高中數學解題思想方法的指導策略

崔國蓮

【摘 要】數學具有高度的抽象性、邏輯性與廣泛的適用性，對能力的要求較高，數學能力只有在數學思想方法不斷地運用中才能培養和提高。所以在教學與學習過程中教師應注意這些方法的運用，提高學生的數學思維能力。

【關鍵詞】高中數學 解題思想 解題方法

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.04.090

數學學科擔負著培養學生運算能力、空間想象能力、邏輯推理能力和分析問題、解決問題的能力以及創新思維能力的重任，高中數學教師在教學中必須對此予以重視，教授學生正確的解題思想方法。

一、數形結合

所謂數形結合，就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，并充分利用這種“結合”，尋找解題思路，使問題得到解決的一種重要思想方法。數形結合思想通過“以形助數，以數解形”，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從形的直觀和數的嚴謹兩方面思考問題，拓寬了解題思路，是數學的規律性與靈活性的有機結合。

數形結合思想解決的問題常有以下幾種：構建函數模型并結合其圖像求參數的取值范圍；構建函數模型并結合其圖像研究方程根的范圍；構建函數模型并結合其圖像研究量與量之間的大小關系；構建函數模型并結合其幾何意義研究函數的最值問題和證明不等式；構建立體幾何模型研究代數問題；構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；構建方程模型，求根的個數；研究圖形的形狀、位置關系、性質等。下面以數形結合求根的個數為例分析：

若方程f（x）=x+a有且僅有兩個不同的實數根，則實數a的取值范圍是（ ） 。

思路分析：畫出f（x）的圖像→畫出y=x的圖像→將y=x的圖像進行平移即可。

二、函數與方程

函數的思想，是用運動和變化的觀點，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決。函數思想是對函數概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題。經常利用的性質是單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等。方程的思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決。

方程的教學是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察處理問題，方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系。函數思想與方程思想是密切相關的，如函數問題可以轉化為方程問題來解決；方程問題也可以轉化為函數問題加以解決，如解方程f（x）=0，就是求函數y=f（x）的零點；解不等式f（x）>0（或f（x）<0），就是求函數y=f（x）的正負區間；再如方程f（x）=g（x）的交點問題，也可以轉化為函數y=f（x）-g（x）與x軸交點問題；方程f（x）=a有解，當且僅當a屬于函數f（x）的值域。函數與方程的這種相互轉化思維方式在高中數學中十分重要。下面通過例題分析高中數學中函數與方程思想的具體體現：

例：若a，b是正數，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍。

思路分析：方法一：用a表示b→根據b>0，求a的范圍→把ab看作a的函數→求此函數的值域。

方法二：利用基本不等式 ： 轉化成求不等式的解集。

方法三：設ab=t，則a+b=t-3，所以a，b可看成方程X2-（t-3）x+t=0的兩個正根。

三、化歸與轉化思想

數學中的化歸與轉化思想方法，指在研究和解決有關數學問題時，通過某種轉化過程，歸結到一類已經解決或比較容易解決的問題，最終求得問題的解答的一種手段和方法。化歸與轉化的思想方法的特點是實現問題的規范化，模式化，以便應用已知的理論，方法和技巧達到問題的解決。在化歸思維過程中，我們對原來問題中的條件進行了簡化，分化，轉化，特殊化的變形，最后將原問題歸結為簡單的，熟悉的問題而得到解決。因此，我們化歸的方向應該是由未知到已知，由難到易，由繁到簡。在化歸與轉化的過程中要遵從目標簡單化原則、和諧統一性原則、具體化原則、低層次原則、正難則反原則五個原則。而化歸與轉化的方法主要包括直接轉化法、換元法、構造法、坐標法、類比法、特殊化方法、等價問題法、加強命題法、補集法等。以補集法和等價問題法為例分析化歸與轉化思想。

例：若不等式x2-ax+1≥0對于一切x∈（0，2）恒成立，則a的取值范圍為（ ）。

思路分析：利用分離參數求解，注意應用基本不等式。

四、分類與討論思想

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

①問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分三種a>0，a=0，a<0。這種分類討論題型可以稱為概念型。②問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制。如等比數列的前項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。③解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0，a=0，a<0三種情況討論。這稱為含參型。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標準，正確進行合理分類，即標準統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最后進行歸納小結，綜合得出結論。以③的分類討論為例分析分類討論在高中數學中的體現：

例：（2013·天津模擬）已知函數f（x）=1nx-a2X2+ax（a∈R），求f（x）的單調區間與極值。

思路分析：求f（x），根據求單調區間與極值的步驟求解；關注點：f（x）中含參數a，需對a分類討論。

總之，學生由初中升入高中，是他們學習生活的一個轉折點，教師要分析清楚學生學習數學困難的原因，抓好初高中數學教學工作的銜接，使學生盡快適應新的學習模式，從而更高效、更順利地接受新知和發展能力。

參考文獻

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