如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)

閆曉芳?陳頌

摘 要：概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本內(nèi)容，數(shù)學(xué)概念是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)和依據(jù)。CPFS結(jié)構(gòu)是由概念域、概念系、命題域、命題系組成。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)從多角度揭示概念的意義，使學(xué)生形成完整的概念域；梳理知識(shí)體系形成概念系；加強(qiáng)概念的應(yīng)用這三個(gè)方面完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；CPFS結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)教學(xué)

概念教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)基本內(nèi)容。數(shù)學(xué)概念是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基礎(chǔ)和依據(jù)。喻平等人提出的CPFS結(jié)構(gòu)是由概念域、概念系、命題域、命題系組成，它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特有的優(yōu)良認(rèn)知結(jié)構(gòu)，能夠幫助學(xué)生建構(gòu)起完備的數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)體系，各知識(shí)點(diǎn)（概念、命題）在這個(gè)網(wǎng)絡(luò)中處于一定位置，知識(shí)點(diǎn)之間具有等值抽象關(guān)系、強(qiáng)抽象關(guān)系、弱抽象關(guān)系或廣義抽象關(guān)系。良好的CPFS結(jié)構(gòu)有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用。形成概念域和概念系是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一個(gè)本質(zhì)特征。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)從以下三個(gè)方面來(lái)完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)。

一、多角度揭示概念的意義

一個(gè)概念的一組等價(jià)定義的圖式叫概念域。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)從多種背景、不同側(cè)面去揭示概念的內(nèi)涵，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的概念域。

例1 在“集合”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)中，可以從以下實(shí)際出發(fā)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、討論、概括理解集合的意義，從而總結(jié)出集合的概念。

例2 “函數(shù)”概念的認(rèn)識(shí)。一個(gè)概念有多種定義，而這些定義又是彼此等價(jià)的，他們從不同側(cè)面刻畫了同一個(gè)概念的本質(zhì)。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從不同側(cè)面去認(rèn)識(shí)概念，全面把握概念的本質(zhì)。

例3 “等差數(shù)列”概念

側(cè)面1：對(duì)于數(shù)列{an}，若an+1-an=d，其中d為常數(shù)，n∈N，n≥1，則稱數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

側(cè)面2：對(duì)于數(shù)列{an}，若an+1-an=an-an-1， n∈N，n≥2，則稱數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

側(cè)面3：對(duì)于數(shù)列{an}，若an=a1+（n-1）d，其中d為常數(shù)，n∈N，n≥2，則稱數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

側(cè)面4：對(duì)于數(shù)列{an}，若an=am+（n-m）d，其中d為常數(shù)，n∈N，n≥2，則稱數(shù)列{an}為等差數(shù)列。

二、梳理知識(shí)體系，概括概念體系

概念域的形成是針對(duì)某個(gè)特定概念而言的，而一組概念形成的是概念系，這一組中每個(gè)概念之間都存在一些特定的數(shù)學(xué)抽象關(guān)系。概念系的形成依托于客觀知識(shí)自身的結(jié)構(gòu)，因此，教師要經(jīng)常性地梳理知識(shí)體系，概括知識(shí)結(jié)構(gòu)，有效引導(dǎo)學(xué)生自覺、獨(dú)立地建立概念系。概念圖是建立概念網(wǎng)絡(luò)的一種有效方法，即將每一個(gè)概念在平面上用一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)地表示，然后用有向線段把有關(guān)系的點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來(lái)。用雙箭頭表示等價(jià)概念，單向箭頭和“+”號(hào)表示強(qiáng)抽象關(guān)系，單向箭頭和“-”號(hào)則表示弱抽象關(guān)系。

例4 “函數(shù)”的概念系是下面概念網(wǎng)絡(luò)的圖式

記A：映射；B：函數(shù)；C：函數(shù)的奇偶性；D：函數(shù)的單調(diào)性；E：一元一次函數(shù)；F：一元二次函數(shù)；G：一次函數(shù)y=kx+b；H：二次函數(shù)y=ax2+bx+c；I：直線；J：拋物線；K：二元一次方程Ax+Bx+C=0（A，B不同時(shí)為0）；L：二元一次不等式Ax+Bx+C≥0。

三、加強(qiáng)概念的應(yīng)用

概念域和概念系的形成主要是在概念的應(yīng)用中完成的。概念應(yīng)用有低層次應(yīng)用和高層次應(yīng)用。低層次應(yīng)用是知覺水平的應(yīng)用，它是指學(xué)生學(xué)習(xí)一個(gè)概念后，當(dāng)遇到這個(gè)概念的特例時(shí)，能夠把它作為概念的具體例子加以識(shí)別。思維水平的應(yīng)用是高層次應(yīng)用，是指將概念用于解決問(wèn)題。由于問(wèn)題解決涉及的概念、命題較多，因此概念在思維水平上的應(yīng)用就是一個(gè)比較復(fù)雜的過(guò)程，它需要學(xué)生選擇和提取相關(guān)的概念和命題，并將其與當(dāng)前問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，經(jīng)過(guò)一定數(shù)量的解題訓(xùn)練，把這些經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為概念域和概念系。

例5 ① 求函數(shù)的定義域 ② 求函數(shù)的定義域

問(wèn)題①中只涉及求含有偶次根式的函數(shù)的定義域，只需令x-1≥0即可，因而是概念在知覺水平上的應(yīng)用。問(wèn)題②中還需要用到根式的有關(guān)概念和性質(zhì)，屬于概念在思維水平上的應(yīng)用。教師在教學(xué)中，要積極為學(xué)生應(yīng)用知識(shí)創(chuàng)設(shè)良好的環(huán)境，使學(xué)生在應(yīng)用概念的過(guò)程中理解概念之間的關(guān)系，從而形成正確的概念域和概念系。

參考文獻(xiàn)：

喻平. 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)芻議[J]. 課程·教材·教法，1995（4）：30-32.