例談高中數(shù)學(xué)解題策略

楊敏

摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題作為最重要的一環(huán)，一直是我們關(guān)注的熱點(diǎn)，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和思考方法也是我們關(guān)注的重要方向。數(shù)學(xué)的解題技巧和日常數(shù)學(xué)教學(xué)活動密切聯(lián)系，因此，如何在教學(xué)中了解學(xué)生的解題經(jīng)驗積累、教師如何設(shè)置教學(xué)情境和教學(xué)內(nèi)容，對保證學(xué)生對數(shù)學(xué)解題的興趣提高有著重要的意義。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解題例談；經(jīng)驗交流

高中數(shù)學(xué)不同于語文、英語、歷史這類文科課程，背誦記憶這種學(xué)習(xí)方法是不適用數(shù)學(xué)學(xué)科的，它更注重變通，需要靈活運(yùn)用所學(xué)知識的同時還要掌握一定的解題方法和技巧。學(xué)生在掌握了數(shù)學(xué)解題技巧后，不但解題速度可以得到有效提升，還有助于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、思維獨(dú)立思考，解決問題。

一、重視審題訓(xùn)練

想要有效提高解題的效率并保證解題的正確性，最為關(guān)鍵的就是審題。要求學(xué)生應(yīng)該在準(zhǔn)備解題之前，首先對題型進(jìn)行認(rèn)真分析，能夠找到問題的關(guān)鍵點(diǎn)與重要的條件，并且找到與問題有關(guān)的信息，將其進(jìn)行收集，之后進(jìn)行正確地分析研究，最終找到問題的突破口。

例如我們在學(xué)習(xí)函數(shù)基偶性的判斷之后，對有關(guān)題目進(jìn)行解析時，如函數(shù)y=x3，x∈[-1，3]，判斷此函數(shù)的奇偶性。往往許多的同學(xué)在面對這類問題時，都沒有進(jìn)行仔細(xì)地審題，因此就注意不到x的取值范圍，只機(jī)械套用函數(shù)的奇偶性，最終將公式進(jìn)行化簡后得到y(tǒng)=x3，最后直接定義此函數(shù)為奇函數(shù)；但是如果學(xué)生在解題前能夠仔細(xì)解題，最后在判斷函數(shù)的奇偶性時就會參考x的取值范圍來進(jìn)行解題，首先要判斷此函數(shù)的圖像是否關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對稱，如果不對稱則說明此類函數(shù)不具有奇偶性，所以正確的解題過程應(yīng)該為：因為2滿足定義域，但是-2不在定義域的范圍內(nèi)，所以可以判斷此函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對稱，最后判斷此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。

在針對這種類型題的解題時，一定要注意首先要仔細(xì)進(jìn)行審題，在進(jìn)行審題的過程中不僅能給解題帶來一定的思路，更能挖掘出問題的關(guān)鍵與隱含的重要條件。所以對學(xué)生進(jìn)行審題訓(xùn)練顯得至關(guān)重要，只有這樣才能夠有效提高學(xué)生的解題能力。

二、具體策略

策略1：回到“定義”去。

掌握定義的本質(zhì)是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，熟悉定義的數(shù)學(xué)模型、方程形式等，則能在解題時獲得解題思路。

例1.已知一動圓外切于已知圓C：x2+y2-2ax=0 （a>0），且與y軸相切，求動圓圓心M的軌跡方程。

解：如圖，設(shè)動圓圓心為M（x，y）。

（1）若圓M在y軸的右側(cè)，且與y軸相切于A，與圓C外切與B，則有|MA|=|MB|。因為|MA|=|MB|=|MC|-|BC|=|MC|-a，所以|MA|+a=|MC|。點(diǎn)M到直線x=-a和定點(diǎn)C的距離相等，根據(jù)拋物線的定義，則圓心M的軌跡方程為y2=4ax。

（2）若圓M在y軸的左側(cè)，且與y軸相切、與圓C外切，則圓心M的軌跡方程為y=0 （x<0）。

綜上所述，動圓圓心M的軌跡方程為y2=4ax和y=0（x<0）。

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)中的定義是反映數(shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性的思維形式，是構(gòu)成判斷、推理的基礎(chǔ)。學(xué)好數(shù)學(xué)，一定要把數(shù)學(xué)定義理解得生動、形象、具體，要從數(shù)、形、式等各方面深入淺出地理解，才能使用起來得心應(yīng)手。

