高三復習教學中數學思維的激發與培養的實踐研究

朱仁良

[摘 要] 通過分析普通高中高三學生數學思維能力存在主要問題，根據有效教學理論和《數學課程標準》要求，結合自己多年的高三教學經驗，闡述了培養激發高三學生數學思維的途徑和方法，即教師為思維而教——變“組織教學”為“問題激發”； 變“講授方法”為“主動探究”；變“鞏固知識”為“自我總結”；變“方法運用”為“實踐創新”. 學生為思維而學——巧設問題情境，誘導學生思維；善導問題發展，啟發學生思維.通過探究不同的解題策略和對學生思維激發、啟迪，增強了學生學習數學的積極性，同時提高了學生的數學思維能力.

[關鍵詞] 數學思維；問題激發；思維激發；主動探究；實踐創新

[?] 問題的提出

《數學課程標準》指出，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式. 這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程. 同時，高中數學課程設立“數學探究”“數學建模”等學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造有利的條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣. 高中數學課程應力求通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識. 高考的競爭是人才的競爭. 我們的學生必須學會學習，學會合作，學會思考；必須要有學生自己的數學思維.而目前學生的數學思維能力主要存在問題有：

1. “記憶性”低端思維多，“自主性”高端思維少

記憶意味著繼承，思考意味著創造.復習教學更需要的是創造，因為創造是繼承的目的. 當今世界千變萬化，為了使學生將來能適應環境，就必須培養學生的靈活性思維. 思維能力的培養不是一朝一夕所能做到的，需要長時間的訓練. 結合高中教學的特點對學生進行思維靈活性的訓練是行之有效的方法. 實踐證明，挖掘培養學生的思維能力，使學生的思維火花在學習過程中時時閃爍，前提是讓學生學會思考. 常用“傳授式”的課堂中的那種滿堂灌的教學，已不能適應復習教學的課堂. 教學的主要任務不是叫學生記住教師的思考，而是引導學生產生自己的思考；不是要讓學生記教師講的思想，而是要讓學生學會自己思，自己想.而應致力于激發學生的思維，使學生獨立、自主、自由地思考. 數學是理性的，也是感性的. 在感性和理性的交融中，不斷喚起形象，撞擊思維，催發情感. 師生以數學為載體，以形喚形，以智啟智，互相感召，就能最終實現“人人學有價值的數學；人人都能獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展.

2. “啟迪性”低端思維多，“發展性”高端思維少

我們經常會看到這樣一種現象：為了啟發引導學生解決某個數學問題，教師根據自己的設想以問題串的形式設計一個教學思路，從表面上看，教師采用了啟發式教學法，教學很順利，學生聽得很舒服，似乎都明白了. 可是有的學生做完題目卻說：“我拿到了這個問題時并不是這樣想的.” “我真不知老師是怎么想到這個好方法的？”更多的學生在作業中或之后再次碰到類似問題時還是不能給出正確的解答. 那些思路難免太人為化，缺少最真實的思維過程，與學生的思維會有一定的差距，學生聽得再明白，但那種最原始的分析和探索研究過程并沒有在學生中體現.

復習教學的過程實際上是學生開展數學思維活動的過程，在這一過程中，學生在教師的引領下，圍繞數學問題展開數學思維，進而獲取數學知識、提升解決問題的能力. 由此可見，在復習教學過程中，教師如何讓學生開展數學思維？開展一種什么樣的思維過程？非常值得我們認真地研究.

3. “模仿性”低端思維多，“創新性”高端思維少

為了使復習教學更有效，在短時間內讓學生順利地弄懂所學的知識和學會解決問題，讓教師對課堂做了很多理想化的設計，使得能讓學生按照我們的設計線路更容易地就找到了解題途徑，同時教師把自己與學生的最真實的思維做了加工和阻止，使得學生的想法得不到展現，這是課堂上的“假”思維.

復習教學課堂上的思維過程，由于許多人在思考相同的問題，而對同一個問題每個人的思維過程一般又不同，所以就顯得更加復雜，但這樣會讓學生之間的思維產生激烈的碰撞. 教育學家陶行知先生曾說：“處處是創造之地，天天是創造之時，人人是創造之人.” 新課程關注課堂生態，倡導煥發師生的生命活力，激發生命創造力，突破舊常規，提出新觀點. 教學中提供盡可能多的思維碰撞機遇，增加思維交流和爭論. 在“交流與合作”中激發求異思維，在交流爭論中培養個人獨創性思維、提升學生思維能力.

