從一堂教改實踐課談學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)*

●洪　瓊　(天臺中學(xué)　浙江天臺　317200)

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從一堂教改實踐課談學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)*

●洪瓊(天臺中學(xué)浙江天臺317200)

摘要:數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力．課堂教學(xué)的有效性體現(xiàn)在對教學(xué)內(nèi)容的把握和課堂氛圍的營造上．發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維關(guān)節(jié)點、恰當(dāng)?shù)牟呗灾笇?dǎo)和優(yōu)化解題教學(xué)是有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的幾個關(guān)鍵點．

關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思維;思維關(guān)節(jié)點;策略指導(dǎo);解題教學(xué)

筆者參加浙江省高中數(shù)學(xué)名師培養(yǎng)工程第2次活動時，在金華市外國語學(xué)校觀摩了一堂教改實踐課“導(dǎo)數(shù)在構(gòu)造函數(shù)中的應(yīng)用”．進(jìn)入聽課教室，筆者就發(fā)現(xiàn)課桌不是傳統(tǒng)的一人一桌，學(xué)生座位的安排也不是傳統(tǒng)的“秧田”式整齊排列，而是5個人為一個學(xué)習(xí)小組圍坐在長方形大桌子旁，學(xué)生抬頭可以直面黑板．筆者針對聽課內(nèi)容談自己的一些體會，供大家參考．

1　案例回顧

1．1課前準(zhǔn)備

教師印發(fā)學(xué)生導(dǎo)學(xué)案，學(xué)案內(nèi)容包含學(xué)習(xí)目標(biāo)和3個例題．課前，教師要求學(xué)生初步完成學(xué)案．

學(xué)習(xí)目標(biāo):理解函數(shù)的零點、方程的根、2個函數(shù)圖像交點這3者之間的關(guān)系;熟練運用導(dǎo)數(shù)分析圖像的單調(diào)性、曲線相切問題等;理解函數(shù)構(gòu)造中的常見策略，學(xué)會多角度分析問題．

例1已知m∈R，討論關(guān)于x的方程x3－3x－m=0的根的個數(shù)(嘗試多種方法并進(jìn)行方法小結(jié))．

1．2師生互動

教師針對例1，向?qū)W生征集解決方案．

生1:構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3－3x－m，研究函數(shù)f(x)的零點(記為方法1)．

(學(xué)生分析思路，教師按學(xué)生思路板書．當(dāng)學(xué)生通過求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間后，教師畫出函數(shù)的簡圖．學(xué)生對含參數(shù)m的極大值、極小值與0的關(guān)系進(jìn)行討論，得出答案．)

師:把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點．

生2:轉(zhuǎn)化成x3－3x=m，研究函數(shù)f(x)=x3－3x和函數(shù)y=m的交點個數(shù)(記為方法2)．

師:為什么要把m移到等式右側(cè)?比起第1種方法有優(yōu)勢嗎?

生2:生1構(gòu)造的一元三次函數(shù)含有m，函數(shù)不確定，需要對函數(shù)進(jìn)行討論．把m分離之后，等式左側(cè)的函數(shù)是確定的一元三次函數(shù)．而y=m的圖像是平行于x軸的直線，比較容易觀察．

師:第1種方法和第2種方法有什么共同點?

生2:都是研究一元三次函數(shù)的圖像和直線的交點．

師:沒錯，都是把方程的根轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)圖像的交點．在第1種方法中，函數(shù)零點可以理解為函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=0圖像的交點．

生3:方程可轉(zhuǎn)化為x3=3x+m，研究函數(shù)f(x)=x3和函數(shù)g(x)=3x+m的交點個數(shù)，只需找出直線與一元三次函數(shù)圖像相切的情況即可(記為方法3)．

(學(xué)生上臺板演，寫出解題過程．學(xué)生講解比較快，思維跳躍性強(qiáng)，因此教師通過幾何畫板演示函數(shù)g(x)=3x+m當(dāng)m變化時圖像變化過程，彌補(bǔ)學(xué)生講解時的不完整．該方法講完后，整個教室陷入了靜寂．)

師:前面3種方法都是轉(zhuǎn)化為一元三次函數(shù)的圖像問題，有沒有其他方法?能不能轉(zhuǎn)化成其他熟悉的初等函數(shù)形式?

