在表征中磨礪思維在建模中滲透思想

馮桂群

【關(guān)鍵詞】近似數(shù)；表征；建模；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)思想

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）11-0056-03

【課前思考】

《近似數(shù)》是蘇教版教材四年級下冊的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在此，教材第一次正式提出近似數(shù)的概念，并要求學(xué)生用“四舍五入法”求較大數(shù)的近似數(shù)。按照瞻前顧后、提前滲透的編排原則，2014年秋之后的蘇教版新教材在正式學(xué)習(xí)近似數(shù)之前就安排了相應(yīng)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。如：在二年級下冊就向?qū)W生介紹了什么是“約等號”，要求學(xué)生判斷某些三位數(shù)或四位數(shù)接近幾百或幾千。即便如此，用“四舍五入法”求多位數(shù)的近似數(shù)仍是教學(xué)上的難點(diǎn)。主要原因有：（1）有關(guān)多位數(shù)的讀寫、估算等歷來是學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)；（2）教材在一課時(shí)內(nèi)同時(shí)呈現(xiàn)求多位數(shù)近似數(shù)的三種類型和三種表述方式，容量大，易混淆；（3）求多位數(shù)的近似數(shù)要省略的尾數(shù)位數(shù)很多，而用“四舍五入法”時(shí)只看尾數(shù)最高位；（4）這里的省略尾數(shù)與語文學(xué)習(xí)中“省略即去掉”的含義是不相同的，學(xué)習(xí)時(shí)容易出現(xiàn)負(fù)遷移。

基于對教材和學(xué)生的解讀與分析，我們緊扣求近似數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，引領(lǐng)學(xué)生生成了極具生長性和結(jié)構(gòu)性的求近似數(shù)的思維流程，并著力引領(lǐng)學(xué)生在畫圖、標(biāo)注、表述等多元表征中明晰思路、凸顯方法、建構(gòu)模型，以期突破教學(xué)難點(diǎn)，磨礪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【教學(xué)過程及意圖】

一、在生活情境中走近近似數(shù)

孩子們，知道這位慈祥的老人是誰嗎？對，他就是我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚。請看他的一段名言，齊讀：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。

無處不用數(shù)學(xué)！說得多好啊！我們身體里就藏著有趣的數(shù)學(xué)，請看一組數(shù)據(jù)——成年人全身有206塊骨頭，人的舌頭由17塊肌肉組成，人大腦中的神經(jīng)細(xì)胞有100億左右，咽喉是人體最繁忙的通道，在人的一生中大約有40噸食物通過。上面的數(shù)中，有的能夠精確地描述事物的實(shí)際數(shù)量，我們稱為精確數(shù)；有的是跟精確數(shù)比較接近的數(shù)，我們稱為近似數(shù)，今天這節(jié)課我們就一起來研究近似數(shù)。（板書：近似數(shù)）

由華羅庚的名言引出生活中的數(shù)學(xué)，再引出精確數(shù)與近似數(shù)，這樣的導(dǎo)入讓學(xué)生感到親切、自然，更讓學(xué)生在豐富而鮮活的數(shù)學(xué)文化中感受到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而產(chǎn)生探究近似數(shù)的熱情，在生疑和提問中興致勃勃地走進(jìn)探究之旅。

二、在探究情境中研究近似數(shù)

1.認(rèn)識近似數(shù)。

上面的4個(gè)數(shù)中，哪些是精確數(shù)？哪些是近似數(shù)？你是怎么想的？

從“左右”“大約”這兩個(gè)詞可以看出，其中的“100億”和“40噸”這兩個(gè)數(shù)不是精確數(shù)，而是和精確數(shù)比較接近的近似數(shù)。

生口答書上第22頁的“練一練”。

在生活或?qū)W習(xí)中，你還見過哪些近似數(shù)？老師這里也有一些近似數(shù)，誰來讀一讀？（我們每個(gè)人的頭發(fā)有10萬根左右；我國現(xiàn)有人口約14億；我國國土面積大約是960萬平方千米……）看到這些近似數(shù)，你有什么感受？