[?] 理論依據

1. 有效教學理論

以學生為中心，把教師主導作用與學生主體作用有機結合，辯證統一在學生的學習和發展上. “學習中心論”是有效教學的基礎和核心，它強調：激發和調動學生學習的主動性、積極性和自覺性，提供和創設適宜的教學條件，以促使學生形成有效的學習，促進學生發展. 有效學習論以學生學習為中心，學生學習的原有狀況是教學深化的根本出發點和依據，備課當然要“備教材”，但主要的是“備學生”，重在根據學生學習的實際情況，找出教材內容與學生實際認知結構之間的結合點；“教材內容”為學生的“學習內容”；課堂教學是教學生學習，教學過程中學生是“主角”，教師是“導演”，教學活動圍繞學習活動，教學進程、進度、節奏等一切以學生的學習情境為轉移；教學評價以學生學習過程及結果為標準，不是看教師講得如何，而是看教師為學生創設的教學條件是否適宜，是否有效.

2. 威廉斯（三層面）教學模式理論

威廉斯教學模式把教學內容、教師行為和學生行為作為一種有機的聯合體系，他們的關系是互動和連動的，課堂教學過程就是三因素的和諧共振與有機聯動. 他們互相影響、互相牽制、又互為增長發展的條件.

第一層面：（教學內容）通常被課本和教學大綱規定和限制；但可以根據學生行為，通過教師行為進行調控和發展.

第二層面：（教師行為）就是教學策略和手段；以學生的學習行為表現作為依據，適時控制教學內容和教學任務.

第三層面：（學生行為）主要包括（認知領域的）流暢的思維、變通的思維、獨創的思維和（情感領域的）好奇心、冒險心、挑戰心和想象力.

3. 基本理念：思維的激發

本課題研究包括是教師的“教”和學生的“學”兩個方面. 教師為思維而教——變“組織教學”為“問題激發”、 變“講授方法”為“主動探究”、變“鞏固知識”為“自我總結”、變“方法運用”為“實踐創新”；學生為思維而學——巧設問題情境，誘導學生思維、善導問題發展，啟發學生思維、正視錯誤資源，啟迪學生思維. 探究不同的解題策略，最終問題解決，培養學生的思維能力.

[?] 實踐研究

1. 為思維而教

長期以來，“學生苦學，教師苦教”，現已成為一種習慣，可是總是收效不大. 我們總是抱怨：（1）一個相同的問題，都講了這么多遍了，學生還是會犯同樣的錯誤；（2）學生總是沒有思考、歸納、總結問題的習慣；（3）學生回答問題時總不能用清晰地語言和思維來表達. 以上現象我們天天在講，可是又一籌莫展. 造成這樣的原因就是學生缺少自己的思維，或者可以說，是我們教師扼殺了學生自己的思維. 我們應該知道復習教學培養學生思維的重要性，作為一名老師如果能夠更好地引領著學生去思考，讓不同層次的學生在各自思維品質的基礎上都能夠得到更大的發展，能讓學生本質地看問題，努力探索，發現數學問題的規律，那這便是我們教學中最大的收獲之一.

如果一個教師常用慣性思維控制了自己的行動，用自己的思維去主導學生的思維，那么學生的思維就沒有了發生的可能，學生的思維提升，只有落實到改變教師的習慣性思維，相應的教學才有可能“教會學生思維”. 首先教師要有問題意識. 課堂有了問題，學生會在對問題的探究下產生出自己的思維，也能讓學生在課堂上體會思考之后的快樂. 同時教師自身有了問題思考，如：每一節課我要達到什么樣的目標，除知識外我要引領學生領略數學本質的什么？我如何設計培養學生的思維？其次教師要經常充電，更新自己的教學觀念，改變自己的思維方式. 教師要有反思意識，要時常追問自己：我在課堂上是否“控制”了學生的思維.教師自身的思維改變了，課堂上學生的思維才可能得到提高. 如果學生能在教師的帶領下每節課都有自己的思考，那么學生一定會形成自己的數學思維.

教學方式對于學生思維能力的影響十分關鍵.在課堂教學中，科學地掌握思維教學的方法比認識到思維訓練的重要性更為關鍵. 要形成有利于學生思維發展的教學方式至少要做到下述四點.

（1）變“組織教學”為“問題激發”

每一個教師都希望學生對數學學習感興趣，希望學生一走進課堂就能帶著一種高漲的、熱烈的情緒從事學習和思考. 要讓學生達到這樣一種狀態，首先要做的應該是激發學生的學習動機，對將要學習的內容產生需求的欲望.

