制定科學的教學目標，選擇適切的教學策略，促進學生符號意識的發展．因此，構建一個能夠評價學生符號意識發展水平的框架是十分必要的，這也是培養學生符號意識的前提．

2 相關概念的界定

2.1 符 號

亞里士多德基于知識論和邏輯學對符號、概念和對象3者做出區分，認為符號并不能直接表示現實中某個事物，而是通過人的觀念與“意識的內容”發生聯系，這種觀點注意到符號與現實事物之間的思維認知作用，被后來的語言學家、符號學家們普遍接受[5]．

最早從語言學的視角研究符號的是瑞典語言學家索緒爾（Saussure），他認為當某事物A作為另一事物B的替代而代表事物B時，事物A的功能稱為符號功能；承擔這種功能的A稱為B的符號（Symbol）．一個符號由“能指”和“所指”組成，“能指”是一個可被感知的具體的“形象”；“所指”則是“能指”所指對象的精神概念[6]．

美國符號學家皮爾斯（Charles Sanders Peirce）從符號學的視角提出符號就是對象的再現（representation），他認為符號包含符號、對象、解釋3個主題，具體地說，一個符號涉及除它自身以外的一個對象（object），對象可以是現實事物，也可以是另一個再現符號，而符號在與對象的聯系中，在符號使用者的頭腦中便產生了解釋（interpretation）[7]．

很明顯，索緒爾和皮爾斯雖然從不同視角對符號進行定義，但索緒爾所說的“能指”和“所指”，類似于皮爾斯所說的“符號”和“解釋”，兩者共同特點在于符號是一種物質對象并具有某種意義，莫里斯（C.W.Morris）認為，“意義”是一個功能性的行為過程，“意義”蘊含著符號，符號蘊含著規則，規則蘊含著解釋者[7]．

2.2 意 識

從英語詞源的角度來看，“Sense”在英文中的意義十分豐富，不僅僅是“感覺”之意．在Longman Active Study Dictionary of English 中，對“Sense”的前面4個注釋是：理解與判斷的力量或能力；一種難以準確描述的情感；良好的尤其是實用的理解與判斷；視覺、聽覺、嗅覺、味覺、觸覺的其中之一．

從心理學角度來看，意識是包括感覺、知覺、思維在內的一種具有復合結構的最高級的認識活動，思維在其中起著決定性的作用，具有自覺性、能動性、創造性等特點，在人的各種心理活動中，它發揮著調節、指導、控制的作用[8]．意識可以分為3種水平：無意識水平，即主體對其自身狀態或外界變化沒有覺知的意識狀態；前意識水平，即人腦中所保持的經驗或信息在需要時可以提取再現而達到覺知的意識狀態；潛意識水平，即蘊含在意識層下的欲望被控制、壓抑而使主體不覺知的意識狀態[9]．

通過英語詞源與心理學兩個視角的論述，研究者認為意識具有內隱性與外顯性，意識的內隱性主要表現在以思維為主導的一種積極主動的反應和心理認知傾向；意識的外顯性主要表現在理解與判斷、交流與表達的能力．

2.3 數學符號意識的分析層面

基于以上分析，數學符號意識是數學符號的下位概念，對其繼續劃分，得到數學符號意識包含3個層面，即數學學科、抽象符號以及心理意識，下面從數學學科、符號學、心理學3個視角對數學符號的內涵進行定義．

圖1 數學符號的內涵

數學符號意識，即學習者借助思維的決定性作用，對數學知識與數學符號（包含一切數學含義的專用標記、表示數學概念和數學關系的符號或記號，例如字母、圖像、表格等）之間抽象對應關系的一種積極主動的反應和心理認知傾向（內隱性），在通過數學符號的感知與理解、運算與推理、交流與表達等數學思考方式解決數學問題過程中所表現出來的一種數學符號的核心素養（外顯性）．

