讓“配方法”成為初中數學解題的一把利器

許明泉

[摘 要] 數學解題教學是數學課程教學的重要組成部分，在初中數學課堂教學中，解題教學的重要性是不言而喻的，學生解題能力的提升是一線教師重點關注的教學目標，本文從四個方面重點分析“配方法”在初中數學解題中的重要運用，進一步體現數學解題方法和技巧的重要性和實效性.

[關鍵詞] 初中數學；解題教學；配方法；利器

配方法是初中數學中極為重要的式子變形方法，它在數學題目中的應用隱含了創造條件并實現化歸的思想，這種思想對培養學生的數學能力以及數學整體思維具有很大的影響. 配方法不僅僅有推導一元二次方程求根公式這個典型的應用，在因式分解、化簡二次根式、解方程以及求代數式最值等問題中都會有廣泛的使用. 在中考中也頻頻出現，逐步成為初中數學中的一種很重要、很基本的數學方法. 筆者具有多年數學教學經驗，對配方法的應用具有一定的研究與探索，下面舉例說明配方法在解初中數學題中的簡單應用，希望對相關人士有所幫助.

方程巧解，減少計算

配方法的使用對學生來說印象最深刻的就是教師在黑板上推導一元二次方程的求根公式的時候，那是學生首次接觸配方法. 其實配方法不僅在公式推導的時候十分便捷，對于某些解一元二次方程的題目也有很多幫助. 只要學生能用心去體驗、去感悟，就能夠明白配方法的妙用.

某些特殊的一元二次方程確實利用配方法解決比較簡單，如果采用平時的正常思維來解題反倒是有些困難，對學生造成困擾. 例如，下面這道題中就可以明顯地看出配方法的優勢：求解方程x2-2x-323=0. 這道題目非常簡單，一般的學生都會想到使用求根公式來解決，只要將原題中的a，b，c代入求根公式中，逐一求解便好. 但是，這樣解題的學生會發現，運算過程比較麻煩，計算量相對較大，一個不注意學生可能就會解不出或者解錯這個一元二次方程. 如果換一個思路，那也許就會有不同的發現與體驗. 配方法就是另一個思路，能夠讓學生發現解題的捷徑. 將上述方程做一個簡單的變動，變成x2-2x+1-1-323=0的形式，這樣式子就得到了轉化：x2-2x+1=324，即（x-1）2=324. 此時就能十分輕松地得到x-1=±18，即x=19或x=-17. 利用這種方法求解，明顯比直接利用公式法求解的計算量小，而且計算也比較簡單. 當然，教師并不能否定公式法解題，畢竟公式法是最常用的解題方式，只是對于不同類型的題目，方法的選擇十分重要而已. 教師要在課堂上幫助學生分析配方法解決一元二次方程的特點以及使用范疇，學生只有明白了何時用配方法、什么條件下用配方法，才能夠將配方法解題使用得淋漓盡致.

配方法是解決一元二次方程的一個巧妙方法，利用得當會給學生帶來極大的便利. 所以教師在平時授課中要多多滲透這一方法的使用，讓其在學生心中留下一定的地位，在用到時，能夠隨時想到.

因式分解，配方化簡

我們都知道配方法的原型是完全平方公式，即a2+b2±2ab=（a±b）2. 而在配方的過程中也會有三種不同的表現形式：①已知一個平方項和積的二倍配另一個平方項，即由a2±2ab配上b2；②已知兩個平方項配積的二倍，即由a2+b2配上2ab；③已知積的二倍配兩個平方項，即由2ab配a2和b2. 這就是配方法使用的主旋律，它在因式分解中的應用極為廣泛.

因式分解在初中數學中也是十分重要的，在各屆中考中都會有因式分解的考題出現. 所以教師在平時授課中，對因式分解的講授一定要細致，不可馬馬虎虎、敷衍了事. 教師要細心地為學生講解各類因式分解的習題，讓學生能夠掌握解題要領，也要在適當的時候將配方法滲透進去，讓學生接受. 例如，下面這道習題：因式分解x4-27x2+1. 這就是屬于特殊的因式分解的題型，與正常的題型有很大的區別. 按照正常的解題方法，學生可能找不到分解思路，反而會越做越難. 但是明白配方法的學生就會覺得這道題其實十分簡單，只需要將x2看做平時的x即可. 這樣就能夠將四次冪化簡為二次冪，與之前所說的配方法掛上鉤. 我們可以這樣來解題，令y=x2，則原式就變為y2-27y+1，稍作改變就會成為y2-2y+1-27y+2y=（y-1）2-25y. 再將y=x2代入上式，可得（x2-1）2-25x2. 再利用所學的數學基礎知識得到答案為（x2-1-5x）（x2-1+5x）. 其實這道因式分解的題就是屬于上面所說的第二種變形方式，即由a2+b2配上2ab. 因式分解的題型很多，也會出現方式一或者方式三這兩種情況. 教師要讓學生多多接觸題型，培養學生的隨機應變能力. 這道題唯一不同的是，使用了一次換元法，令y=x2. 其實如果是學生比較熟練的話，可以不用換元，直接用x2即可.