(教師提醒學(xué)生要注意當(dāng)x=0時的討論．學(xué)生上臺板演，對m進(jìn)行討論，畫出簡圖(如圖1所示)，但是在研究二次函數(shù)曲線和反比例函數(shù)圖像曲線相切的時候遇到了困難．教師協(xié)助其求出2條曲線相切時m的值．)

師:當(dāng)m＞0時，設(shè)2條曲線相切的公共切點為M(x0，y0)，則2條曲線在該切點處的切線斜率相等．易知f'(x)=2x，，由

圖1

解得x0=－1，m=2．

當(dāng)m＜0時，同理可解得x0=1，m=－2．

當(dāng)m變化時，用幾何畫板演示圖像變化情況．

師(點評):以上解題方法都是通過將方程轉(zhuǎn)化為不同形式，等式2側(cè)可記作不同函數(shù)，研究函數(shù)圖像的交點個數(shù)．等式2側(cè)可配比成各種各樣的函數(shù)形式，理論上都可行，但是盡量選擇我們熟悉的函數(shù)形式．

在解決完例1后，教師讓學(xué)生小組合作討論例2的解決方案，審視原來的解題方案并進(jìn)一步完善，以小組為單位展示成果．

1．3生生合作

學(xué)生按教師事先分好的學(xué)習(xí)小組進(jìn)行討論，討論過程中可看見合作小組的學(xué)生在相互交換自己的學(xué)案、演算和討論．

1．4學(xué)生展示

每個學(xué)習(xí)小組派一位代表上臺用幻燈片展示自己的學(xué)案，并進(jìn)行講解．

(學(xué)生展示詳細(xì)解答過程，思維清晰，運算準(zhǔn)確，語言幽默，其他學(xué)生鼓掌表示肯定．)

師:與例1的方法4一致．

小組2:將原方程轉(zhuǎn)化為

研究函數(shù)f(x)=2x3－2mx+1(其中x≠0)與x軸的交點個數(shù)．

(學(xué)生展示詳細(xì)解答過程．)

師:考慮問題非常周到，注意到了轉(zhuǎn)化的等價性，即當(dāng)x≠0時研究函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，對m的討論很完整．

(其他學(xué)生鼓掌表示肯定．)

小組3:把原方程轉(zhuǎn)化為

師:為什么要這樣轉(zhuǎn)化?f(x)是什么函數(shù)，大家熟悉嗎?圖像是什么形狀?

生6(在幻燈片上作圖講解):參數(shù)分離后，函數(shù)f(x)是確定的函數(shù)．可以通過研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)f(x)的簡圖(如圖2所示)．易知

圖2

師:對于x≠0這個“斷點”的考慮非常細(xì)致，運用了極限思想來判斷圖像的趨勢．

小組4(作圖板演):將原方程轉(zhuǎn)化為

研究函數(shù)f(x)=x3和的交點個數(shù)．

2　課堂效果

本節(jié)課安排在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)之后，設(shè)計的例題思維入口寬、切入點多，有利于學(xué)生的思維發(fā)散和一題多解．課堂中教師是一個真正的組織者，采用的方式就是組織學(xué)生小組合作交流．學(xué)生是課堂的主人，自主學(xué)習(xí)、自主探究并充分表達(dá)自己的見解．教學(xué)的重點是函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用．教師鼓勵學(xué)生呈現(xiàn)不同的思維過程，學(xué)生在表達(dá)自己想法的過程中去偽存真、完善自我、開拓思維．學(xué)生的思辨能力、表達(dá)能力都非常強(qiáng)，落落大方，到講臺板演講解都十分自然．課堂氣氛是寬松愉悅的，尤其是到講臺講解的幾個學(xué)生，非常幽默，逗得其他學(xué)生大笑．從這些都可以看出，這樣的教改實踐課不是第一次，而是經(jīng)過一段時間的積累和鍛煉，學(xué)生十分適應(yīng)而且各方面素質(zhì)都得到了較大的提高．