因為，思維是從問題開始的，“問題”是調動學生積極思維的“催化劑”. 在復習教學中，根據教學內容，創設問題情境，把學生引到解決問題中來，使學生意識到問題的存在，從而展開思維去尋求解決問題的方法. 這樣就能不斷把學生的思維引向深入，就能使學生對新問題進行積極思考、認真探究，就能促使學生認識到舊知識已經不夠用，從而產生一種要求掌握新知識的欲望.以問題為中心組織課堂教學活動，是教師輸出信息并獲得反饋信息的重要途徑，是溝通師生思想認識的主渠道. 這樣組織課堂教學活動，能夠使學生自行發現和掌握知識，更能使學生創造性思維得到鍛煉和培養.

（2）變“講授方法”為“主動探究”

要想讓學生的思維展開，必須要擺脫教師生澆硬灌的教學模式，必須讓學生走到“舞臺”的中心，真正掌握學習的主動權，因為學生是課堂的主人，是學習的主人. 教師在課堂教學中，只有不斷確立學生的主體地位，喚起學生的主體意識，發揮學生主動探究精神，才能使學生形成自己的思維.

案例2 圖3是某同學在沙灘上用小石子擺成的小房子：

觀察圖形的變化規律，寫出第n個小房子用了________個石子.

學生馬上按學習小組分組討論探究起來. 只見有的在逐個逐個地數，有的在小聲討論，有的用筆在紙上寫著什么……很快，一個小組的學生站起來回答：“老師，我發現第n個小房子用了n2+4n個石子.” 教師問：“不錯. 你能告訴我們你們小組的探索思路嗎？”這個學生回答道：“我們通過數前四個圖形中小石子的個數，分別是5、12、21、32個，而5=1×（1+4），12=2×（2+4），21=3×（3+4），32=4×（4+4），所以按照這種規律，第n個小房子應該有n（n+4）個即n2+4n個石子.” 教師給予充分的肯定，問：“還有其他的思考方法嗎？”馬上又有一個小組派代表發言：“老師，我們是這樣思考的. 把每個圖形分成兩部分，即上面的一個人字形和下面的一個正方形，這四個圖形中上面的人字形中石子個數分別是1、3、5、7，那么第n個圖形上面的人字形中應該有2n-1個石子；而這四個圖形中下面的正方形的石子數分別是4、9、16、25，那么第n個圖形中下面的正方形的石子數應該是（n+1）2個，所以第n個圖形中小石子的個數就是2n-1+（n+1）2個，化簡得n2+4n個.” 教師很高興：“太精彩了！其他組還有別的思考方法嗎？”

教師用探求的口吻促使學生去探索、去歸納，學生的思維閥門被打開了，學會了把一個復雜的問題分解成幾個簡單的問題，運用歸納發現了結論，真正使學生在探究過程中長了智慧.

（3）變“鞏固知識”為“自我總結”

很多時候教師總是把知識和方法整理在一起教授給學生，讓學生把知識保存在記憶里，一旦需要時，就能把它們“倒”出來. 這樣雖然能起到鞏固知識的作用，但往往扼殺學生自身的思維，不能讓學生在學習中學會思考，在學習中得不到發展. 因此，我們要想辦法讓學生在自我總結的狀態下完成對知識、方法的鞏固，這樣一方面消化、深化知識，并內化成自身的思維，另一方面凸顯主體，增強思維，更能養成自主創新的精神.

學生掌握小結：

①解題關鍵：準確理解f（x）*g（x）=min{f（x），g（x）}的含義，在此基礎上運用所學的知識和已掌握的方法或解題經驗靈活解題.

②解題規律：分段函數的最值一般均用圖象法畫出各分段函數的圖象，然后觀察出它們在各段圖象上的最值點，并比較它們最值的大小.

③解題易錯點：容易誤認為所求的最大值是函數f（x）的最大值或g（x）的最大值.

（4）變“方法運用”為“實踐創新”

教師教學生太多的方法，讓學生學會應用這些方法去解決同類數學問題，也就是現在學生中經常出現的憑記憶解決數學問題. 蘇霍姆林斯基說：“有經驗的教師在實際工作中總是遵循這樣一個方向，就是在學生的腦力勞動中占首位的，不應當是背誦和記憶，而是借助它來進行思考，進行生動的創作，認識客體、事物、現象和周圍的世界，并且認識其極其細微的差別.” 這就是要把“方法運用”變為“實踐創新”. 教學活動是否成功，關鍵要看這一階段的質量.因為只有組織好這一階段的教學，才能讓學生的學習產生實質性的變化，才能達到教學就是以培養學生思維能力和創新精神為主的目的.

