初中數學教學中“頓悟”的策略與實踐研究

劉紹洲

摘 要 我國的教育事業在不斷改革和推進，在深化義務教育改革的過程中，注重對學生的素質教育培養，數學作為課程素質教育改革的重要學科，要注重學生在數學學習過程中的數學思維能力的培養，教師要在數學教學中不僅傳授數學知識和數學概念、規律等，還要引導學生的數學學習思維，可以充分運用頓悟的方法，引導學生在數學思維過程中進行分析和思考，從而啟迪學生的數學智力，提高學生的探究能力和創新精神。

關鍵詞 初中數學 頓悟 數學思維

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2016.10.052

Abstract Education in our country in continuous reform and progress， in the process of deepening the reform of compulsory education， pay attention to students quality education and training， mathematical as an important subject of curriculum reform of quality education to pay attention to student learning in Mathematics in mathematical thinking ability in the process of training， teachers should not only teach mathematics knowledge and mathematics concepts， laws， should guide students in mathematics learning and thinking in Mathematics， can make full use of Epiphany， guide the students in mathematical thinking in the process of analysis and reflection， so as to inspire the students mathematical intelligence， improve students inquiry ability and innovation spirit.

Keywords junior high school mathematics； epiphany； mathematics thinking

初中數學的學習是一個復雜的過程，它體現了學生在數學學習過程中的直覺感知和邏輯思維。這兩個思維過程是數學學習的前提和基礎，同時也是數學學習頓悟的基礎，它可以在數學學習過程中起到一個引導的作用，對學生的抽象邏輯思維能力和想象力都有較高的要求，在應用頓悟的過程中，可以使學生的數學認知架構不斷由低到高，實現質的飛躍。

1 初中數學教學中頓悟的功用

數學教學中的頓悟是指在數學解題和知識教學的過程中，突然獲得了解決數學問題的方法和思路，而這個方法和思路并不是憑空產生的，不是想象而來的，而是在特定的數學教學環境下因偶然的因素而造成的，也可以認為是創造性思維的數學教學內容，對學生的數學思維活躍性和開放性有重要的推動作用。頓悟在初中數學教學中的功用主要表現為以下幾個方面：

（1）頓悟可以提升中學生對數學語言材料的理解和感悟。在初中數學的解題和知識學習過程中，漢語材料可以幫助學生進行理解和感悟。在一些數學解題過程中，有時不須嚴密的數學邏輯思維和推斷，可以根據數學習題中的語言，分析數學問題，從而提升初中生對數學習題的讀題速度，增強對數學語言材料的感悟能力。

（2）頓悟可以提升學生數學學習的主動性和開放性。在數學學習活動中，學生的參與程度，在較大程度上影響了數學知識的學習效能，傳統的數學教學注重數學概念和規律的傳授，而對學生數學思維的培育較少，而頓悟可以讓學生的主動性合理地調動，并且可以在一定程度上活躍數學課堂氛圍，增強學生主動思維的能力，提升數學學習效果。

（3）頓悟有助于學生創新思維能力的培育。初中數學教學不僅要傳授數學知識，還要培養學生的數學創新思維能力，運用頓悟式教學方法，可以讓學生進行手腦并用的思考和分析問題，在不經意間產生頓悟，培育出學生的創新思維能力。

2 初中數學教學中頓悟的開放性研究及探索

2.1 注重學生在數學情境中進行多層次的數學解答

在初中數學的知識學習過程中，學生要具有良好的數學知識結構，要具備足夠靈活的雙向產生式知識和層次分明的解題意識，在條件前提和數學結構的知識儲備之下，進行多層次、多角度的數學問題解答和探索。在運用頓悟的數學教學過程中，實現多層次的數學問題解答，需要從以下幾個方面加以考慮：

2.1.1 要注重數學知識的觸發條件

數學概念和數學定理可以用于解決相應的數學問題，然而，這些數學概念和數學定理在情景條件發生變化的情況下，學生不會靈活地運用數學概念和定理。這就需要考慮數學知識產生的觸發條件，在多層次的知識產生鏈的結果之下，要注重每一個知識點的觸發條件，要建立數學知識和數學問題之間的豐富聯結，并將數學知識鑲嵌在具體的數學問題情境之中，試探學生在數學問題情境之中對條件信息的識別狀態，并由此引發的數學學習活動。

例如：在對已知條件得知三角形是直角三角形的識別產生條件下，學生可以作出反應，并判定：斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和，在這個勾股定理的檢索信息之中，學生還沒有將其具體應用于數學問題情境，還需要溶入個體數學活動的體驗，并在數學問題信息提取、分析和整理的過程中，實現知識的遷移。