在計(jì)算中我們也遇到過近似數(shù)，比如在進(jìn)行□□□÷8□的試商過程中，我們常用多少來快速試商的？（80或90）在這里，80其實(shí)就是哪些數(shù)的近似數(shù)？（81—84）90呢？（85—89）

小結(jié)：在生活或?qū)W習(xí)中，有時(shí)需要用精確數(shù)，有時(shí)用近似數(shù)來表示反而更方便、更快捷！

從社會生活中的近似數(shù)到數(shù)學(xué)計(jì)算中的近似數(shù)，讓學(xué)生親歷建構(gòu)近似數(shù)概念的過程，使他們感悟到近似數(shù)在實(shí)際生活與學(xué)習(xí)中的廣泛運(yùn)用，同時(shí)激活了學(xué)生用“四舍五入法”求近似數(shù)的相關(guān)舊知，為他們的進(jìn)一步學(xué)習(xí)埋下了伏筆。

2.在數(shù)形結(jié)合中求近似數(shù)。

過渡：我們已經(jīng)會求兩位數(shù)的近似數(shù)了，那較大數(shù)的近似數(shù)該如何來求？請看一組信息（呈現(xiàn)例7，生讀題）。

這個(gè)城市的實(shí)際人口會跟表中的數(shù)量一樣始終不變嗎？為什么？對了，由于每時(shí)每刻都可能會有人出生或死亡，所以這個(gè)市的人口總是在不斷變化，不過這種變化的幅度一般很小，所以通常用近似數(shù)來表示人口，那這個(gè)市的男性和女性人數(shù)各接近多少萬呢？（生口答：38萬，39萬）

啟發(fā)：是不是這樣呢？我們不妨借助直線圖來驗(yàn)證一下。在這條直線上，這兩點(diǎn)分別表示38萬和39萬。將這兩點(diǎn)間的一段平均分成10份，每份是多少？你是怎么想的？讓我們從38萬起一千一千地?cái)?shù)到39萬。數(shù)出的數(shù)中哪個(gè)恰好在38萬和39萬的正中間？對，這一點(diǎn)就表示385000。那表示男性和女性人數(shù)的點(diǎn)大約在直線的哪個(gè)位置呢？在作業(yè)紙上分別描出來，再指給同桌看一看。

追問：仔細(xì)觀察，男性和女性的人數(shù)各接近多少萬？你是怎么想的？

小結(jié)：無論是觀察圖上點(diǎn)的位置，還是比較它們千位上數(shù)的大小，我們都發(fā)現(xiàn)男性人數(shù)接近38萬，女性人數(shù)接近39萬。精確數(shù)和它的近似數(shù)之間要用什么符號連接？（約等號）所以，384204≈38萬，386685≈39萬。

通過例題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受到一個(gè)城市的人口是不斷變化的，一般情況下很難也不需要得到一個(gè)精確數(shù)，所以通常用近似數(shù)來表示人口，從而突顯了近似數(shù)的本質(zhì)特征。之后，讓學(xué)生借助直覺、畫圖和看千位上數(shù)字的大小等方法，得出男性人數(shù)和女性人數(shù)分別接近38萬和39萬，為下面介紹用“四舍五入法”求近似數(shù)積累了豐富的表象與活動經(jīng)驗(yàn)。

3.用“四舍五入法”求近似數(shù)。

說明：為了方便、快捷地求一個(gè)數(shù)的近似數(shù)，通常要用到“四舍五入法”。

以386685為例，要將它保留到萬位，就是要省略哪一位后面的尾數(shù)？看尾數(shù)的哪一位“四舍五入”？何時(shí)“四舍”？何時(shí)“五入”？（板書：保留到萬位就是省略萬位后面的尾數(shù)；看尾數(shù)最高位上的數(shù)“四舍五入”；0—4；5—9）在這里，保留部分是多少萬？（38萬）再看要省略的尾數(shù)最高位上是多少，是“四舍”還是“五入”，最后將尾數(shù)的各位都改寫為0，求得約等于390000，當(dāng)然也可以寫成以“萬”作單位的數(shù)（39萬）。誰能連起來說一說如何求它的近似數(shù)？（先看保留部分是38萬，再看尾數(shù)最高位上是6，要“五入”，向前一位進(jìn)1，最后求得約等于39萬）

