高中數學教科書中探究內容的應用策略

摘 要高中數學教科書中編制了眾多探究內容來促進數學探究教學的開展，教師在教學中可本著以下六條原則創造性地應用探究內容，包括：依據探究主線來取舍教科書中探究內容；依據探究的“流暢性”來增加探究內容；依據“任務的明確性”來改編探索內容；依據“教學的現實性”來創生探究內容；從數學本質出發來引導學生探究；從數學的研究方法出發引導學生探究。這樣可以使探究內容的教學成為學生創造數學知識、掌握研究方法、領會數學本質的過程。

關鍵詞高中數學 教科書 探究內容 使用 策略

《普通高中數學課程標準（實驗稿）》明確指出“高中數學課程設立‘數學探究‘數學建模等學習活動，為學生形成積極主動的、多樣的學習方式進一步創造有利的條件”。依據課程標準編寫的人教A版高中數學教科書，在教科書章節正文及附錄部分編寫了眾多探究內容（正文中的觀察、思考、探究與附錄中的閱讀與思考、探究與發現、信息技術應用、實習作業等欄目），面對教科書中的這一新生事物，教師的教學既要能體現探究內容編寫的教學意圖，又必須符合數學教學的規律與現實需求，這給教師教學帶來了巨大的挑戰。本文在深入分析教科書中探究內容的基礎上，基于數學探究教學的本質及規律，提出教科書中探究內容的應用策略。

一、依據探究主線來取舍探究內容

所謂探究主線指的是統領并推進課堂探究活動的線索。探究主線往往與數學探究過程相一致。高中數學課程標準中指出的數學探究過程包括“觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探求適當的數學結論或規律，給出解釋或證明”[1]，往往要經歷“提出問題、尋找證據、得到猜想、進行論證”的四個緊密相扣且邏輯遞進的環節[2]。因此數學教學過程中探究內容的選取必須緊緊圍繞該數學對象的特征，并且符合探究四環節的遞進關系，而不應有并列的枝節以影響學生的思維聚焦。如必修1“指數函數及其性質”正文中設計了三個探究內容，共有兩個探究主題：指數函數概念的建構和指數函數性質的探尋。前者是探究內容一的意圖，而后者則是探究內容二、三的指向，其中探究內容二事實上為采取紙筆作圖方式獲得探究內容三所需的研究對象提供了方法支持。然而教科書在本節附錄的信息技術應用欄目“借助信息技術探究指數函數的性質”中，給出了獲得探究內容三所需要的研究對象的另外一種辦法——借助信息技術輔助作圖，如果教師教學選用該信息技術應用探究內容，則探究內容二中的問題二就多余了。可見，教科書在探究內容的設計上會有并行的探究線索，教師教學中可以根據探究主線與方法對探究內容進行一定的取舍，使得課堂的探究能夠集中于突破教學的重難點。

二、依據探究的“流暢性”來增加探究內容

所謂探究“流暢性”強調的是學生要能依據已有的經驗自主得出探究內容的探究思路。如前所述，探究內容之間必須有遞進的邏輯關系，這一方面意味著探究內容之間不能是簡單的重復，另一方面也揭示著探究內容之間有著一定的邏輯上的跨度。但是鑒于已有學習經驗導致的我國高中學生數學探究意識淡薄、數學探究技能薄弱和數學探究方法缺失，如果探究內容邏輯上的跨度太大，那么將會導致學生對探究無從下手。為此，教師在教學中應根據學生情況，對數學邏輯跨度較大或學生把握困難的探究內容，通過增加探究任務來縮小探究邏輯上的跨度，讓學生能夠窺見探究的邏輯與思路。如必修1“函數的奇偶性”課題中第33頁的觀察欄目，作為本課題中的第一個探究內容，其僅給出兩個函數圖像讓學生觀察后回答問題“這兩個函數圖像之間有什么共同特征？”隨后給出函數值對應表的任務，要求學生通過列表數據的觀察獲得解析式規律。教科書設計了利用函數三種語言靈活轉換來建構概念的探究線索，然而，這一線索的獲得對于剛學過函數概念的學生而言，并不那么顯而易見。教科書中填表任務的提出顯得有些突兀，雖然教學中教師可以通過口頭提醒數形結合或者函數三種表示方法的轉化來啟發學生提出解決問題的方案，但都會顯得不夠自然。教學中教師不妨在觀察欄目之前增加一個探究內容，請同學們畫出函數的圖像，按照已有的經驗，學生知道畫圖像需要列表、描點、連線這樣三個步驟，這樣該觀察欄目填表任務地提出就顯得順其自然了。事實上，通過添加該任務，教師以比較隱秘的方式提醒學生可利用數形結合思想將函數三種表示方法進行聯系和轉化，這比用口頭語言告訴學生的高明之處在于可以讓學生主動自發地聯系已有的認知經驗，自己獲得探究思路。

三、依據“任務的明確性”來改編探究內容

所謂“任務的明確性”即探究內容教學中必須讓學生明確自己應該在探究中做什么和如何做。有些教師、學者反映探究教學只是課堂上熱鬧，其實學生是在討論與教學無關的內容，從而對探究式教學法提出了批判。研究發現，由于教師設計的任務或教學指導語對學生來說不明確，學生不知道自己該做什么、該怎么做，才可能會在課堂上討論與教學無關的話題。如必修2“傾斜角與斜率”課題中第83頁的思考欄目：“日常生活中，還有沒有表示傾斜程度的量？”其意在使得斜率的提出顯得有一定的依據，然而這個欄目如果直接在課堂上呈現給學生來探究的話，學生往往很難自己想到“坡度”這個概念，即這個內容的探究對學生來說并不明確。不妨轉換成問：“日常生活中，我們遇到過哪些與傾斜程度相關的事情？”學生能回想到：“爬坡、爬樓梯的時候，與傾斜程度相關，坡或者樓梯越陡即傾斜程度越大越費力。”教師可以接著問：“那么我們用什么量來刻畫這個坡面或樓梯的傾斜程度呢？”再引導學生體會傾斜角由于工具的缺乏是不好測量的，而距離好測量，從而引入坡度的概念。相較于教材上的思考欄目，這樣做可能會有更好的效果，一方面使得學生能明確知道自己在探究中該做什么——即回想生活中與傾斜程度相關的事情，另一方面能讓探究與學生的生活真正聯系起來，事實上，這也更能讓學生體會解決數學問題與解決生活中問題的一致性（因在實際生活中測角度沒有方便的工具，而測距離則輕而易舉），從而滲透化歸的數學思想方法。