我們知道，創新能力總是在問題解決中發展起來的，問題解決是創新的土壤，并不一定所有的問題解決都包含有創新，但創新無疑都包含著問題解決. “問題”是數學的心臟，“問題解決”的能力是數學能力的集中體現，傳統的做法往往是淡化“問題意識”，教者奉獻給學生的是一些經過處理的規則問題和現成的漂亮解法，舍去了對問題的加工處理過程，也舍去了制定解決方案的艱苦歷程，學生聽起來似乎顯得輕松，但數學的能力卻未能得到應有的提高. 所以要強化“問題意識”，充分展現對問題加工處理過程和解決方案的制定過程. 正是從這一認識出發，筆者講課注意挖掘教材中具有某種創新價值的問題，引導學生思維發展. 如在進行“分期付款中的有關計算”教學時，筆者做了如下設計：

第一步，提出問題：想買一件較貴的物品，但現在又沒那么多錢該怎么辦？

第二步，設計解決方案：第一向銀行貸款，第二變相向商家貸款也就是分期付款，比較之下當然第二種方案更方便快捷.

第三步，問題的發展：教師在肯定方案正確性和可行性基礎上，再進一步提出，如何還貸款，分幾次付，怎樣付款才能最合算？

第四步，問題的深化：得出付款方案，一般情況下商家提供以下三種方案，一年當中分3次、6次或12次付清.

第五步，設計新問題的解決方案：可讓學生根據自己的設計分別計算加以比較得出方法的優劣.

第六步，教師小結，給出合理的解答，得出一般的計算方法與公式.

在這幾個問題的引導下，學生的展開了激烈的討論，并且由于這個問題與生活聯系比較緊密，學生的積極性也很高. 在整個計算過程當中一直是學生親自動手來比較幾種方案的優劣，筆者只是適時提出一些建議，給以點撥.

2. 為思維而學

思維不是可以直接由教師傳遞給學生并由學生完全直接接受的那種東西，它更多的是依靠學生自己在實踐中的摸索、體悟和積累，依靠學生有意識或無意識地將這種摸索和體悟所得進行內化，從而逐漸掌握應該怎樣思維 .教會學生思維，就是要讓學生“知道怎樣思維”. 而這需要教師給學生創造思維實踐的機會. 思維是可以通過專門的訓練教會的. 教學中教師不僅要教會學生知識，更要教會學生思維.

（1）巧設問題情境，誘導學生思維

現代心理學認為：教學時應設法為學生創設逼真的問題情境，喚起學生思考的欲望. 在復習教學中，我們如能讓學生置身于問題情境中，讓學生品嘗到用所學知識解決問題的樂趣，感受到借助數學的思想方法，會真正體會到學習數學的樂趣，就能做到很好地啟迪學生的思維.

在高三的復習教學中，知識的梳理是很難的，簡單的重復既枯燥又不能引起學生的重視，但通過問題情境就能起到很好的效果，一方面能使學生很好地掌握知識，體會知識間的內在聯系；另一方面能使學生數學知識得到進一步深化和發展的同時，分析問題、解決問題的能力得到很好的培養. 如在函數y=Asin（ωx+φ）圖象變換數學教學時，由y=sinx的圖象得到y=Asin（ωx+φ）的圖象時，教學中除了掌握的變換思路外，更為了突出重點內容先平移后伸縮與先伸縮后平移的區別，通過設置下面的問題情境幫助學生梳理知識脈絡.

在這樣的問題情境下，不僅能夠激發學生的思維興趣，更能引導學生把思維指向知識的關鍵處和重點；同時引導學生從解決具體問題的角度鞏固數學基礎知識，更助于培養學生的發散思維、求異思維以及直覺思維，有利于促進學生從模仿走向創新.

復習教學中通過一系列的問題情境，還可以提高學生思維活躍度. 因為單一的數學問題對開展學生的思維起到的作用并不是太大，而一系列的問題串更能發散學生的思維.如在“直線與圓錐曲線的位置關系”的數學教學中，可以設置下列“問題串”作為問題情境.

已知橢圓C：+=1，直線l：y=ax+b.

問題1：請你具體給出a，b的一組值，使直線l和橢圓C相交.

問題2：直線l和橢圓C相交時，a，b應滿足什么條件？

問題3：若a+b=1，試判定直線l和橢圓C的位置關系？

問題4：已知a+b=1，直線l：y=ax+b和橢圓C：+=1交于A，B兩點，_______（請你添加條件），求直線l的方程.

上述問題組由特殊到一般，且包含開放性試題，有較大的思維空間，滿足不同層次學生的需求，具有較好的探究性，有利于激發學生興趣，活躍思維.

