例談高中數(shù)學(xué)解題策略

楊敏

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題作為最重要的一環(huán)，一直是我們關(guān)注的熱點(diǎn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和思考方法也是我們關(guān)注的重要方向。數(shù)學(xué)的解題技巧和日常數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)密切聯(lián)系，因此，如何在教學(xué)中了解學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)積累、教師如何設(shè)置教學(xué)情境和教學(xué)內(nèi)容，對(duì)保證學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題的興趣提高有著重要的意義。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題例談；經(jīng)驗(yàn)交流

高中數(shù)學(xué)不同于語文、英語、歷史這類文科課程，背誦記憶這種學(xué)習(xí)方法是不適用數(shù)學(xué)學(xué)科的，它更注重變通，需要靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的同時(shí)還要掌握一定的解題方法和技巧。學(xué)生在掌握了數(shù)學(xué)解題技巧后，不但解題速度可以得到有效提升，還有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思維獨(dú)立思考，解決問題。

一、重視審題訓(xùn)練

想要有效提高解題的效率并保證解題的正確性，最為關(guān)鍵的就是審題。要求學(xué)生應(yīng)該在準(zhǔn)備解題之前，首先對(duì)題型進(jìn)行認(rèn)真分析，能夠找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)與重要的條件，并且找到與問題有關(guān)的信息，將其進(jìn)行收集，之后進(jìn)行正確地分析研究，最終找到問題的突破口。

例如我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)基偶性的判斷之后，對(duì)有關(guān)題目進(jìn)行解析時(shí)，如函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]，判斷此函數(shù)的奇偶性。往往許多的同學(xué)在面對(duì)這類問題時(shí)，都沒有進(jìn)行仔細(xì)地審題，因此就注意不到x的取值范圍，只機(jī)械套用函數(shù)的奇偶性，最終將公式進(jìn)行化簡(jiǎn)后得到y(tǒng)=x3，最后直接定義此函數(shù)為奇函數(shù)；但是如果學(xué)生在解題前能夠仔細(xì)解題，最后在判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)就會(huì)參考x的取值范圍來進(jìn)行解題，首先要判斷此函數(shù)的圖像是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱，如果不對(duì)稱則說明此類函數(shù)不具有奇偶性，所以正確的解題過程應(yīng)該為：因?yàn)?滿足定義域，但是-2不在定義域的范圍內(nèi)，所以可以判斷此函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱，最后判斷此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。

在針對(duì)這種類型題的解題時(shí)，一定要注意首先要仔細(xì)進(jìn)行審題，在進(jìn)行審題的過程中不僅能給解題帶來一定的思路，更能挖掘出問題的關(guān)鍵與隱含的重要條件。所以對(duì)學(xué)生進(jìn)行審題訓(xùn)練顯得至關(guān)重要，只有這樣才能夠有效提高學(xué)生的解題能力。

二、具體策略

策略1：回到“定義”去。

掌握定義的本質(zhì)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，熟悉定義的數(shù)學(xué)模型、方程形式等，則能在解題時(shí)獲得解題思路。

例1.已知一動(dòng)圓外切于已知圓C：x2+y2-2ax=0 （a>0），且與y軸相切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程。

解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y）。

（1）若圓M在y軸的右側(cè)，且與y軸相切于A，與圓C外切與B，則有|MA|=|MB|。因?yàn)閨MA|=|MB|=|MC|-|BC|=|MC|-a，所以|MA|+a=|MC|。點(diǎn)M到直線x=-a和定點(diǎn)C的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，則圓心M的軌跡方程為y2=4ax。

（2）若圓M在y軸的左側(cè)，且與y軸相切、與圓C外切，則圓心M的軌跡方程為y=0 （x<0）。

綜上所述，動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為y2=4ax和y=0（x<0）。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)中的定義是反映數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的思維形式，是構(gòu)成判斷、推理的基礎(chǔ)。學(xué)好數(shù)學(xué)，一定要把數(shù)學(xué)定義理解得生動(dòng)、形象、具體，要從數(shù)、形、式等各方面深入淺出地理解，才能使用起來得心應(yīng)手。