3　關(guān)于教改實踐課的幾點思考

美國教育大師杜威曾說過“學(xué)習(xí)就是要學(xué)會思維”、“教育在理智方面的任務(wù)是形成清醒的、細(xì)心的、透徹的思維習(xí)慣”．?dāng)?shù)學(xué)是思維的科學(xué)，因此數(shù)學(xué)教學(xué)更應(yīng)該在發(fā)展學(xué)生思維上承擔(dān)更大的責(zé)任．因此，從宏觀上說，數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是發(fā)展學(xué)生思維，優(yōu)化數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．結(jié)合案例，筆者談?wù)勔韵?點思考:

3．1創(chuàng)設(shè)研究性、開放性、自主性的課堂氛圍

目前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)非常注重效率，盡管課堂教學(xué)中學(xué)生的主體性有所加強(qiáng)，但總體來說仍然是灌輸式的．教師對課堂充分預(yù)設(shè)，內(nèi)容滿滿當(dāng)當(dāng)，學(xué)生缺乏學(xué)習(xí)興趣，學(xué)得累．只有富有研究性、開放性、自主性的課堂教學(xué)才能更好地促進(jìn)學(xué)生在情感、態(tài)度、習(xí)慣、思維能力等方面更好地發(fā)展．只有通過加強(qiáng)學(xué)生自身對學(xué)習(xí)的體驗，使學(xué)生從大量繁雜、重復(fù)的技能訓(xùn)練中解放出來，才能讓學(xué)生有更多精力投入到探索性的數(shù)學(xué)活動中去，才能更好地促進(jìn)思維發(fā)展、技能運用［1］．筆者在課后與上課師生交流，他們對這種上課方式習(xí)以為常．在談及教學(xué)內(nèi)容完成的量時，教師提到設(shè)計例題時就已經(jīng)考慮到有可能來不及，因為無法預(yù)料學(xué)生的想法以及學(xué)生表達(dá)的時間．在考慮“例題的量”與“學(xué)生表達(dá)的質(zhì)”的選擇時，毫無疑問要選后者．因為學(xué)生表達(dá)的過程就是思維展現(xiàn)的過程，也是自我修正的過程．在教改實踐課中，我們應(yīng)該把創(chuàng)設(shè)開放性的問題和引導(dǎo)學(xué)生清晰表達(dá)自己的思維過程作為課堂教學(xué)的目標(biāo)之一．

3．2尋找和利用思維的關(guān)節(jié)點

人的身體有許多關(guān)節(jié)點和穴位，思維也一樣．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該尋找、抓住并利用好思維的關(guān)節(jié)點．教師如果不知思維的關(guān)節(jié)點所在，平均用力，眉毛胡子一把抓，那么學(xué)生只能停留在機(jī)械模仿的水平上［1］．這種教學(xué)的有效性取決于教師的功力．在本堂課中，教師在多個地方設(shè)置了精巧的問題，打通了學(xué)生的思維關(guān)節(jié)點．例如，在例1中提出2個問題:方法2與方法1相比有什么優(yōu)勢?2種方法的共同點在哪里?不僅讓學(xué)生悟出問題的本質(zhì)都是通過轉(zhuǎn)化變成一元三次函數(shù)和直線的交點問題，也讓學(xué)生明白參數(shù)分離的作用是讓一元三次函數(shù)成為確定的函數(shù)．但遺憾的是，在方法3中，教師沒有抓住思維的關(guān)節(jié)點，方法3的本質(zhì)也是一元三次函數(shù)與直線的交點問題，但是最重要的區(qū)別是方法1和方法2中的直線都是平行于x軸，直線相切時的切點在極值處．而方法3需要求切點不明確情況下曲線的切線．如果教師能在方法3結(jié)束后設(shè)置幾個問題突出思維關(guān)節(jié)點，效果會更好．另外，在小組3呈現(xiàn)的例2的解決方法中，學(xué)生構(gòu)造的x2并不是我們所熟悉的初等函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)來研究陌生函數(shù)的圖像也是一個思維關(guān)節(jié)點所在，教師對于“斷點”的點評非常到位，能有效優(yōu)化和促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展．當(dāng)然，教師在與學(xué)生對話的過程中，缺乏一些正中要害的問題，比如“為什么要選擇這樣的轉(zhuǎn)化方式?你嘗試過其他方式嗎?”這才是思維的“穴位”所在．通過提問的方式促進(jìn)學(xué)生思考比教師直接點評總結(jié)效果會更好．

