探討與圓的軌跡有關(guān)的問題

吳鶯

摘 要：圓是一個奇妙的幾何圖形，實際是個概念性的圖性，近年來江蘇高考中頻頻出現(xiàn)有關(guān)圓的試題，其中用圓的軌跡處理的題目往往意想不到，難度也比較大，所以我們要重視這類新型難題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 圓形 軌跡

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：C 文章編號：1672-1578（2016）09-0110-02

圓是最完美的曲線，是最基本的幾何圖形，近年江蘇高考中2013年高考第17題（解析幾何），2014年高考18題（應(yīng)用題）相繼考查了圓的軌跡圓的性質(zhì)等知識，筆者在2014屆高三二輪復(fù)習(xí)階段中，發(fā)現(xiàn)各類模擬卷各類習(xí)題中出現(xiàn)了一系列的圓軌跡問題，下面，將其歸納整理總結(jié)成文。

1 利用圓的定義求出其軌跡

初中階段我們對圓的定義為“它是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合，定點就是圓心，定長就是半徑。”由此高中必修二上推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程“方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）叫做以點（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”。

例1：已知點M（4，3）及圓C∶（x+1）2+（y-1）2=4，由動點P向圓引兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，并且∠APB=60°，求PM的最小值。

2 利用圓的性質(zhì)求出其軌跡

例2：（1）已知定點A，B，若動點P滿足PA⊥PB，則P的軌跡是以AB為直徑的圓。

（2）若平面四邊形的兩個對角互補（或一個外角等于它的內(nèi)對角），則四點共圓。

例2：若定點P（-1，0）在動直線2ax+（a+c）y+2c=0上的射影為M，已知點N（3，3），則線段MN長度的最大值是______

5 總結(jié)與反思

將這些內(nèi)容整理和歸納后，在二輪復(fù)習(xí)快結(jié)束時，筆者給學(xué)生講解了這一堂與圓的軌跡有關(guān)的問題，課堂中很多值得反思和總結(jié)的地方，對筆者今后講解圓這一章節(jié)的知識有很多的想法。

（1）在課堂初始時，筆者提問學(xué)生圓的平面性質(zhì)和定理，希望學(xué)生們各抒己見，說說大家認(rèn)識的圓的，結(jié)果學(xué)生都楞住了，圓對他們來說又熟悉又陌生，有些學(xué)生覺得性質(zhì)太多不知道從何說起，有些學(xué)生對圓只有一個大概模糊的印象。其實這些都是學(xué)生在初中時圓的性質(zhì)定理掌握的不透徹，高中又強調(diào)得不明顯。如果一下子問到某個知識點就楞住了。因此，在高中幾何教學(xué)中也有必要穿插初中的幾何知識，讓學(xué)生對初中的知識溫故而知新。

（2）同學(xué)對軌跡的概念比較陌生，大部分學(xué)生習(xí)慣直接，不轉(zhuǎn)彎抹角地列出式子得出答案，而這節(jié)課的內(nèi)容更抽象，需要從題目條件出發(fā)，構(gòu)造或者猜想出圓的軌跡。學(xué)生對動點求其軌跡的概念薄弱，很多同學(xué)做完驚呼“這種方法我想不到”。因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)該加強求動點軌跡的數(shù)學(xué)思想。

（3）學(xué)生的計算能力應(yīng)該加強，求圓的軌跡避免不了要計算，特別明顯是例5，很多學(xué)生對題目中的4個式子都能羅列出來，但是要將4個式子整合起來就不會處理，或者處理不當(dāng)導(dǎo)致計算繁瑣。在教學(xué)中要訓(xùn)練學(xué)生的計算能力我們不是要一步步寫給學(xué)生看，而是要讓學(xué)生一步步寫給我們看，讓學(xué)生多算多練，慢慢提高自己的計算能力。