2.1.2 要建構數學知識的組塊體系

在運用頓悟策略和方法的數學學習過程中，要將學生長時記憶的數學知識儲存在有序的認知結構之中，在對數學問題進行分析的過程中，要從不同角度對數學概念和數學命題進行梳理，在逐步完善數學認知結構的條件下，形成數學知識組塊體系，為多角度、多層次的數學問題解答提供條件和前提。

2.1.3 探索開放性數學問題情境之中的多層次解答

在數學頓悟教學的方法之中，要以探索為數學教學的生命線，在開放性的答案解答過程中，對問題進行驗證和修正，使學生在探究性的數學研究過程中進行多層次的解答，體驗如何“做數學”，并實現對數學問題的“再創造”。

例如：有一個邊長為a的正方體ABCD-EFGH（圖1），在底部的A處有一只貓，在A的對角頂點處有一只老鼠，貓可以沿著什么路線前進，可以在最短的時間內抓住老鼠（假設前提條件為老鼠在G處不動），試畫出有多少條路徑？

習題解答：教師可以啟發學生將這個問題進行轉化，設計成由A-G處的最短路徑問題，學生思考后對這個問題進行解答：在A和G處的兩點之間的連線最短，它們之間連線的路徑可以進行計算得知。

T：這條路徑雖然最短，然而，我們的前提條件是貓不會飛，這條路徑事實上并不存在。

S：可以沿著正方體的對角線和棱邊往前行，有A-B-G，A-E-G，A-D-G……將其進行路徑的計算可以得出最短路線。如圖2所示：

T：為了啟發學生的數學領悟能力，教師可以對學生進行啟發：沿著正方體面比沿著棱進行前行的距離更短，學生請思考，還有什么更佳的選擇？

S：（停頓、領悟并思考）

T：讓學生預備好正方體紙盒，做好相應的字母標注，觀察并交流，當學生在正方體上畫線或者將正方體紙盒沿底面展開之時，學生獲得了頓悟：原來將正方體沿底面展開，可以使解題思路變得豁然開朗。

S：從A處到G處的路徑，明顯在平面上可以看出AG的路徑小于A-C-G的路徑，也即由A到CD的中點再到G點是最短的路徑。

T：由此可以進行規律性的總結：由A處—G處的路徑在以A和G為頂點的兩個正方形的表面上且經過這兩個相鄰正方形的公共邊的中點。

2.2 注重初中數學思想和方法在學習中的運用，激發學生的頓悟

數學思想和方法是重要的教學內容，它可以激發學生的數學學習興趣，領悟到這些關鍵數學思想的實踐應用，并在獨立自主思考的前提下，進行新知的探究和發現、分析，從而創造性地解決數學問題。為了正確地運用好數學思想和方法在實踐解題中的應用，要遵循學生的認識規律，分層次地滲透歸納和演繹等數學學習方法，使學生形成良好的數學思維習慣，培養學生自我提煉、揣摩和概括數學思想和方法的能力。

2.2.1 分類思想在數學教學中的實踐運用

初中數學分類思想滲透于數學概念性的內容以及數學證明題和計算題中，它在代數和幾何的教學中，可以極大地提升學生的條理性思維和數學邏輯思維。從幾何角度而言，分類思想可以運用于比較線段的大小問題。

例如：在兩條線段之中，可以討論并比較線段AB和CD的大小。運用分類思想，進行三種不同情況的分類討論：（1）當點B在CD線段之上時，ABCD。

2.2.2 數形結合思想在數學教學中的實踐運用

在初中數學解題過程中，通常運用數與形的結合，在“以形助數”和“以數解形”的過程中，可以使復雜的數學問題簡單化、抽象的問題直觀化，分析數學問題的題設和結論之間的關聯，從而快速解決數學問題。它對培養學生的圖形感和數感有極大的輔助作用，并在學生的形象思維和抽象思維的綜合利用方面，有一定的促進作用。

例如：“空間與圖形”中的數形結合。如圖3，有一根12m長的鐵絲，圍成一個矩形空地，如何才能使圍成的面積最大？圍出面積的長寬度如何？

解題思路：要從“最多”的條件中進行數學思維的啟發，引導學生進行頓悟，結合二次函數，以面積為等量關系，解決這道最值問題，在數形結合的解答過程中，培養數學解題思維。

即：當面積的長為3，寬為6時，面積最大，透光最多。

2.2.3 函數與方程思想在數學教學中的實踐運用

函數與方程是初中數學教學中的重要內容，對學生的數學解題思維具有深遠的影響，它在探索、歸納、提煉的解題過程中，運用數學思想和方法，在掌握這些數學思想的特性的前提下，進行反復的滲透和訓練，在適當的引進策略下，引導學生進行知識的頓悟和體會，從而對數學知識進行反思、提煉和歸納。

