整體教學法在高中函數教學中的應用

虞盛啟

[摘要]函數是高中教學的主線，函數的教學是高中數學教學的重點也是難點。由于高中函數內容的抽象性、分散性以及函數應用的廣泛性、隱蔽性，學生在學習函數時大多數存在“只見樹木不見森林”的感覺，經探究與實踐，筆者采用整體教學法進行高中函數的教學，取得了較好的教學效果。

[關鍵詞]高中函數；整體教學法；函數結構圖；函數教學

函數是高中數學的主要板塊，也是數學教學的主線，函數的教學貫穿于整個高中數學的始終，函數思想在高中數學中起到了橫向聯系和紐帶的作用，不僅貫穿于高中代數的全過程，也應用于幾何問題的解決（如在關于方程、不等式、解析幾何等知識學習中，函數的思想方法是最有力的工具），而且在以后進一步學習的極限理論、微分學、積分學、微分方程及泛函分析等高等數學課程中，也是以函數作為基本概念和研究對象。另外，函數因其具有高度的抽象性和數學思想應用的廣泛，也是歷年高考考查的重頭戲。但是由于主觀和客觀上的諸多原因，大多數學生學習函數時會有“只見樹木不見森林”、“丈二和尚摸不到頭腦”等現象。所以說函數的教學既是高中教學的重點也是難點，因此，如何更好地完成高中函數的教學任務，是我們每一位高中數學教師值得思考與探究的問題。

一、高中函數的教學思路與方法———整體教學法

筆者在多年的教學實踐中發現，多半老師在進行函數教學時以章按節，照本宣科，往往只注重局部函數知識的教學，缺乏對教學內容的整合與聯系。例如在必修一的函數概念教學時，有些老師不能很好地從整體上把握函數概念的教學目標，不了解函數概念的教學不僅要以初中學習的函數基礎做鋪墊而且應與后繼的基本初等函數內容的學習聯系起來“螺旋上升”，而是急切地期望學生對函數的概念理解能一步到位，于是對抽象的函數符號深扣深挖，并設置一些抽象的函數概念題進行訓練，結果把學生搞得暈頭轉向，從而對函數學習形成了一種恐懼心理，甚至影響后繼函數學習的信心。終其原因，主要是由于老師缺乏函數教學的整體觀念，不能很好地從整體上把握函數的教學內容以及設定相應的教學目標。經思考與探究，筆者在教學中采用 “整體教學法”進行高中函數的教學，所謂整體教學法就是根據系統科學的整體原理，重視學科結構，所以整體教學法又稱為結構教學法，20世紀50年代初布魯納就推崇結構主義教學論，他提出了學科的基本結構，他認為教師的教學要重視學科的基本結構，要對教材的結構進行梳理，要幫助學生獲取和掌握學科的基本結構。事實證明，掌握學科的基本結構有助于更好地設定教學目標，培養學生的學習興趣，增進學生學習的遷移，提高學習能力和學習效果。這里所謂的“學科結構”指一門學科的概念、原理、思想、方法及其相互聯系形成整體。系統科學的整體原理告訴我們，學習和研究的最佳策略應遵循這樣的公式：整體→部分→整體，即首先要認識學科的整體輪廓即學科的整體結構，初步獲得學科的大體印象，然后再去研究部分，最后才能深入地認識完整的整體。在進行高中函數教學時，筆者首先精心梳理函數相關知識的結構圖，在開始學習函數內容時首先給學生呈現函數的整體結構，并介紹結構中的各部分及其聯系，讓學生首先得到函數的“森林概貌”，初步形成“木與林”的部分與整體關系，并且在以后學習每一部分函數相關內容時反復重現函數的這種整體結構，這樣有利于學生在函數的學習過程中整體地把握與函數相關聯的各部分知識的內在聯系并不斷構建認知結構。

二、高中函數的整體結構圖

在進行函數教學前教師有必要首先認真梳理高中數學課程中函數的結構脈絡，了解函數教學的課程目標，這不僅有助于教師整體把握函數的教學內容、形成整體的教學思路、設定各部分的教學目標，而且有助于學生在了解函數的“森林概貌”的情況下，能更好地把握函數的學習主線，而且在以后的函數學習過程中 “既能見木又能見林”，便于更好地把握與函數相關聯的各部分知識的內在聯系、構建函數知識網絡、形成應用意識。

高中數學教材中函數的結構脈絡為函數的概念、具體的函數模型、函數的應用和研究函數的思想工具，整體函數結構圖如下：

三、高中各階段的函數教學分析及筆者作法

由上述的整體函數知識結構圖可以看出，函數貫穿于整個高中數學的始終，所以應整體地、本質地理解和把握高中函數的主脈，在教學過程中應引導學生用函數的觀點及其思想方法學習與函數相關的其他數學知識，同時還應了解和把握不同年級階段對函數教學內容的不同教學要求和教學目標，體教學分析如下：