強(qiáng)調(diào)：為了清晰地展示求近似數(shù)的過程，建議大家用橫線標(biāo)出保留的部分，用小點(diǎn)標(biāo)出尾數(shù)的最高位，“五入”時(shí)在前一位上方標(biāo)出要進(jìn)的1。

如何求男性人數(shù)的近似數(shù)呢？你能清晰地寫出解題思路嗎？在作業(yè)紙上寫一寫，再跟同桌說一說。看！ 寫對了嗎？誰來說一說思路？（先看保留部分是38萬，再看尾數(shù)最高位上是4，要“四舍”，最后求得約等于38萬）

追問：用“四舍五入法”求得的近似數(shù)，和剛才看圖求得的結(jié)果一樣嗎？要快速求一些數(shù)的近似數(shù)，你選擇畫圖法還是“四舍五入法”？為什么？

用“四舍五入法”完成教科書第24頁的第7題。之后請某個(gè)4人小組上臺來展示解答過程。

追問：用“萬”作單位寫近似數(shù)，是什么意思？（就是保留到萬位求近似數(shù)，就是省略萬位后面的尾數(shù)求近似數(shù)）對，這3種說法表達(dá)的是一個(gè)意思。

啟發(fā)：大膽推想一下，如果要保留到億位求近似數(shù)，怎么辦？（保留到億位，就是省略億位后面的尾數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)“四舍五入”）

生獨(dú)立完成教科書第24頁的第6題，并交流思路。 啟發(fā)：再大膽推想一下，只保留一個(gè)數(shù)的最高位求近似數(shù)，怎么辦？（保留到最高位，就是省略最高位后面的尾數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)“四舍五入”）

請看705，你能保留它的最高位求近似數(shù)嗎？可以怎么想？（先看最高位上是7個(gè)百，再看尾數(shù)最高位上是0，要“四舍”，最后求得約等于700）教科書第24頁第9題的其余4個(gè)數(shù)，你也能這樣求它們的近似數(shù)嗎？寫好了在4人小組里交流并準(zhǔn)備展示。

生獨(dú)立完成后請某個(gè)4人小組上臺交流展示。

追問：剛才我們研究了如何省略萬位、億位和最高位后面的尾數(shù)求近似數(shù)。數(shù)學(xué)上的省略尾數(shù)，是不是說不管尾數(shù)是大是小，一律省略不看？（省略前要看尾數(shù)最高位，確定是“四舍”還是“五入”）你覺得求近似數(shù)時(shí)要注意什么？（要明確保留的部分在哪里，省略的尾數(shù)最高位在哪里，尾數(shù)最高位上是0—4就“四舍”，是5—9的就“五入”）

借助由扶到放的探究過程，學(xué)生完整地經(jīng)歷了用“四舍五入法”來求一個(gè)數(shù)保留到萬位、億位和最高位的近似數(shù)的過程，并借助標(biāo)注和表述，生成了具有結(jié)構(gòu)性、生長性和通融性的思維流程（先……再……最后……），同時(shí)提煉出了直擊數(shù)學(xué)內(nèi)核的解題模型，即將某數(shù)保留到某位，就是省略某位后面的尾數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)“四舍五入”，很好地凸顯了求近似數(shù)要關(guān)注的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)——保留部分和省略部分的最高位，使看似復(fù)雜的知識及其內(nèi)在聯(lián)系頓時(shí)變得清晰起來，很好地突破了學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

三、在應(yīng)用情境中活用近似數(shù)

1.求我國總?cè)丝诘慕茢?shù)。

2010年的人口普查顯示我國總?cè)丝跒?370536875人。如果將它分別省略最高位、億位、萬位后面的尾數(shù)求近似數(shù)，結(jié)果是多少呢？請將思路清晰地寫出來并在4人小組里交流。