策略2：化抽象為具體。

數(shù)學(xué)題有時很抽象，總讓我們感到無法入手。這時，我們要將抽象的問題化為具體的表達(dá)式，建立一個數(shù)學(xué)模型，使問題得到合理解決。

例2.已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，將函數(shù)f（x）的圖像向右平移1個單位，得到一個奇函數(shù)。若f（2）=-1，求f（1）+f（2）+…+f（2013）的值。

解：構(gòu)造函數(shù)f（x）=cosωx （ω>0），由f（2）=-1，取ω= 。

所以f（x）=cos x，最小正周期為4，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，f（1）+f（2）+…+f（2013）=cos[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）=cos =0。

點(diǎn)評：將一個抽象的數(shù)學(xué)問題，通過構(gòu)造一個具體的數(shù)學(xué)模型，使問題得到簡化，從而得到了有效解決。

策略3：數(shù)、形轉(zhuǎn)換。

數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩個不同側(cè)面，形具有直觀、形象、感性的特點(diǎn)，但不夠準(zhǔn)確、嚴(yán)密；數(shù)具有理性、抽象的特點(diǎn)，數(shù)量關(guān)系具有準(zhǔn)確、嚴(yán)密的特點(diǎn)。但兩者不能偏廢，數(shù)形結(jié)合是我們解題的有力工具，要真正做到由“數(shù)”想“形”、見“形”思“數(shù)”。

例3.求函數(shù)y= 在[0，π]上的最值。

解：將比值 看作兩個點(diǎn)A（2，1）、B（cosx，sinx）連線的斜率，點(diǎn)B是單位圓x2+y2=a的上半圓的一動點(diǎn)，如圖，斜率的最小值為 =0，最大值為 =1，所以函數(shù)y=的最大值為1，最小值為0。

點(diǎn)評：由分式型聯(lián)想到直線的斜率、由根式聯(lián)想到兩點(diǎn)之間的距離等，體現(xiàn)了由“數(shù)”想“形”的思想。

三、解題后的反思

大部分的人在做題的時候，往往只關(guān)心答案。大部分老師的講解或例題講解，往往也是主要講計算過程或答案。但是對整個解題思考過程，往往講解的并不夠清楚細(xì)致。只是讓我們知道了計算過程，卻不知道思考的過程——而這才是解題最重要的方面。這就和我們梳理知識體系一樣，如果只看到表面的知識本身，而沒有把握知識內(nèi)在的聯(lián)系，就不能夠真正的做到徹底理解，也就不可能取得長足的進(jìn)步。？解題后的反思是指解題后對審題過程和解題方法及解題所用知識的回顧與思考，是提高解題能力的一個重要途徑，只有這樣，才能有效地深化對知識的理解，提高思維能力。假如解數(shù)學(xué)題解一道扔一道，這樣將無助于解題能力的提高。

解題后的反思必須做到以下兩點(diǎn)：（1）總結(jié)經(jīng)驗與方法。解題后，可以從解題方法、解題規(guī)律、解題策略等方面進(jìn)行總結(jié)，從而為以后解題積累經(jīng)驗，培養(yǎng)解題能力；（2）善于推廣引申。解完一題后，要善于將原來題目的題設(shè)、結(jié)論改變一下，或者互換一下，把特殊條件一般化，把一般條件特殊化，嘗試舉一反三，觸類旁通，從而提高解題的能力。

解題策略的構(gòu)建是一個極為復(fù)雜的課題，以上只是本人一些粗淺的想法。在課堂教學(xué)中教師不僅要講清楚如何解決一個問題，更重要的是要講透為什么這樣解。引導(dǎo)學(xué)生從常規(guī)常法、由特殊到一般法、從模型化的思想方法等幾個方面尋找“解題策略”這一過程性思維必不可少。當(dāng)然學(xué)生多練、多思、多歸納總結(jié)是培養(yǎng)學(xué)尋求“解題策略”的不二法門。

參考文獻(xiàn)

[1] 張泉.世紀(jì)金榜：高中全程復(fù)習(xí)方略.福建教育出版社，2014-03.