高中數學教學中培養學生形成數形結合思想的初步探討

唐潔

【摘 要】分析高中數學數形結合思想研究的意義，闡明進行數形結合思想培養中常見的問題，闡述高中數學教學中培養學生數形結合思想的途徑。

【關鍵詞】高中數學 數形結合 教學途徑

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）07B-0145-03

數學源于生活，用于生活。自誕生起，數學在人們的生活中占據重要的地位，也是其他學科如生物學、化學、物理學等學科的基礎。數學思想一直為數學研究學者所重視，從17世紀的數學變換思想到18世紀的數學分析思想，再到19世紀的數學思想大變革，數學思想的研究從未停止過，尤其是20世紀以后有關數學思想的研究的論文與著作層出不窮。我國自1978年之后不斷發展教育事業，對數學思想的研究也更加重視。據教育部的統計，近40年來我國數學思想的研究與應用主要集中在高中教學中。高中生已經有了一定的數學基礎知識，并且處于數學思維和思想形成的有利年齡段。

隨著我國教育事業近年來的飛速發展，數學教學的課程改革也在如火如荼地進行著，新課標要求數學教學過程中要加強數學方法的滲透，因為只有有了正確的思想方法，學生才能夠合理地運用數學知識。四大數學思想方法為數形結合、化歸、函數與方程以及分類討論，而在高中教學中最為重要的就是數形結合，因為在一定程度來說其他三種思想的培養都涉及數形結合思想。數形結合思想貫穿于所有的數學研究與教學之中，是抽象概念與直觀幾何的有機結合。數形結合思想在高中教學中占據重要的位置，它不僅能簡化各種數學問題的解決方法，而且能培養學生的數學思維。目前，我國高中數學教育中很多教學工作者對數形結合思想的重要性認識不清楚，導致高中數學數形結合思想培養中存在諸多問題，影響著高中數學教學工作的進展，同時也阻礙了高中生數學思維的發展。對高中數學教學過程中數形結合思想培養的途徑進行探索，有著重要現實意義。

一、高中數學數形結合思想研究的意義

（一）有利于數學知識的過渡和銜接

在高中以前學生學習的都是較為基礎的數學知識，知識點簡單直觀，例如初中教程中的不等式、方程以及幾何中的三角形、多邊形和圓等知識都較為簡單，學生只用記住相關的概念以及公式就能夠很好地解決常見的問題。但是高中的數學知識比較抽象，例如常見的函數、數列、圓錐曲線以及空間立體幾何等都不可能與初中直觀的知識同日而語。在高中數學每個知識點中基本上都會涉及數學理論與幾何圖形的結合，也只有這樣才能夠很好地讓學生掌握所學內容。數形結合思想主要是為了學生能夠合理地將數學邏輯理論與學生所學的各種幾何圖形相結合，以有利于數學知識的過渡和銜接。

（二）簡化解題步驟節約解題時間

數形結合思想的培養不僅僅可以幫助學生快速地理解和掌握高中數學各知識點的概念和含義，而且還可以利用圖形來解決一些函數求極值、方程求解、不等式求解以及立體幾何與空間幾何中的求值問題，使得這些問題的解決更加簡單、直觀。

例如，已知（x+2）2+y2=2，求解如果此題采用常規的數學思路來解，一般先求x和y的值，需要用x來表示y，然后再求的最大和最小值。該方法顯然比較麻煩，對于高中生來說一般很難求出其解或者容易出現錯誤。但是如果看出（x+2）2+y2=2是以（-2，0）為圓心，為半徑的圓，且將看成是直線y=kx的斜率，就很容易求出其解。如圖1，直接畫出該函數所表達的圓與y=kx所表達的直線，則可以看出直線與圓相切時取最大和最小值，分別為1和-1。可見，運用數形結合有利于簡化解題步驟，節約解題時間。

（三）培養高中生數學興趣和數學思維能力

高中數學一直是許多高中生的“噩夢”，主要原因在于高中數學的知識點多、邏輯關系復雜、定義理解及掌握困難，而且在物理學和化學中又被廣泛應用。許多學生因此患上了數學恐懼癥，但是數形結合思想可以使得數學與生活實際結合起來，使得一些抽象的知識具體化，從而變得形象生動，提高學生的數學興趣。應用數形結合的方法與思想，也可以大大降低一些解題難度，使得數學解題看起來更輕松，降低了學生對數學的恐懼，進而使得學生逐漸喜歡上這門課程。數形結合思想的培養可以培養學生的形象思維、逆向思維以及發散性思維，對學生后期的各科學習有著重要的意義。

二、進行數形結合思想培養中常見的問題

（一）數學教學中對學生數學思想培養不重視

不少高中生反映，學習數學枯燥乏味。這主要原因，歸結于數學教學中對學生數學思想的培養不重視。據2014年，陜西省漢中市教育局對所屬高中進行的一場調研顯示，該市所屬的高中有近80%的學生反映數學老師在教學過程中未曾提到過數學思想這一概念，這些學生連基本的四大數學思想方法都不知道，而其余20%的學校雖然在教學過程中有提到利用圖形來解決一些問題的方法，但都是很簡單地一筆帶過，未給學生做仔細的講解分析。教育工作者不重視學生數學思想的培養，從某種程度上來說，是對教學工作的不負責，也是對學生的不負責。這樣做，不僅不利于學生知識的獲取，而且在某種程度上還會加劇學生對數學學習產生厭惡感。

