凸顯數學思想方法 讓數學教學更美麗

史曉艷

[摘 要]《數學課程標準》（實驗稿）指出：“數學教學要使學生在理解和掌握數學知識與技能的同時，感悟數學思想和方法，積累基本的數學活動經驗。”集合思想是數學中最基本的思想，對學生理解題意、解答問題和提高數學素養具有重要作用，能讓學生的數學思維能力得到切實而有效的發展。

[關鍵詞]集合思想 數學教學 學習興趣 數形結合 數學思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）29-019

《數學課程標準》（實驗稿）在總體目標中指出：“通過義務教育階段的數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。”這充分說明了數學思想方法在數學教學中的重要性，可是由于數學思想方法具有內隱的特性，使得教師在平時教學中經常忽視它的存在。

一、問題——教學中為何難以落實

1.思想認識欠缺

數學思想方法在整個小學數學學習階段是非常重要的，但通過調研發現，有75%的小學數學教師對數學思想方法在課堂教學中從未滲透過。尤其是50歲左右的老教師，對數學思想方法模糊不清，在課堂中更是很少給學生滲透數學思想方法。甚至有些教師僅為了讓學生解決問題，而草草地進行講解，對題中所滲透的數學思想方法往往都是忽視的。

2.教師能力所致

通過對農村150個教師的問卷調查及近年來青年教師專業知識測試，發現剛入職的青年教師及老教師獨立鉆研教材的能力不強，挖掘教材中隱含的數學思想方法的能力欠佳、意識淡薄，大部分教師只注重知識與技能的傳授，淡化了數學思想方法的滲透。長此以往，教師在教學中不注重滲透數學思想方法，導致學生所學的數學知識是孤立的、零散的，不利于學生對所學知識的真正理解和掌握，加重了學生的學習負擔。

3.培訓引領不夠

在小學數學各級各類培訓中，對課堂上如何使學生接受知識可以做到最大化的研究與討論比較多，但很少有專家或教師在點評過程中重視對學生滲透數學思想方法，導致數學教師在教學中對數學思想方法的重視就有所欠缺。

鄭毓信先生說過：“對數學思想和方法的突出強調，應當說是數學教育特別是數學課程目標現代演變的一個主要特征。”數學思想方法以具體數學內容為載體，在教學中發揮積極的作用，不僅是學生學習數學的重要方法，還是學生未來發展的重要基礎。因此，在課堂中有意識地滲透數學思想方法，已經是眾多教學專家達成的共識。本文以三年級上冊“數學廣角——集合”一課教學為例，對如何滲透數學思想方法展開教學實踐與研究。

二、探尋——以“集合”為例尋滲透數學思想教學之路

1.課前之研

數學教材通過靜態的形式呈現知識內容，而學生需要經歷知識發生、發展的動態過程，才能更好地理解和掌握所學知識。因此，教師必須深入研讀教材，優化課堂教學設計，使學生真正觸及數學的思想方法與本質。

（1）追本溯源，尋找起點。

①本學科的追溯。

“集合”雖是三年級上冊的內容（如下圖），但是集合的概念、集合的思想在一二年級早已出現過。

學生在開始學習數學時，教材就通過直觀形象的韋恩圖滲透集合的思想。如在認識0～10的數字中，每個數字都有一張相應的集合圖，也就是告訴學生，一個集合中有幾個元素就用“幾”來表示。又如，《數學》第一冊表示1的集合圖里只有一個元素（一面紅旗等）、表示3的集合圖里有3個元素（3把凳子等），這就很形象地把集合中的元素與基數的概念有機地聯系起來；《數學》第二冊“認識圖形”一課把類似的圖形都放在一起，滲透了如何把同類的物體組成一個集合的思想；加法運算中有這樣一題“左邊一只千紙鶴，右邊兩只千紙鶴，一共有幾只千紙鶴”，這既是兩個集合間不交叉的運算，又是集合思想的體現。雖然集合思想早就滲透在教材中，但學生對于兩個集合間的運算，尤其是交集的體會并不多。如教材中有這樣一題：“有一列小朋友，從前數明明排第6，從后數明明排第2，這一列有幾人？”對“重復的人數要減去”學生是有經驗的，能夠列式解答，這里就已經開始讓學生運用集合的思想來解題。

②跨學科的追溯。

其實，在《科學》的起始年級教學過程中也有對數學思想方法的滲透。如在教學《蛋的結構》一課時，教師給每個學生小組一個新鮮的雞蛋，讓學生探究、發現蛋的結構。學生通過自主觀察，用列表法記錄好對蛋的結構（如右圖）的發現，如蛋有卵白、卵殼、卵黃等組成部分。這里教師可運用一一列表、畫圖的思想方法，讓學生學得輕松，理解得容易。

又如，教學《神奇的磁鐵》一課時，教師給每個學生小組一些能被磁鐵吸的物體、不會被磁鐵吸的物體及實驗記錄單，讓學生分組實驗，探究怎樣的物體能被磁鐵吸，然后引導學生通過觀察、分析，發現磁鐵的特性。

