數形結合在中職數學課堂教學中的滲透

黃世財

【摘要】在中職數學課，學生的解題能力欠佳，其中有一點就是不會利用圖形來分析問題和解決問題。因此，在教學中如何把復雜的問題通過圖形簡單化，把較難的問題通過數形結合轉化為較易的問題，把未解決的問題通過直觀圖形轉化為能解決的問題，這就需要在教學中滲透有關的數形結合的思想。

【關鍵詞】數形結合 中職教學 滲透

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）09-0103-02

華羅庚先生說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數形結合的思想，其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化，使問題化難為易、化繁為簡，從而使問題得到解決。

近年來，在高職高考數學試題中，應用數形結合的思想來答題，既能直觀表現出來，又能減少計算中的錯誤，可謂事半功倍。能應用數形結合的學生，做題能力較強，而不善于應用數形結合意識的學生，做題的思路、方法明顯稍差，甚至會不得其解。下面結合在教學中的體會談談數形結合的滲透。

一、集合的交集、并集的數形結合

“天蒼蒼，野茫茫，風吹草低見牛羊。”形象地描述了集合這一概念，因此在進行集合的運算教學中，根據交集、并集的定義特點，畫出數軸，從數軸上分析，找出關聯部分，就能快速得出答案。

例1：設集合，則

例2：設集合，則

分析：將每一個例題中的集合在數軸上表示出來，觀察圖形可以得到集合的交集、并集。

二、解不等式的數形結合：

在不等式的學習中，經常會碰到求一元二次不等式、絕對值不等式等的解集，解答此類問題，關鍵是求出根，通過畫數軸找出不等式的解集。

例1：函數的定義域是

分析：此題實際上是求一元二次不等式的解集。關鍵是求出一元二次方程時的兩個根。然后將這兩個根標在數軸上，觀察圖形得出函數的定義域是。

例2：不等式的解集是

分析：此題是絕對值不等式，首先畫數軸觀察出絕對值小于10的數是介于-10至10之間，這樣就得到不等式的解集是。

三、函數的數形結合

函數是中職學生感到學起來比較吃力的一部分，比如一次函數、二次函數的圖像，單調性和奇偶性，這些知識點都與圖形有著緊密的聯系。

例1：已知函數的圖像在x軸的上方，且對稱軸在y軸的左側，那么函數y=ax+b的圖像大致是

分析：此題很明顯必須借助數和形來解決問題。首先依據二次函數的圖像是一條拋物線，圖像的開口向上，故，且對稱軸，則；依據一次函數y=ax+b 的圖象是一條直線，可知圖像經過一、二、三象限，因而可畫出所求函數的大致圖像。

例2：奇函數在區間[3，7]上是增函數，且有最小值 ；則在區間[-7，-3]上是 （增或減）函數，且有最 （大或小）值為 。

分析：解答此題的關鍵是在直角坐標系中依據奇函數的圖像關于原點對稱，并且從左到右圖像是上升的這一特點畫出圖形，觀察得出函數在區間[-7，-3]上是增函數，且有最大值為-5，所以效果很明顯且簡便快捷。

四、指數和對數函數及三角函數的數形結合

解指數和對數函數的題型，關鍵是抓底數，根據底數大于0且小于1和大于1兩種情況畫出函數的圖像，通過對比得出結論，這是一種快速的思考方法。

例1：已知函數，其中，則比較的大小順序是

分析：此題根據對數函數的底數范圍確定它是減函數，函數的圖像是下降的，由此比較在同一范圍內自變量時，從函數的圖像得出的大小。然后通過得出結論。

例2：下列不等式中，正確的是

分析：在分析過程中滲透數和形的思想，借助對數函數的圖像，可以在（C），（D）中選擇，借助正弦、余弦函數的圖像可以在（A），（B） 中作出判斷，從圖像中可以一目了然尋找出答案為（C）。

五、解析幾何的數形結合

解析幾何主要的知識點有直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線的相關內容，但是將幾種曲線綜合在一起應用，必須通過分析圖形才能準確解答，才能提高解題的效率。

例如：已知中心在坐標原點，兩個焦點F1，F2在x軸上的橢圓E的離心率為，拋物線y2=16x的焦點與F2重合。（1）求橢圓E的方程；（2）若直線交橢圓E于C，D兩點，試判斷以坐標原點為圓心，周長等于△CF2D周長的圓O與橢圓E是否有交點？請說明理由。

分析：解答此題需要涉及的知識點有橢圓的方程和性質，拋物線的焦點坐標和圓的周長，從畫出圖形作為切入點，根據已知條件，分析出要解決的問題，就能較快地解答出來。

首先依據圖形由拋物線y2=16x得橢圓E的焦點，根據離心率和焦點求出橢圓的方程。要解答第二個問必須知道△CF2D周長與長半軸的關系，由此得知圓O的半徑，此半徑比橢圓的長半軸要小，比橢圓的短半軸要大，據此可畫出圓O的圖形，得出圓與橢圓有交點的結論。

總之，數學思想和數學方法是數學知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊涵在數學知識的發生、發展和應用的過程中。而數形結合的思想就是利用圖形進行思維簡縮，對選擇、填空題的求解往往能簡化過程。對解答題往往能分析出關鍵節點，找到解題的切入點，從而達到事半功倍的效果。因此，在中職數學教學中有意識地滲透數形結合，借助數學概念，構建起中職數學的基礎知識網絡，就會適應高職高考的實際情況，學習數學就會水到渠成。

參考文獻：

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[4]倪永勝.簡析中職數學中的數形結合.[J]數學學習與研究2015（9）.