3．3加強(qiáng)策略指導(dǎo)

教師的核心職責(zé)是保障學(xué)生的學(xué)習(xí)權(quán)，提升學(xué)生以思維力為核心的自主學(xué)習(xí)力．教師要基于學(xué)生現(xiàn)有思維水平與學(xué)習(xí)習(xí)慣，通過思維策略指導(dǎo)，有效突破思維的難點和障礙，使得探究的問題在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)．在例1的綜合點評中，提到方程轉(zhuǎn)化的最終目的是構(gòu)造等式2側(cè)不同的函數(shù)形式，在構(gòu)造過程中要盡量尋找熟悉的初等函數(shù)模型．這是整堂課的思維關(guān)鍵點所在，也是解決這類問題的基本策略．例1的方法4中，學(xué)生研究二次函數(shù)曲線和反比例函數(shù)圖像曲線相切的時候遇到困難，教師就直接給出解答方法．很遺憾教師沒有把握住這個思維的關(guān)節(jié)點．學(xué)生思維的障礙點在于2條曲線相切問題．教師完全可以引導(dǎo)學(xué)生將2條曲線相切理解成2條曲線同時相切于某1條直線并有公共的切點，轉(zhuǎn)化成學(xué)生最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的直線與曲線相切問題．

3．4優(yōu)化解題教學(xué)

學(xué)數(shù)學(xué)離不開訓(xùn)練，離不開解題，但訓(xùn)練的目的和側(cè)重點是解題的技能技巧還是解決問題的思維方法，這是一個重大的原則性問題．重在訓(xùn)練技能技巧可能會禁錮學(xué)生的思維，而重在思維訓(xùn)練可以促進(jìn)思維更好地發(fā)展．這堂課在教學(xué)內(nèi)容的選擇和教學(xué)方法上都是圍繞著促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展．一題多解的例題讓學(xué)生的思維更有變通性．利用一題多解可以構(gòu)建新知識的最近發(fā)展區(qū)，尋找知識的生長點，激發(fā)學(xué)生探究問題，不斷從一類問題轉(zhuǎn)化為另一類問題，讓學(xué)生在探究中感悟轉(zhuǎn)化與化歸思想的妙處，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)．而這堂課的精彩之處就在于所有的問題解答都來自于學(xué)生的表達(dá)，完整展現(xiàn)了學(xué)生思維的特點和缺陷．遺憾之處就在于例2學(xué)生所呈現(xiàn)的方法都是例1方法的類比，沒有學(xué)生嘗試其他方法．

數(shù)學(xué)教學(xué)要時刻關(guān)注學(xué)生的思維過程，教師要準(zhǔn)確把握知識與例題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法和思維方法，準(zhǔn)確把握學(xué)生的思維起點與難點，設(shè)置合理的問題和巧妙的點撥，才能有效發(fā)展學(xué)生思維．

參考文獻(xiàn)

［1］李昌官．尋找數(shù)學(xué)內(nèi)在的力量［M］．寧波:寧波出版社，2014．

作者簡介:洪瓊(1982－)，女，浙江臺州人，中學(xué)高級教師，研究方向:數(shù)學(xué)教育．

修訂日期:*收文日期:2015-11-03;2015-11-16．

中圖分類號:O12

文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

文章編號:1003－6407(2016)04-21-04