（2）精細解讀，理解教材。

例如，三年級上冊“數學廣角——集合”單元中共有九道用集合思想解決的題目（含例題、“做一做”、練習題等），涉及學生在生活（比賽人數、水果品種、參觀人數等）和學習（按要求填數、寫成語等）中經常遇到的問題，即求兩個集合的并集或交集的元素個數。其中，教材例題（如下圖）的教學意圖很明顯，可分為以下三步。

第一步，教材用統計表的形式給出某班級參加跳繩、踢毽比賽的學生名單，并提出要解決的問題。教師讓學生充分自主探索解決問題的各種方法，教學中通過一一列舉出參加兩項比賽的學生姓名（兩個集合的元素），并把重復的姓名凸顯出來，讓學生感悟到在求兩個集合的并集時，它們的共同部分在并集中只能出現一次。

第二步，了解用韋恩圖表示集合及其運算的方法，讓學生體會集合元素的特性是無序性和互異性，明確集合的運算有交集和并集。

第三步，教師提出的問題“可以怎樣列式解答”脫離了具體的圖和情境，從集合的角度讓學生用計算解決兩個集合并集的元素個數的問題。

整個教學過程，學生通過操作、觀察、猜想、推理等活動，感受到其中的數學思想方法，逐步形成嚴密的、有序思考問題的意識與探究意識及發現、欣賞數學美的意識。

（3）課前調研，再探起點。

教學“集合”一課前，我對學生進行了前測，題目與課本中的例題相同，其中5%的學生能用比較完整的韋恩圖來解決；20%的學生對集合的重疊部分能初步感悟，但不能用準確的韋恩圖來表示；75%的學生還是不能體會到人數有重疊。其實，集合的數學思想不僅在生活中有著廣泛的應用，而且是學生今后進一步學習數學的基礎，為培養學生的邏輯思維能力提供了良好的素材。如三角形的分類、各種四邊形關系等，都是讓學生在運用中解決實際問題，為今后的學習奠基。根據以上認識，我對“集合”一課設計了以下的教學思路：以學生喜歡的“腦筋急轉彎”創設情境，引發認知沖突，揭示課題；接著通過列表提出問題，讓學生用圖的形式表達心中的想法，并將學生的想法一一呈現，引出集合；再設計由易到難、有層次的練習，鞏固新知；最后課外拓展，回顧總結。

2.課中之研

根據以上的分析，我對“集合”一課進行了細致入微的教學設計。如下：

（1）引發沖突，激發學習興趣。

①出示趣味題。

師：昨天，老師見到兩個爸爸和兩個兒子一同去看電影，可是他們只買了3張票就順利地進了電影院，這是為什么？

生：因為兩個爸爸和兩個兒子分別是爺爺、爸爸、兒子。

（2）呈現改變例題主題圖中的統計表，并提出“喜歡吃梨和桃子的一共有多少人”的問題，激發學生探究的欲望。

四（1）班喜歡吃梨和桃子的同學名單

師：你從調查表中獲得了哪些信息？根據這些信息，你能提出什么問題？

生1：喜歡吃梨和桃子的一共有多少人？

師：怎樣求出一共的人數？

生2：9+8=17（人）。

（學生有歧義，發現重復，引發認知沖突）

（2）數形結合，突破探究的難點。

由于數和形的關系非常密切，不可分割，所以教師要把數和形結合起來，將抽象的數學概念形象化，幫助學生真正掌握所學的數學概念。同時，數形結合既能發展學生動手操作的能力，又可以促使學生的思維更加完善、精確。因此，課堂教學中，教師可借助直觀的教學手段，引導學生深刻理解韋恩圖中每一部分的含義，加深學生對集合知識的理解。

①數形結合突破。

師：是的，有些人既喜歡吃梨，又喜歡吃桃子，但這樣子我們沒法一眼就看出一共有多少人。那你們能不能想想辦法，把這些同學的名字再整理整理，要求一眼就能看出這些同學喜歡水果的情況，然后用自己喜歡的方式把它表示出來？

……

（學生自己動手試一試，教師引導他們可以用寫一寫、畫一畫、擺一擺等方法）

師：比較上面幾位同學的方法，你們覺得誰的圖能最清楚地讓我們看出同學喜歡水果的情況？

……

我在教學集合時并沒有直接出示韋恩圖，也沒有指定學生一定要用韋恩圖來解決問題，而是讓學生將自己的理解用各種形式表示出來。在展示環節中，我有意識地安排學生先從文字開始表述，再向表格遞進，以此凸顯表格比文字表達更勝一籌，然后到用一個小小的圈來表示，最后逐步明朗化，于是有學生自主提出用韋恩圖來表示。

在此環節中，我充分挖掘、滲透符號化思想以及數形結合思想，讓學生將自己的理解和想法用喜歡的符號表示出來，并給學生創設了比較的環節，使學生自己去體會、去感悟，這樣就將課的教學重點凸顯出來，使教學水到渠成。