3 符號意識的研究現狀

不同人的符號意識是不同的，不同人符號意識表現的強弱也是不同的，目前國內外關于“符號意識”的一些研究成果，將為構建數學符號意識評價框架起著重要的借鑒作用．

3.1 國內研究現狀

由于《課標（2011版）》將數學符號的要求由原來的“符號感”改為“符號意識”，因此，以“數學符號感”和“數學符號意識”為核心詞在CNKI數據庫中進行檢索，查到與義務教育階段數學符號意識相關的文獻有125篇：英語文獻18篇；中文文獻89篇；學位論文18篇，其中博士論文3篇，碩士論文15篇，其分布如表1所示．

表1 符號意識的文獻分布表

其中，席振偉、徐本順認為數學符號具有物質性、非相似性、抽象性、精確性、規范性、通用性、自我生成性和開放性的特征，并指出選擇數學符號應遵循整體性、單義性、簡明性、表意性和科學性等基本原則[10]．托和勒理通過論述數學符號的歷史發展及形成過程，指出數學符號系統既是數學的內容，同時又是思維的材料、要素以及表達形式．數學符號系統的功能主要表現在作為認識的載體、描述的手段、推理的工具；約簡思維、加快思維進程；規范思維、促進思維的機械化；及將思維過程演算化、計算化，使“人機”對話成為可能等方面[11]．查永平按照近世數理邏輯的觀點將數學符號可以分為4大類：（1）研究對象的符號；（2）運算符號；（3）表示量與量之間的關系符號；（4）表示輔助的符號[12]．邵光華、劉明海（2005）按照感知規律將數學符號分為3類：象形符號；縮寫符號；約定符號[13]．

2001年《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《課標（實驗稿）》）首次將符號感作為數學的一個核心素養提出．符號感主要表現在：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號來表示；理解符號所代表的數量關系和變化規律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的程序和方法解決用符號所表達的問題[14]．鄭毓信認為，“符號感”一詞還有待商榷，與“符號感”這樣一種多少會使人感到“不可明確言狀”的提法相比，在此所面臨的一個重要任務是，如何對“數學語言”的特殊性做出深入的分析[15]．“感”更強調于由于外界刺激作用于主體而產生的，是通過肢體（如感官等）而非大腦思維，因此含有原始性的、經驗性的成分[16]．《課標（2011版）》對一些核心素養作了相關修改和補充，將《課標（實驗稿）》中的“符號感”修改為“符號意識”，并指出符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具一般性．符號意識的建立，有助于學生理解符號的使用，也是數學表達和進行數學思考的重要形式[17]．王林全曾提出符號意識的說法，并從理解閱讀能力、鑒賞能力、探究能力、選擇能力和運用能力5個方面來闡述發展學生符號意識的問題[18]．史炳星、馬云鵬、唐復蘇基于問題解決過程認為學生符號意識的發展包括：能從具體情境中抽象出數量關系和變化規律，并用符號表示；理解符號所代表的數量關系和變化規律；會進行符號間的轉換；能選擇適當的方法解決符號表示的問題[19]．

祁正國指出符號感的培養應注重3個方面：即理解符號意義，擴展符號聯結；聯系實際模型，化抽象為具體；表示一般情況，揭示普遍規律[20]．張號等基于“符號感”與“符號意識”的內涵與區別，論證了《課標（2011版）》對其修改的必要性，并指出符號意識的培養關鍵在于回歸實踐[21]．

綜上可以看出，國內關于符號意識的研究，2001年以前主要集中在對數學符號本身的研究，例如數學符號的特征、數學符號的歷史發展及其演變、數學符號的功能、數學符號的分類、數學符號思想、數學符號價值等，而2001年以后更多研究已經逐漸脫離了針對數學符號本身的論述，主要集中在數學符號意識的內涵解讀、數學符號感（數學符號意識）的培養等方面，這與《課標（實驗稿）》以及《課標（2011年版）》對將符號感（符號意識）作為核心素養是分不開的，符號意識應該被重視，沒有符號化的代數，就沒有高層次的數學數量科學，從而也就沒有現代技術和現代科學的發展[22]．