解題思路2：運用數學函數的知識點，要讓學生在方程向函數轉化的頓悟之中，借助于兩者之間的關系，發現求方程 + = 0的解也即二次函數 = + 的圖像與軸的交點，同時，由于拋物線開口向上，因而只要滿足 = 1時，<0即可，即 + <0，得<2。

2.3 從學生的直覺思維角度，激發數學學習中的頓悟

數學頓悟的產生需要學生的知識儲備前提和良好的數學認知結構前提，在此條件之下，教師才能引導學生進行想象、聯想、發散和求異，從而產生數學頓悟。在初中生的思維結構和認知水平之中，可以首先從學生的直覺思維角度，進行頓悟的激發，培養學生的數學知識理解能力和運用能力。

例如：如圖4，已知在 ABC之中，AD、BE、CF分別是BC、AC、AB邊上的中線，G是重心，AG = 6，BG = 8，CG = 10，試求 ABC的面積為多少？

教師在教學過程中，可以利用學生的直覺思維，明白這個習題中的實質即：三個數據6、8、10也正是勾股數，在這個直覺思維的導向之下，使學生產生頓悟，獲得解題思維的訓練和強化，以6、8、10為長的三線段構造一個直角三角形，延長線段GD至G，并使GD=GD，連結GC，這樣可以較為容易地獲得證明：GG=AG=6， GDB≌ GDC，由此可得，GC=BG=C， GGC是直角三角形， GGC的面積為6€？€？=24， ABC的面積為72。

2.4 從學生的邏輯思維角度，激發數學學習中的頓悟

在數學思維的產生過程中，學生的邏輯思維較直覺思維而言，具有更高、更為復雜的層次，為了揭示數學知識的本質特征和規律性聯系，可以引導學生在邏輯思維的構建中，產生數學頓悟，提升數學思維能力和解題能力。

例如：請解析下列方程組：

解題思路1：方程①去分母，再采用代入消元法，進行解題，顯然這是一種較為繁瑣的解題方法。

解題思路2：兩個方程的左邊系數相同，因而可以考慮將+（9/）和+（4/）視同為一個整體，將方程②的左右兩邊都除以，并把方程②變形為（+9/）（+4/）=24，然后再將方程①變形為（+9/）+（+4/）=10，假設+9為A，+4/為B，這樣，方程組就可以轉化為A+B=10，A€譈=24，后續的解方程組就變得容易許多了。

在上述的數學解題過程中，對“兩個方程的左邊系數相同”的敏感思維也即頓悟過程，在強化邏輯訓練的過程中，激發學生的頓悟，提升數學解題能力。

2.5 充分挖掘學生的猜想和聯想能力，拓展數學學習的頓悟

在數學的頓悟產生過程中，要經歷一個初步認識—逐步提高—進一步深化的過程，也即數學猜想和聯想的過程，由數學條件或結論的外表猜想到內在的定理或圖形，從而獲得頓悟，尋找到解題靈感。

例如：有一條流水線上的N臺機床在工作，要設計一個零件供應站點P，為了使N臺機床與零件供應站點P之間的距離總和最小，可以將P點設置于何處？

解題思路：在這個解題過程中，由于N是一個抽象值，要引導學生獲取具體值，就需要引導學生對正確的解法進行猜想和假設：

當N=2時，P點應位于何處呢？當N=3時，P點又位于何處？N=4，N=5呢？

在引導學生進行歸納的同時，可以得到怎樣的猜想？

當N為奇數時，P點在第（N+1）/2臺處時，距離之和最小。

當N為偶數時，P點在第N/2和（N/2+1）臺之間的任何一點時，距離之和最小。

3 結束語

在初中數學教學中，要培養學生獨立自主思維的能力，要結合學生的形象思維和抽象邏輯思維，運用數學思想和數學方法，進行數學問題的主動探索和創新，在對數學問題進行知識分析、推理和歸納、概括的過程中，啟發學生的頓悟，從多角度對數學問題進行探索，可以培養學生在數學思維中的靈活性、獨立性，增加對數學解題的深度和廣度，運用頓悟教學的原則，全面提升數學學習能力。

參考文獻

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