（2）善導問題發展，啟發學生思維

在進行問題解決教學時，在問題已經獲解的情況下，可以適當地對原問題進行變更、引申，從而讓學生有足夠的思考空間，引導學生由單一思維向多向思維拓展，提升學生的發散性思維.如在“導數與函數單調性”復習一課中：

通過上述三個問題的設計，使得學生對一系列與單調性相關的求參數取值范圍問題有充分的認識，通過對比、思考更能發展學生的思維.

高三數學教學要使學生的思維動起來，關鍵是看教師如何設計數學問題并正確運用. 可以說，設計具有價值的問題是一堂課的“靈魂”，有效問題的設計和運用決定著學生思維的量，關系到學生思維活動的深度和廣度.

（3）正視錯誤資源，啟迪學生思維

美國數學家波利亞指出：學習任何東西的最好途徑是自己去發現. 所以，只要學生能發現的問題，盡量讓學生自己去發現.教學中的“問題”一方面來自于教師的設計，另一方面取決于學生，因而通過學生出錯的問題，引導學生探究，啟迪學生的思維會起到很好的效果.

在數學教學中，作業講評和試卷講評是教師很不好處理的一類課，簡單地就題講題，指出錯誤，訂正錯誤的方式起到的效果并不好，需要我們用更有效的方式來處理此類課堂. 筆者在每天的作業講評中，針對學生典型的錯解，將錯誤解答板書在黑板上，讓學生自己來探究，相互合作發現問題，并解決問題，這樣往往能更好地訂正錯誤，更是讓學生的思維得到啟發，同時學生自己發現錯誤，更有成就感，印象更深刻.

這是一個學生很典型的漏解問題.板書解答讓學生自己分析問題，到底哪里出現問題. 開始學生覺得沒有問題，通過讓學生仔細分析每一個步驟，相互討論，得出丟了sinα=0. 同時讓學生反思在什么時候需要注意這樣的情況.

數學教學可以通過錯誤來喚起學生內在需求，激發學生參與意識，推進學生思維的進程. 學生在辯誤、正誤中“悟誤”，通過自覺、主動的思維過程，學生真正理解數學知識內涵，同時又能促使學生完善認知.

[?] 研究成效

學生解題達到熟練的程度非常需要，但“熟能生巧”多指操作而言，熟練只能培養解決已知問題的能力，而不是解決新問題能力，培養解決新問題能力， 最好的辦法就是自己感悟. 數學是思維的科學，培養學生數學思維能力的主要渠道是課堂，數學教師要把提高學生的數學思維能力當作一項重要工作來抓.教師要不斷反思自己的教學行為，重視教學的每一個環節，比如例題的選擇、設計，不僅要站在學生的角度，還要站在命題者的角度去探索培養學生數學思維能力的最佳途徑，備課時至少要考慮四個方面的問題：（1）本題考了哪些知識點？（2）如何審題、破題，打開解題思路？（3）本題主要用了什么思想方法和解題方法、解題技巧？（4）如何通過本題的分析培養學生的思維能力？相信只要老師在教學上做個有心人，我們學生的知識水平、解題能力必然就會有較大的提高，就能用眼，用心，用腦“聽懂”題目，激發學生的思維.

1. “思維的激發”提高了學習數學信心

要改變傳統教學中學生的被動學習方式，其關鍵取決于教師教學方式的變革. 以往的數學課堂中，一切都是按部就班地進行.教師在備課中設計好了整堂課的教學程序，學生的主體性得不到發揮，很少有學生能提出問題. 而在探究式教學中，教師的角色得到轉變，通過設計問題情境，引導學生進行探究，組織學生進行小組學習，學生通過實驗、操作進行觀察、分析、探索、猜想和歸納，從而親身體驗數學、理解數學，學生的學習已由接受性學習轉變為探索性學習. 從實驗中可以看出，大部分學生的學習積極性得到了很大的提高，變得會思考了，常常會向教師提出“為什么.”

2. “思維的激發”拓展了探究問題空間

具有創造性思維的特點，也體現深刻性、獨創性、敏捷性、批判性等數學思維品質. 培養學生創造性思維能力應是有層次的，它包括：獨立思考，自主地參與學習過程，求新求異，探究、創造的漸進的過程. 在數學探究式教學中，學生通過觀察、實驗、分析、猜想、歸納發現數學，使數學教學成為再創造、再發現的教學. 在這一過程中，學生的創造性思維能力得到了提高. 教學實踐表明，以“思維的激發”為核心的數學教學，為學生提供了主體參與、積極探索、大膽實踐、勇于探究的學習環境；擴展了獲取知識的空間，改變了學生的學習方式；使學生的主體參與意識得以加強，使學生的探究意識得以提高. 在課堂教學中實施探究式教學，學生的能力得到了全面的提高.