3.2 國外研究現狀

國外對符號意識（Symbol Sense）的系統研究并不多，主要集中在以下幾個方面：Hilbert David從數學的起源角度出發，認為數學的起點就是符號[23]．Huxley Aldous從數學發展的角度出發，認為一些重大的數學進展都歸功于符號的發明，盡管它們必須進行解釋[24]．數學符號的使用是推動數學發展的內在動力因素之一．“數學的一切進步都是對引入符號的反應”[25]．Truesdell Clifford從功能的角度出發，對符號和文字加以區分，認為世上沒有任何東西是能用數學符號表達而不能用文字表達的，反之則不成立[26]．這時的研究僅停留在數學符號的層面，并沒有提出符號意識．對符號意識進行比較系統的研究和深入剖析的是J.Fey和Abraham Arcavi．J.Fey認為符號意識是“處理符號表達和符號操作的非正式技能（informal skill），包括：（1）認知與鑒別技能，對數學符號本質有深刻的理解，對于以數字、圖像表示的數學模式，能夠粗略估計其分析表達式，鑒別以某個法則表示某個模式是否恰當；（2）估算技能，對以某種符號法則表示的某種函數，能對函數值進行非正式的估計和比較；（3）驗算與預測技能，對運算結果做出算術估計，或對已進行的運算的正確性做出判斷；（4）選擇技能，對一個特定問題，從幾個等價的解答中確定最合適的形式[27]．Abraham Arcavi認為符號意識是對符號的鑒賞（appreciation）、理解（understanding）、直覺（instinct），發展學生的符號意識是數學教育的重要目標之一[28]．Arcavi從行為的角度列出符號意識的7種表現：（1）感知和理解符號力量的美妙和神奇，能夠適切地應用符號去表達隱性的數量關系、一般化以及證明；（2）在解決問題過程中，知道何時放棄符號而選擇其他方法或者尋求更容易簡練的表征方式；（3）符號操作和符號解讀表達是解決代數問題的兩個補充層面；（4）在解決問題過程中，能夠成功處理表達文字信息和圖象信息的符號之間的關系；（5）能夠選擇一個可行的符號表達式表征問題并能夠根據需要加以替換；（6）能夠有意識地檢查問題解決過程中符號的意義，并將其與自己的直覺或問題的預期結果對照；（7）體會不同情境中符號具有不同的意義和作用[29]．Pierce.R 和Stacey.K在Arcavi的基礎之上，提出了從數學問題到問題方案過程中的符號意識，他們稱之為代數洞察（Algebraic Insight），并從代數期望和聯結表征兩個層面構建了研究框架[30]．還有一些學者認為符號意識是一種能力，例如Kinzel認為符號意識就是“認識符號、操控符號和解釋這些符號的能力的結合”[31]．Zorn認為，“符號意識就是從符號中抽象出數學涵義和結構，有效的解析符號的涵義，以及有效的操縱符號來發現新的數學涵義和結構等能力”[32]．

國外研究主要認為符號意識是技能、行為（Arcavi）、洞察（Pierce.R ＆ Stacey.K）、能力（Kinzel ＆ Zorn）等，其中以J.Fey和Arcavi為代表，兩人分別從技能與行為表現不同角度嘗試著給符號意識下定義，但是這種定義均屬于描述性的，只解釋了“符號意識是什么？”，沒有說明“什么是符號意識？”Pierce.R和Stacey.K是在Arcavi的研究基礎之上提出符號意識的一個子集，即代數洞察，并構建理論框架，應用于問題解決過程中方案選取階段符號意識的研究．

4 學生數學符號意識評價框架的構建

“符號意識”作為一種隱性的課程目標，評價的標準是什么，以什么方式進行評價，是不得不思考的問題，參考國外關于符號意識相關框架構建的方法和《課標（2011版）》對符號意識的描述，利用SOLO分類法對符號意識進行了維度和水平的劃分．其中，維度的劃分主要是依據Arcavi關于符號意識的行為表現和《課標（2011版）》對“符號意識”內涵解釋進行的，按層次構建了包含4個維度的PORE評價框架：數學符號的感知（perception），數學符號的運算（operation），數學符號的推理（reasoning），數學符號的表達（expression），在各維度下，借鑒Pierce.R和Stacey.K的關于代數洞察的具體常見情境和SOLO分類法劃分不同水平，如圖2所示．