追問：比較一下，用哪個(gè)近似數(shù)來表示我國人口數(shù)更好些？（“14億”既簡潔又更接近精確數(shù)）

小結(jié)：看來，究竟要保留到哪一位求近似數(shù)，要根據(jù)實(shí)際情況靈活確定。

2.完成教科書第24頁的第10題。

通過求我國總?cè)丝诘慕茢?shù)，既讓學(xué)生感受到近似數(shù)在實(shí)際生活中的廣泛運(yùn)用與實(shí)際價(jià)值，又鞏固了求近似數(shù)的三種類型，培養(yǎng)了學(xué)生活學(xué)活用的實(shí)踐能力。

四、在反思情境中總結(jié)提升

1.總結(jié)反思：這節(jié)課你有哪些收獲？

2.拓展延伸：孩子們，還記得我們身體里的數(shù)學(xué)嗎？人一生要吃下大約40噸食物。看到這個(gè)近似數(shù)，小明決定用實(shí)際行動來報(bào)答地球母親。他去年全年共收集的飲料瓶數(shù)保留最高位約2000只。如果這2000只是用“四舍”的方法得到的，那原來的數(shù)量最大是（ ）只，最小是（ ）只；如果是用“五入”的方法得到的，那原來的數(shù)量最大是（ ）只，最小是（ ）只。這一問題就留著大家課后去研究，希望大家和小明一樣，爭做環(huán)保小達(dá)人。

借助總結(jié)反思，讓學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容有一個(gè)清晰而完整的理性認(rèn)識；借助拓展延伸，滲透感恩教育和環(huán)保意識，讓學(xué)生在解決富有挑戰(zhàn)性的實(shí)際問題中將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由課內(nèi)延伸到課外。

【教后反思】

1.讓學(xué)生在標(biāo)注、表述等多元表征中成為數(shù)學(xué)思維的高手。

教學(xué)實(shí)踐表明，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)同時(shí)又適合學(xué)生表達(dá)的多元表征，是引領(lǐng)學(xué)生成為思維高手的重要抓手。仔細(xì)研讀教材，我們會發(fā)現(xiàn)，無論是四年級求大數(shù)的近似數(shù)還是五年級求小數(shù)的近似數(shù)，都涉及這個(gè)數(shù)的保留部分和省略部分的最高位。所以，將這兩個(gè)關(guān)鍵部分標(biāo)注出來，并將解答過程有序、清晰、動態(tài)地表征出來，就成了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考的重要腳手架。為此，教師引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)符號將求近似數(shù)的過程標(biāo)注得一清二楚，同時(shí)引領(lǐng)學(xué)生借助關(guān)聯(lián)詞先、再、最后等將思維流程大聲表達(dá)出來，從而使看似復(fù)雜的隱性思維過程得以顯性化、有序化、條理化，同時(shí)強(qiáng)化了學(xué)生的符號意識和策略意識，培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和表達(dá)能力。

2.讓學(xué)生在抽象、推理等多維思考中成為數(shù)學(xué)建模的高手。

布魯納說：“獲得知識如果沒有完美的結(jié)構(gòu)將它聯(lián)系在一起，那是一個(gè)多半會被遺忘的知識。一串不連貫的結(jié)論在記憶中僅有短促的可憐的壽命。”仔細(xì)分析求大數(shù)近似數(shù)的三種類型（保留到萬位、億位和最高位），我們發(fā)現(xiàn)了它們的共同點(diǎn)——保留到哪一位，就要省略那一位后面的尾數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)“四舍五入”。于是，我們借用一個(gè)結(jié)構(gòu)完全相同的句式，引導(dǎo)學(xué)生在抽象、推理中建構(gòu)求近似數(shù)的數(shù)學(xué)模型——保留到（ ）位，就是省略（ ）位后面的尾數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)“四舍五入”。這樣，求近似數(shù)的知識隨著統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)變得“百毛皆順”，學(xué)生成了數(shù)學(xué)建模的高手。

（作者單位：江蘇省南通師范學(xué)校第一附屬小學(xué)朝暉校區(qū)）