②解決問題多樣化。

師：剛才我們根據這幅圖，已經清楚地知道了同學們喜歡水果的情況，現在我們一起解決最開始提出的問題：喜歡吃梨和桃子的一共有多少人？現在你能解決這個問題了嗎？

生7：9+8=17（人）。

生8：9+8-3=14（人）。

生9：9+（8-3）=14（人）。

生10：（9-3）+8=14（人）。

生11：6+3+5=14（人）。

……

學生根據剛才的展示用算式表示出來，我在此環節中及時滲透算法多樣化的思想，讓學生的想法在課堂中得以展示。因此，只要教師心中有滲透數學思想方法的意識，課堂就會一直以學生為中心，將每個學生的所思所想淋漓盡致地展現出來。

（3）豐富練習，完善思維的內化。

在課堂教學中，我選擇一些趣味性、實踐性的素材設計練習，提升學生用所學的數學知識解決現實問題的意識和能力。如本單元共有九道題來自于學生熟悉的情境，于是我安排了以下三個層次的練習。

這三個層次的練習，從具體的生活實物到抽象的文字訓練，使學生慢慢地體會到從集合的角度來思考和解決問題是非常有效的。這樣不僅可以增強學生的學習興趣，訓練學生的思維，而且能讓學生逐漸學會用數學的眼光看待身邊的事物。同時，這樣設計練習，可以逐步深化學生對集合知識的理解。如練習中的第1～2題，都提供了具體的集合元素作支撐，幫助學生理解集合及其運算；第3題則沒有具體形象的實際物體作支撐，讓學生直接從集合元素的個數探索和解決問題，旨在發展學生的思維，且題目中還給出了兩個集合沒有交集、有包含關系的情況，豐富了學生對集合間關系的認識。

三、思考——總結輻射，感悟思想

日本數學教育家米山國藏說過：“學生所學的數學知識，在進入社會后不到一兩年就忘掉了，然而那些銘刻于頭腦中的數學精神和數學思想方法卻長期地在他們的生活與工作中發揮著作用。”因此，教學之后，教師應引導學生反思學習過程，歸納總結，感悟數學思想方法。

1.課前備課挖掘思想方法的自覺性

在小學階段六年的數學學習中，“數學廣角”的內容滲透了眾多的數學思想方法，如轉化、類比、集合、數形結合、代換、數學模型等。由于教材中的數學概念、法則、公式等都是有形的，而數學思想方法卻隱含在數學知識體系里，是無形的，所以常常被教師忽略。因此，在數學教學研討中，應提高教師滲透數學思想方法的自覺性，將使學生掌握數學思想方法作為教學目標之一。在整個小學數學教學中，如果教師能注重數學思想方法的滲透，就可以加深學生對數學知識的理解和掌握，這往往比書本知識的傳授更重要，更能使學生適應未來社會的變化和發展。

2.教學過程滲透思想的巧妙性

從數學的各分支中提煉和總結出來的思想方法，實質上就是學習和研究數學的方法，是進行數學活動的方法，揭示了數學的本質和發展規律。作為教師，在教學過程中首先要有滲透數學思想方法的意識，然后通過分析、挖掘教材中的數學思想方法，了解教材編者的意圖，就能從高度著眼，巧妙地將數學思想方法在課堂中進行滲透，讓學生了解知識發生、發展和形成的全過程，幫助學生思考和解決問題。例如，在四年級下冊“數學廣角——雞兔同籠”一課教學時，教師就可以巧妙地運用畫圖法、列表法，將學生難以理解的題意，通過畫圖或列表呈現出來。這樣不僅使學生能非常清楚地明白“雞有幾只”“兔有幾只”的復雜問題，而且能通過觀察圖和表格，讓學生獲得解題的思路和方法，從而掌握其中的數學思想方法。

3.課后提煉數學思想方法的延伸性

加強數學思想方法的教學，可以使學生對數學思想方法不自覺的應用，進而變成自覺的行為。作為教師，在課堂中對數學思想方法考慮周全、滲透及時，能拓展學生的解題思路，使學生在遇到難題時會運用數學思想方法解決問題，為學生的終生學習奠定堅實的基礎。例如，教學六年級上冊“數學廣角——數與形”時，在學生通過畫圖對“數與形”的知識進行探究后，為了加深學生對新授知識的理解，教師在課后安排相應的運用畫圖的方式來解決的問題，如右圖這樣的練習。

總之，在數學教學中適時滲透數學思想方法，是學生學習和發展的需要，不僅能夠激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，而且可以培養學生的思維能力，提升學生的數學素養和學習效率。因此，教師在整個小學階段要重視數學思想方法的滲透，讓學生的數學學習猶如在幽幽江中撐篙而行，緩緩前行，一步一景，使學生深刻感受到數學學習也是一場美麗的旅行。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 《全日制義務教育數學課程標準》（2011版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2] 束仁武.如何滲透數學思想[J].安徽教育，1997（5）.

[3] 吳明富.在數學教學中滲透數學思想方法的探索與實踐[J].池州師專學報，2004（5）.

[4] 黃育粵.課堂教學中滲透數學思想方法應遵循的原則[J].云南教育，1999（5）.

[5] （美）李維，著.黃征，譯.《數學沉思錄：古今數學思想的發展與演變》.人民郵電出版社，2010（8）.

（責編 藍 天）