高一階段學習函數是在初中初步學習了函數的概念、表示方法以及函數的作圖并具體地學習了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數的基礎上，對函數概念再認識，即用集合、映射的觀點理解函數的一般定義，加深對函數概念的理解，并在此基礎上研究指數函數、對數函數、冪函數等基本初等函數的概念、圖像和性質，從而使學生在第一階段函數的學習中獲得較為系統的函數知識，并初步培養學生函數應用意識，為今后學習打下良好的基礎。這一階段教學應建立在銜接過度、發展學生的思維層面上，主要是建立學生識別圖像、利用圖像和畫出圖像的能力，初步形成數形結合的思想方法。此階段教學重點應該放在概念的形成與建立上。高一數學必修一的教材第一章內容主題就是函數概念及函數性質的相關概念，教材這樣安排使學生未見樹木先看見森林的功效，對后面深入研究每一類具體函數有著指導意義。實踐證明，最初得到“森林概貌”（對函數包括定義、圖像、定義域、單調性、奇偶性、最值等的認識），能使學生在對具體函數研究上始終聯系著“一般”（森林），用“一般”作指導，待具體函數都弄清以后，再總結概括為一般，而這時的一般是以具體問題為背景的。這時的具體問題又是以一般為指導的。從教材編排來看，這樣做可使學生知識結構更加科學系統，更加符合學生的認知規律，更富啟發性。此階段教學應注重數形結合思想的培養與滲透。

高二階段要進行不等式、線性規劃、數列、圓錐曲線等知識的教學，教學過程中應使學生了解意識到這些知識都可以從函數角度加以認識，都是函數的不同展示形式，引導學生能夠從函數的角度把問題轉化。這一階段教學重點應放在函數的應用上，通過函數這個載體，提升學生對相關知識的理解、應用及解決問題的能力，這一階段的學習學生容易淡化函數在高中數學中的重要性。在這些知識的教學過程中，要將函數思想及其簡單應用穿插其中，需要不斷引導、強化，不斷形成用函數觀點看待問題，逐漸理解函數思想、數形結合等思想方法，并加以簡單應用。再加上該階段學習導數之后，使得函數研究如虎添翼。導數是高中數學與高等數學的一個銜接點，導數在研究函數中的應用為我們解決基本初等函數及簡單的復合函數問題提供了一種一般性方法，是解決實際問題強有力的工具，如在研究函數單調性、討論函數圖像的變化趨勢、求極值和最值、不等式恒成立等問題，運用導數解決這類問題能化繁為簡，具有事半功倍的作用。

高三階段一般要進行高考全面復習，函數復習仍然是復習的重點，首先應整體把握高考對函數內容的考法。我們知道函數不僅是高中數學的核心內容，還是學習高等數學的基礎，所以在高考中函數知識占有極其重要的地位。其試題不但考察函數基礎知識，而且注重考查學生數形結合、分類討論等重要的數學思想方法。 從歷年高考真題來看，考察內容主要為初等數學所學的函數內容，也不乏以高等數學函數相關的重要定理換成初等數學的敘述方式出題（如拉格朗日中值定理，有界性定理、函數的凹凸性、不動點原理等）。考察形式為填空題、選擇題與解答題，選擇、填空題履蓋了函數的大部分內容，如函數的定義域、值域，函數的圖像與性質（單調性、奇偶性、周期性等），而解答題除了三角函數屬于基礎題外其余的多以知識交匯題為主，不僅在內容上涉及函數與方程、不等式、數列、方程的曲線等多方面內容甚至以抽象函數或高等數學知識為背景，更注重對知識的綜合應用能力以及數學思想方法的考查。因此，在函數復習過程中，首先應把握高考命題題型與趨勢，其次復習策略的選擇也很重要。此階段，首先應夯實基礎。筆者在復習過程中反復結合上述的函數整體結構圖，進一步強化“總-分-總”的學習策略，同時要求學生進一步細化拓展這份結構圖，使得每一部分內容都豐富起來，將所學知識系統化、結構化、網絡化。 通過這種繼續構建的知識結構圖，最后組成了一張龐大的函數知識結構網，幾乎呈現了高中數學的全部基礎知識及其相互聯系，這樣在整個復習過程中相關基礎知識得到了夯實。其次，帶領學生熟悉考綱，明確考綱規定的基礎知識、基本技能以及基本的數學思想方法，研究和把握高考命題趨勢和題型，抓住重點知識，設置好例題和習題的類型、梯度和難度，注重解題方法及數學思想方法的提煉與概括，循序漸進地提高學生分析問題、解決問題的能力，同時注意鍛煉學生的心理素質。

上述為筆者在高中函數教學過程中的整體教學思路方法及作法，不管是在高一高二的新授課階段還是在高三的復習課階段，在教學過程中筆者都始終注重函數知識體系的整體把握，注重函數知識間的聯系，注重函數數學思想方法的滲透，不斷完善和優化學生的認知結構，不斷提高學生的數學素養。我們經常在想數學應該“教什么”，章見躍博士指出數學應當“教

結構良好的知識”、應當“既講邏輯又講思想”，所以我們在教學過程中應當注重知識的基本結構，注重知識的系統化、網絡化及數學思想方法的紐帶作用，這樣才能更好地把握住知識體系的核心和關鍵，才可以從宏觀上更好地理解學科知識，避免“只見樹木不見森林”。筆者在教學中采用整體教學法進行函數的教學，從實踐結果來看取得了較好的教學效果，當然這只是整體教學法在函數模塊教學中的應用，其實高中數學的其他知識模塊也可采用類似的方法進行教學。總之，教學是不斷探索和創新的過程，作為一線教師我們應不斷地求索。

[參考文獻]

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