（二）數學教學中理論知識與生活實際結合不緊密

數學本來就是源于生活，最后回歸到生活實際中去。但是，由于各種各樣的原因，追求高成績已經成為高中教育普遍的一種現象，教育工作者只在乎學生的成績，而不注重學生思想、思維能力以及生活能力的培養。數學教學與實際生活相脫離，使得數學失去了其應有的價值。也就是說，如果在數形結合思想的培養過程中失去了“形”，那么要想培養學生形成數形結合思想就是天方夜譚。與實際相脫離，會使得學生對數學學習重要性認識不到位，降低學生學習的積極性，并且會導致學生思維更加局限，在某種程度上使得數學成為一種概念，而不能運用到實際生活中。數形結合思想也就成為空談。

（三）數學教學中忽視學生之間數學思維的差異性

數形結合思想的培養是一個長期過程，該思想的培養要求學生，只有不斷挖掘自己的思維能力，不斷地進行相應的訓練，才能逐漸地形成數形結合思想，并用之來解題，形成一種思維習慣。在學生剛進入高中的時候，教育工作者就要做好此方面的準備。雖然說對待學生要一視同仁，但是在入校時候每個學生的思維能力都不盡相同，有的學生接受能力較強，有的學生接受能力弱，需要一定的時間來適應。可是，在高中數學教學中很少有老師會注意到這一點。教師只按照自己的安排進行教學，忽視了學生是否已經有了數形結合的思想。在教學中也不注意了解學生的情況，不知道能否合理地應用數形結合思想來教學，于是就出現了高中生中常見的成績好的越來越好，成績差的無論怎么努力都鮮有提高，使得學生的數學思想教育得不到全面提升。

三、高中數學教學中培養學生數形結合思想的途徑

（一）在教學過程中高度重視，不斷滲透數形結合思想

作為數學教學工作者，在學生進入高中的那一刻起，就要有意識地對學生進行數學思想的培養。一方面，高中數學教學工作組要制定相關的教學制度，讓每個數學老師制訂各個年級教學過程中有關數形結合思想培養的教學計劃，并落實到實處。另外一方面，教師要讓學生認識到初中所學的理論知識以及幾何知識都是為高中數學學習打基礎，要讓學生了解到理論知識與幾何知識能夠很好地結合，在二者的結合過程中所要用到的就是數形結合思想。在高中課程的各個章節中，基本上都能用數形結合思想來解決其中的問題。教師每教授一個新知識點時，要注意滲透該思想方法，讓學生認識到這種方法的簡便性、實用性、準確性，并能適用于解決哪類問題。如果教師在平時的數學教學中能不斷地滲透數形結合思想，那么教師和學生就會越來越重視這種方法的培養與應用。

（二）要求學生學會用數形結合方法解題

學生對數形結合思想方法還不熟悉的時候，在進行數學問題解答時會習慣地用定式思維解題，因此，教師給學生布置練習題時要指定一些題目用數形結合的方法來解，這樣可以逐漸地培養學生形成利用數形結合思想來解決問題的思維習慣。當學生利用數形結合方法解題時，要讓學生將問題與實際生活結合起來。例如在進行函數問題求解時，注意把它與幾何圖形結合起來，把函數與圖形相互融合，最終養成利用數形結合解題的習慣。

（三）重視學生思維的差異性，進行“形”與“數”之間的轉化能力培養

在培養學生的數形結合思想的過程中，要重視學生思維的差異性。有的學生能夠很好地進行“數”到“形”的轉化，但是對“形”到“數”的轉化卻把握不準；有的卻反過來，能較好地進行“形”到“數”的轉化，卻不能把握“數”到“形”的轉化；有的學生卻是二者之間的轉換都存在問題。教師在教學過程中要通過平時作業來發現學生中思維能力的差異性，根據學生的差異制訂相應的教學計劃，以達到縮小學生之間思維差距的目的。

例如，集合A={2，4}，B={1，2，4，6}，問圖2的（a）（b）中哪個反映出A與B的關系。之后再給出圖3，讓學生進行C、D、E等集合之間的關系判斷。這樣有層次性地訓練，就能較好地照顧到不同層次學生之間的差異性，更好地培養學生的數形結合思想。

進行數形結合相互轉化的講解時，不僅要講，而且要練。只有這樣才能更好地培養學生的數形結合思想。

（四）在數形結合教學過程中讓學生能夠充分掌握圖形工具

數形結合思想方法應用的基本的工具之一就是圖形。教師在教授過程中要注意對一些特定的數學符號、公式與圖形間的結合，例如將絕對值與數軸圖形結合、正余弦與單位元結合、二次函數求解待定系數與二次函數圖形結合、求解最小值時與兩點間直線最短結合等。

例如，m+n=3（a，b>0），求的最小值。此題可將和分別看作是以m和1為直角邊的三角形的斜邊與以n和3為直角邊的三角形斜邊之和。根據初中幾何知識由圖4可得當B、C、D在同一直線上時有最小值5。

數學教學工作者要訓練學生熟練使用各種圖形工具，通過二維圖形和三維立體圖形形象地表達出各知識點數形結合的動態過程，有意識地培養學生的動態思維以及空間想象思維。

能力的提高在于思想的培養。高中數學只有抓緊數學思想的培養，才能從根本上提高數學的教學水平。在教學過程中，高中數學教師要不斷地給學生灌輸數形結合及其他數學思想方法，通過指定題目，使數形結合的教學得到落實。培養學生“形”與“數”之間的轉化能力，為學生學好數學打下堅實的基礎。

【參考文獻】

[1]宮凡玉.高中數學教學中滲透數形結合思想的研究[D]魯東大學，2015

[2]姜秋亞.數形結合思想方法在高中教學中的應用情況研究[D].華中師范大學，2015

[3]劉桂玲.數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析[J].中國校外教育，2015（13）

[4]楊穎.高中數學教學中數形結合法的運用探討[J].品牌，2014（10）

（責編 盧建龍）