化歸思維在初中數學課堂的應用

顧志明

摘 要：單獨的公式概念不能滿足當前考試對于學生的要求，考試中滲透了各種數學思想及其變形運用。化歸思想作為其中的一種，在課堂教學中占有非常重要的地位。數學課堂可以通過化數為形、化繁為簡、化抽象為具體、化特殊為一般等方式訓練學生的化歸思維。

關鍵詞：初中數學 化歸思維 有效運用

化歸思維在初中數學課堂教學中，占有非常重要的地位，其核心觀點是學生在積累了一定的基礎知識后，對于一些看似復雜或無處下手的問題，可以運用這種思想將其轉化為教材或經驗中熟悉的例子和模型，從而巧妙地解決問題。

一、化數為形，活潑生動

數字關系是數學學習過程中的最常見到的，有的簡單易懂，有的卻十分復雜或讓人捉摸不透，無法快速地理清思路。這時就可以借助簡單的圖形來進行問題的解答，對問題進行一定程度的轉化與簡化。課堂教學中要注意讓學生了解到這一解析過程是如何在解決問題的過程中呈現的。對于學生的疑問，教師要認真聆聽和解答，引導學生認識和感悟數形轉化的思想，并及時進行課堂小結與針對復習，以鞏固學生所學到新思想、新方法。

例如，對于正數a，則b=+的最小值為多少？

分析：如果直接對這道題進行計算，根本無法下手。對于根式和絕對值求極值的問題，我們可以采用坐標軸輔助數形結合法來理解題意。本題中的的式子可以變化成b=+，即可以視為是直角坐標系的某動點到兩定點和的距離之和，這樣題目就變成了求解最短距離的問題。

解析：b=+可以借助坐標系來理解（見圖1），設P（x，0），A（0，2），B（2，1），所以y=PA+PB，在坐標系中做出B點關于x軸的對稱點B′（2，-1），那么最小值就是AB==。

通過解答可以發現，數轉化為形時，對于根式和絕對值的式子，就是利用直角坐標系為代數式賦予了一定的幾何意義。構造常見的幾何圖形，有時也可能需要在得到的圖形中作出輔助線來幫助理解題意。圖形能解決的問題還有很多；二次方程中的根的個數判斷；拋物線開口方向判斷，一次方程和二次方程中的截距；直角三角形邊的數量關系等，都需要學生在平時學習中慢慢積累。

二、化繁為簡，提綱挈領

數學思維注重嚴密的邏輯性和思維的簡潔性，在處理問題的過程中，采用一定的解決方法將原有問題簡化是十分必要的，這便是化歸思想中的化繁為簡。化繁為簡，是指將繁雜的問題進行化整為零的處理，簡化為一系列基礎性的簡單問題，然后運用學過的知識進行分步處理，進而解決問題。在處理過程中，要注意分解適當，過分地追求簡潔也可能會將問題搞得更加復雜，而且得到的一定要是自己能處理的問題，這才是解決問題的關鍵。

例如，當a的取值如何時，二次方程2（a+1）x2-4ax+3（a-1）=0至少存在一個正的實數根。

通過對題目分析，可以知道，至少存在一個正實數根的情況有很多種，不能一概而論。那么，對題目進行簡單的分解：從補集角度看，至少存在一個正實數根的補集為：①兩個根全為負根；②方程無解；③方程一根為零且另外一根為非正數根。從補集中得到答案后，取補集的補集即可。

解析：方程為二次方程，即a+1≠0，即a≠-1，而方程有實根的話，Δ=（-4a2）-4×2×3（a2-1）≥0，解之可得-≤a≤，設方程根為x1和x2，補集分為三種情況：①設兩根都是負根，則x1+x2=<0，x1x2=>0，解之，無解。②方程無解，此時Δ<0，即a>或a<-。③方程一根為零且另外一根為非正數根，此時a=1。綜合三種情況取補集，即a的取值為-≤a≤且a≠-1。

遇到這類復雜的問題時，要沉下心來認真分析。題目的情況是多種多樣的，經過分析和排除，就可以發現通過簡單的分步求解即可得出結論，也就是對題目進行了化繁為簡。看透問題的本質是至關重要的，一步步的理順才能“撥云見日”，問題簡化后，再運用基本知識進行求解。

三、化抽象為具體，形象直觀

抽象的概念是數學學習中不易理解和掌握的，需要通過具體例子來呈現，對概念中的數量關系、定量準則等進行直觀的理解和學習。在學習過程中，學生會學習到抽象函數的知識，不少學生對這部分的各種對稱關系感到茫然。其實，只要對這部分的內容進行直接練習就可以將其掌握。對抽象函數的掌握就是其直觀化的坐標系的轉化過程，理解了函數關系中的對稱與坐標系的對應關系，就很容易掌握抽象函數了。

例如，若函數y=f（x）在（-∞，+∞）上是奇函數，并且f（x+2）=-f（x），若0≤x≤1時，f（x）=x，那么f（7，5）等于（ ）。

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

分析：有如下定理，若函數y=f（x）的圖像既關于點（a，0）對稱，又關于直線x=b對稱（其中a≠b），那么函數y=f（x）是周期為T=4|b-a|的周期函數，應用這個定理即可解題。

解析：f（x）是奇函數，且f（x+2）=-f（x），所以f（x+2）=f（-x）且f（x）關于點（0，0）對稱。所以y=f（x）的圖像關于直線x=1對稱，根據定理可知函數y=f（x）是以T=4×|1-0|=4為周期的函數。故f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5。

通過解答過程可以發現，對于一般性的抽象函數，最好的解決辦法就是理解定理并加以應用，這個過程是在課堂上進行的。教師在講解這些定理時，就可以利用坐標系這一輔助工具進行坐標與函數之間對稱關系的相互對應，實現抽象到具體的轉換。抽象到具體的轉化還有負數與坐標系的轉化、二次函數各次項系數與根的坐標關系轉化等，都是比較典型的由抽象到具象的化歸思維的體現。

四、化特殊為一般，增強自信

數學問題從分類的角度來講，可以分為一般的和特殊的，辨別方式從我們所學的內容中便可見一斑。在平時學習中，基本上都以特殊的例子做引導，從而引出一般性的推廣結論，這種思想同樣可以運用在解題中。考試中，把一些特殊例子作為試題，可能會讓學生感到頭疼，學生需要冷靜地觀察題目，將其化為一般性的字母或代數進行解決，便可發現其中隱含的規律，從而快速地解答題目。

例如，計算（結果用分數表示）

分析：看到這么大的計算數字，學生一開始會感覺無從下手，但如果采用對代數問題處理的一般性策略，即通過換元來將題目轉化為一般性的運算，通過計算得出一般性的結論，從而解決問題。

解析：對于較大數字中所隱含的運算規律，直接觀察不易發現，可以換元解答，設a=3009，則原式====，結果為。

通過解答過程可以發現，換元法屬于化歸思維中的一種，其核心思想就是通過用字母代換復雜的數字進行化簡和運算，發現式子中所隱含的一般規律，從而更好地進行問題解答。除了換元思想，還可以通過猜想推測、歸納總結等特殊問題一般化的應用策略來解決這類問題。

以上例子是化數為形、化繁為簡、化抽象為具體、化特殊為一般的化歸思維的典型應用，在初中數學教學和學習中，是思維點撥的一項重要內容。教師要注意引導學生進行思維方法的學習和總結，達到舉一反三的教學效果，同時，學生也要盡量理解思維方法在初中學習中的重要性。

參考文獻：

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