圖2 數學符號意識在問題解決中的應用

4.1 維度一 數學符號的感知（perception）

數學符號的感知是對數學符號的直觀認識，不僅包括感知、理解數學符號本身所特有的含義，也包括數學符號之間相互關聯性，理解數學符號的意義及數學符號之間的關系．是數學學習最基本要求，也是符號意識的最基本要求．數學符號的感知有3種狀態：符號模糊狀態；符號單一狀態；符號關聯狀態，此維度可以劃分為3個水平，如表2所示．

表2 數學符號的感知水平

4.2 維度二 數學符號的運算（operation）

數學符號的運算是數學活動中最重要的基本形式，運算是根據一定的數學概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結果的過程．此維度的核心是基于數學運算的符號操作，符號操作作為解決代數問題的一個重要補充，是需要學生必須掌握的數學技能之一．數學符號的運算所得結果的一般性體現出數學符號的本質特征[33]，數學符號的運算包含3個階段：具體數字運算階段；符號形式上的運算階段；符號程式化運算階段，此維度可以劃分為3個水平，如表3所示．

表3 數學符號的運算水平

4.3 維度三 數學符號的推理（reasoning）

數學符號的推理包括合情推理和演繹推理，合情推理的基本思路是“通過經驗過的東西推斷沒有經驗過的東西”，是形成數學猜想的重要途徑[34～35]，是一種從特殊到一般的推理形式，正如史寧中教授所說：“數學的結果是‘看’出來的，而不是‘證’出來的．”[33]但是這里的結果未必是真的，需要通過演繹推理對其真偽加以驗證，演繹推理是一種從一般到特殊的推理形式，此維度可以劃分3個水平，如表4所示．

表4 數學符號的推理水平

4.4 維度四 數學符號的表達（expression）

發展符號意識最重要的是從數學符號的角度運用數學符號系統進行數學表達[36]．符號的表達是一種理性的表現，可以使數學問題的解決呈現一定的規律，從而避免雜亂無章信息的干擾，并從中發現一些共性的東西，提升有序思維，所以，從某種意義上說，數學符號的表達正是數學符號作為一種意識需要強化的．數學符號的表達有3種表現：數學對象和數學關系的符號化；利用數學符號進行數學表達；多種數學符號之間的相互關系及其轉化，此維度可以劃分為4個水平，如表5所示．

表5 數學符號的表達水平

5 結 束 語

將符號意識作為學生數學學習的核心素養，是由數學學科以及社會發展對人的需要所決定的，集中體現了數學課程與當前時代的相互適應．學生經歷了數學符號學習的實踐活動，就自然會在生活和學習中用數學符號去表達自己的觀點，推演相應的結論，形成一定的數學符號意識．“符號意識”作為課程目標，缺少一定的評價標準和框架，這就會使課程目標的價值和意義大打折扣，希望本研究能夠為符號意識測量工具的編制指引方向，進而實現對《標準（2011版）》中“符號意識”這種隱性課程目標的評價．

［參 考 文 獻］

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[責任編校：陳雋]

PORE Assessment Framework of the Students’ Concept of Symbol Sense

ZHU Li-Ming, MA Yun-Peng
(Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China)

Abstract:Symbol sense, which is one of ten core competencies set on the curriculum standard of mathematics (2011), is the essential self-cultivation of the pupils.The assessment the level of pupils’ symbol sense, that is the unavoidable task about curriculum and teaching in compulsory education.Based on the analysis of the meaning of symbol sense of data analysis, and the reference of related research achievement, we constructed a PORE assessment framework, which include four dimensions perception, operation, reasoning, communication, every dimension also include three or four levels.

Key words:compulsory education; symbol sense; core competencies; developmental level; PORE assessment framework

作者簡介：朱立明（1986—），男，河北承德人，博士生，主要從事課程與教學論研究．

基金項目：教師教育協同創新中心總體設計的合作研究重大項目“高素質教師成長規律與培養方式變革研究”下的重點研究課題——教師教育創新課程開發與教學設計（XTZX20130002）

收稿日期：2015–09–08

中圖分類號：G420

文獻標識碼：A

文章編號：1004–9894（2016）01–0084–05