這種因式分解其實是必須使用配方法的，只有通過配方法才能將高次冪降為低次冪，使得問題得到簡化. 學生要明白配方的那三種不同的表現形式，只有靈活運用，才能夠面對更多的不可預料的數學習題.

極值速求，合理分配

初中代數中經常會出現求代數式的最大值或者最小值的題型，也會遇到同樣的情況. 在解題時，學生需要想盡各種辦法將式子向配方法那三種不同的表現形式靠攏，達到簡化式子的目的，讓題目變得簡單，學生做起來也會得心應手.

對于求最大值或者最小值的題型，教師可以不必做到面面俱到. 可以只講求最大值的方法，而求最小值的方法讓學生自己研究探索，培養學生的自主探究能力. 教師只要將解題技巧傳授給學生，其他的就交給學生自由發揮，提升自己的解題速度. 例如，求下面代數式的最大值或者最小值：-2x2-12x+2. 首先，我們還不知道這個式子存在的是最大值還是最小值，需要在解題過程中自主去發現. 對原式變形得到-2（x2+6x-1）. 由此聯想到配方法的使用，將式子變為-2（x2+6x+9-9-1），即-2（x+3）2+20，由于-2（x+3）2肯定小于或等于零，所以原式肯定小于或等于20，即式子存在最大值為20. 在這道題中，配方法最大的作用就是得到的a2或者b2是肯定大于零的，這對于存在常數的式子來說求最大值以及最小值是極為便利的，這就是配方法在求最大值和最小值中應用的最大妙處. 學生只有領悟了這一點，才能夠明白配方法在求最值的題型中的使用方式，為將來的解題帶來便利.

在做這樣的題目時，學生要有整體思想，將眼光放在整個題目中，切不可緊緊抓住某一個未知數死死不放，那樣會阻礙學生的視角，無法發現解題的方法. 配方法的應用十分重要，教師要在習題課中多多提醒學生，讓學生不要將這個方法忽略，這對某些特殊題型來說是很大的助力.

代數求值，整體把握

在代數求值中配方是一種常用的技巧，也可以將配方法那三種不同的表現形式適當地引用過來，為數學解題服務. 在這種題型中，教師需要做的就是要培養學生的配方意識，見到什么樣的式子會聯想到配方法，讓這一系列的思維變成一種條件反射，學生只要遇到類似的就能夠整體把握，找到解題策略.

代數求值對于初中生來說是比較復雜的，需要學生對各方面的知識都有一個獨到的了解，是綜合性十分強的題目. 例如，已知a-b=3，b-c=2，求a2+b2+c2-2ab-bc-ac的值. 這道題乍一看根本就無法解決，題目中存在三個未知數，而給出的方程卻只有兩個，所以通過求出a，b，c的值來求出上面代數式的值這條路是走不通的. 面對這種情況，學生只能另尋他法，從大處著眼，將所給的兩個方程作為一個數看作是已知條件. 而我們要做的就是將a2+b2+c2-2ab-bc-ac進行改變，直到全部能夠用a-b=3和b-c=2來表示為止. 這就是對學生變換能力的考查，需要扎實的基本功. 另外由a-b=3和b-c=2，我們還可以得到a-c=5. 這個條件我們同樣可以加入到變換的范疇中去. 所以，代數式只要含有a-b，b-c和a-c即可. 而這個變化的過程就需要使用到配方法，將代數式中的a2+b2+c2分別化成含有（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，之后再將已知中的數代入其中即可得到答案. 具體求解過程，在此不再贅述，重要的是解題方法. 只要學生能夠掌握解題模式，其他的都會變得十分簡單.

代數求值也需要學生有一個善于發現的眼睛，能夠找到已知與所求之間存在的聯系，抓到共同點，才會有解題方法的迸發.

配方法在初中數學中占有非常重要的地位，同時也是代數中恒等變形的重要手段，可以用來討論極值關系，也可以用來代數求值. 教師要將配方法的精髓全部教給學生，讓學生能夠利用這把利器在數學題海中自由翱翔.