策略2：化抽象為具體。

數(shù)學(xué)題有時(shí)很抽象，總讓我們感到無法入手。這時(shí)，我們要將抽象的問題化為具體的表達(dá)式，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，使問題得到合理解決。

例2.已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，將函數(shù)f（x）的圖像向右平移1個(gè)單位，得到一個(gè)奇函數(shù)。若f（2）=-1，求f（1）+f（2）+…+f（2013）的值。

解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=cosωx （ω>0），由f（2）=-1，取ω= 。

所以f（x）=cos x，最小正周期為4，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，f（1）+f（2）+…+f（2013）=cos[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）=cos =0。

點(diǎn)評(píng)：將一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)問題，通過構(gòu)造一個(gè)具體的數(shù)學(xué)模型，使問題得到簡(jiǎn)化，從而得到了有效解決。

策略3：數(shù)、形轉(zhuǎn)換。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)不同側(cè)面，形具有直觀、形象、感性的特點(diǎn)，但不夠準(zhǔn)確、嚴(yán)密；數(shù)具有理性、抽象的特點(diǎn)，數(shù)量關(guān)系具有準(zhǔn)確、嚴(yán)密的特點(diǎn)。但兩者不能偏廢，數(shù)形結(jié)合是我們解題的有力工具，要真正做到由“數(shù)”想“形”、見“形”思“數(shù)”。

例3.求函數(shù)y= 在[0，π]上的最值。

解：將比值 看作兩個(gè)點(diǎn)A（2，1）、B（cosx，sinx）連線的斜率，點(diǎn)B是單位圓x2+y2=a的上半圓的一動(dòng)點(diǎn)，如圖，斜率的最小值為 =0，最大值為 =1，所以函數(shù)y=的最大值為1，最小值為0。

點(diǎn)評(píng)：由分式型聯(lián)想到直線的斜率、由根式聯(lián)想到兩點(diǎn)之間的距離等，體現(xiàn)了由“數(shù)”想“形”的思想。

三、解題后的反思

大部分的人在做題的時(shí)候，往往只關(guān)心答案。大部分老師的講解或例題講解，往往也是主要講計(jì)算過程或答案。但是對(duì)整個(gè)解題思考過程，往往講解的并不夠清楚細(xì)致。只是讓我們知道了計(jì)算過程，卻不知道思考的過程——而這才是解題最重要的方面。這就和我們梳理知識(shí)體系一樣，如果只看到表面的知識(shí)本身，而沒有把握知識(shí)內(nèi)在的聯(lián)系，就不能夠真正的做到徹底理解，也就不可能取得長(zhǎng)足的進(jìn)步。？解題后的反思是指解題后對(duì)審題過程和解題方法及解題所用知識(shí)的回顧與思考，是提高解題能力的一個(gè)重要途徑，只有這樣，才能有效地深化對(duì)知識(shí)的理解，提高思維能力。假如解數(shù)學(xué)題解一道扔一道，這樣將無助于解題能力的提高。

解題后的反思必須做到以下兩點(diǎn)：（1）總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與方法。解題后，可以從解題方法、解題規(guī)律、解題策略等方面進(jìn)行總結(jié)，從而為以后解題積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)解題能力；（2）善于推廣引申。解完一題后，要善于將原來題目的題設(shè)、結(jié)論改變一下，或者互換一下，把特殊條件一般化，把一般條件特殊化，嘗試舉一反三，觸類旁通，從而提高解題的能力。

解題策略的構(gòu)建是一個(gè)極為復(fù)雜的課題，以上只是本人一些粗淺的想法。在課堂教學(xué)中教師不僅要講清楚如何解決一個(gè)問題，更重要的是要講透為什么這樣解。引導(dǎo)學(xué)生從常規(guī)常法、由特殊到一般法、從模型化的思想方法等幾個(gè)方面尋找“解題策略”這一過程性思維必不可少。當(dāng)然學(xué)生多練、多思、多歸納總結(jié)是培養(yǎng)學(xué)尋求“解題策略”的不二法門。

參考文獻(xiàn)

[1] 張泉.世紀(jì)金榜：高中全程復(fù)習(xí)方略.福建教育出版社，2014-03.