求解一道“將軍飲馬”模型問題的三種方法

唐雙利

【摘要】“將軍飲馬”是初中數學問題中的一個經典模型，其思想和解決方法也蘊含在諸多的題目中.在兩點之間線段最短的定理基礎上，如何去求解不是直線的兩條線段長度之和的最小值，是此類問題的研究重點.本文探討一道“將軍飲馬”模型的典型例題的三種方法，以供參考.

【關鍵詞】初中數學；平面幾何；圖形變換

在平面幾何問題中有一類經典的問題，即圖形變換問題，此類問題綜合性強，難度大，考驗學生對幾何圖形的處理能力和想象能力.當“將軍飲馬”模型與圖形變換問題融合時，處理的方法也就自然變得多種多樣，求解此類問題需要發散思維，從問題的本質出發，就能夠解出答案.

題目? 如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，有點A（-2，0），B（0，4），E（0，1），將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B，BE′.當A′B+BE′取得最小值時，求點E′的坐標.

圖1

解法1? 利用全等和相似三角形

如圖2所示，過點A作AB′⊥x軸，

并使AB′=BE=3.

易證△AB′A′≌△EBE′，

所以B′A′=BE，

從而A′B+BE′=A′B+B′A′.

當點B，A′，B′在同一條直線上時，A′B+B′A′最小，即此時A′B+BE′取得最小值.

易證△AB′A′∽△OBA′，

圖2

所以AA′A′O=AB′OB=34，

則AA′=37×2=67，EE′=AA′=67，

所以點E′的坐標是（67，1）.

此解法通過利用全等和相似三角形的性質，將題目中的兩條線段中的BE′轉化為了B′A′，從而通過這兩條線段在構成直線時的長度之和為最小值推得原兩條線段的長度之和的最小值，本質上是一個等價轉化.

解法2? 在平面直角坐標系中利用代數方法解得

如圖3所示，將點B（0，4）沿射線AE的方向平移AE線段長得點M，則點M的坐標為（2，5），連接BM，易證四邊形BME′A′是平行四邊形，

則A′B=E′M.

因為點E（0，1），將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，

設AA′=n，則EE′=n，

圖3

點E′（n，1），即點E′在直線y=1上.

作點M關于直線y=1的對稱點M′，連接E′M′，

則點M′的坐標為（2，－3）.

當點B，E′，M′在同一條直線上時，BE′+E′M′最小，即此時A′B+BE′取得最小值.

設直線BM′的表達式為y=kx+b，

則b=42k+b=－3，

解得k=－72b=4，

所以直線BM′的表達式為y=－72x+4.

當y=1時，－72x+4=1，

解得x=67.

所以點E′的坐標是（67，1）.

因為題目本身就在平面直角坐標系中，而根據數形結合的數學思想，可以將幾何問題轉化為代數問題來求解，直接求出直線的表達式，通過對稱平移等方法綜合解得答案.

解法3? 尋找表達式的幾何意義

因為點E（0，1），將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，

設AA′=n，則EE′=n，

點A′（－2+n，0），點E′（n，1）.

所以A′B+BE′=（n－2）2+42+n2+32.

根據坐標平面上兩點間距離的公式不難發現，可將（n－2）2+42+n2+32看成坐標平面上x軸上一動點G（n，0）到定點P（2，4）和Q（0，3）的距離之和.

由此（n－2）2+42+n2+32的最小值轉化為GP+GQ的最小值.

作點Q關于x軸的對稱點Q′（0，－3），由“兩點之間，線段最短”可知，當點G運動到PQ′與x軸交點位置時，此時GP+GQ的值最小.

直線PQ′對應的函數關系式為y=72x－3，與x軸的交點為（67，0）.

所以，n=67，

所以點E′的坐標是（67，1）.

此解法先利用平面直角坐標系寫出了題目中所求最值的代數形式，與解法2不同的是，此解法將代數轉化為了幾何，利用代數表達式的幾何意義，將問題簡化，從而找到答案.

結語

以上三種方法從不同的角度解決了這道典型例題，總的來說，對于“將軍飲馬”模型的問題，最重要的數學思想就是數形結合，兩者相互補充，就能夠使問題的解決既簡單，直觀化，又能夠避免復雜的計算.同時還要充分利用全等和相似三角形這一重要的幾何工具，來得到所需條件.