四、依據“教學的現實性”來創生探究內容

雖然我們必須承認教科書中的探究內容有著特定的教學意圖，但不意味著探究內容的教學應按照教科書的預設來進行。所謂教學的現實性，其出發點為“教學是生成的，而不是預設的”，故探究內容應符合教學的現實需求。依據教學的現實性來創生探究內容，強調的是依據教學實踐中的需求來對探究內容進行創生。如必修3第96頁的實習作業，安排了一次調查研究，給出了兩個供學生參考的問題：一在校中學生每周使用計算機時間的調查研究；二中學生物理成績與數學成績之間的相關關系。這是編寫者的預設來由學生進行自主探究的問題，然而學生也許對這兩個問題并不感興趣，反而可能會關心如穿越劇對中學生影響的問卷調查、學生家庭購物方式調查等等這類問題的探究。教學中不妨從問題的提出開始就完全由學生來完成，包括之后問卷的設計、樣本的抽取方案、問卷的發放回收統計、調查結果的分析與匯報，以真實實現小組互動，使得探究活動能符應教學的現實需求，同時也提升探究的開放水平。

五、從數學本質出發來引導學生探究

恩格斯指出：“數學是研究現實世界中空間結構和數量關系的科學。”這個界定表明數學來源于人們的生產生活實踐，脫離不開對現實世界中現象的研究和描述。事實上，數學描述的是現實世界中紛繁現象背后不變的規律，故“數學是研究變化中的不變關系或不變量的科學”這一表述也很好地揭示了數學的本質。這兩種認識背后則體現出數學形成過程中需要人的工作，從某種程度上說，數學是一種人工制品，具有著屬人的特性。探究作為一種數學研究活動的模擬，必須深刻體現并揭示數學的上述本質。以必修2“線面平行判定定理”中書本翻頁模型的教學引導為例，解釋如何從數學的本質出發來引導學生探究。在引入這個探究內容之前，教師可以對數學研究的本質進行一定的敘述；之后結合敘述請同學們觀察書本翻頁運動過程，尋找其中的變與不變，為此可提出兩個問題：問題一，運動過程中什么對象在變，什么對象沒有變？問題二，運動過程中有哪些不變的關系？對于問題一的解答，可啟發學生思考立體幾何的要素（線、面），對于問題二的解答，則可啟發學生回顧立體幾何中的關系（線線關系、線面關系）。這樣，探究結論即線面平行判定定理猜想的得出可以是學生依據一定的數學研究方法，基于觀察與抽象現實世界中的現象來獲得，同時也揭示了數學研究對象的現實性以及變化中的不變性的特征。

六、從數學的研究方法出發引導學生探究

數學探究雖然比一般探究有著更高的靈活性，但是并不意味著探究不可操作。創造性的數學研究活動可在一定原則指導下進行，學生的數學探究活動則更多依賴于數學探究的技能和數學研究的方法。高中數學必修系列和選修1、2系列雖有部分微積分、概率統計、算法的內容，但主要處于初等數學階段，故而數學研究的方法包括一般方法和特殊方法。一般方法指的是一般科學研究中需要使用的方法，包括觀察與實驗、分析與綜合、比較與分類、抽象與概括、一般化和特殊化等[4～7]。特殊方法則指的是數學中特有的方法，如數形結合、化歸、模型化、公理化等[8～9]。如必修2“線面垂直的判定”中，折三角形紙片實驗的目的就是要通過“實驗”“抽象”出線面垂直判定定理。“抽象”指從事物中區分出個別的非本質屬性特質和共同的本質屬性特質，并舍棄個別的非本質的屬性特質而抽取出共同的本質屬性的過程和方法，需要經歷分離——抽取——簡略三個階段。要完成該探究內容：首先要將該模型從整個教室環境中分離出來，成為研究的對象；然后需要忽略紙張可能有厚度、桌子可能不平從而三角形底邊沒有能完全與桌面貼合等等干擾因素，將這個空間模型放入理想狀態下來進行考察，此時桌面可抽象為平面？琢，折過的兩段底邊抽象為平面內相交的兩條直線a，b，折痕則抽象為平面？琢外的一條直線l，且l⊥a，l⊥b，平面？琢內兩條直線a與b有一個交點，且有l⊥？琢的感覺；最后需要對上述條件進行一定的組織與表述，讓“l為平面？琢外一條直線，a與b為平面？琢內兩條相交直線，”l⊥a，l⊥b成為條件，“l⊥？琢”成為結論，從而獲得線面垂直判定定理的猜想。教師在面對這些探究內容時，應依據數學研究的方法來引導學生，讓學生經歷抽象的三個階段，使學生探究真正觸及數學研究的本質。

教師在選取和改編教科書中的探究內容時，要根據教學的實際需求，使得所選擇的探究內容既具有數學探究的味道，有一定探究的價值，也是學生能夠自主進行的。而改編探究內容的時候應以學生能自主發現探究思路為原則來進行，讓學生的探究能夠觸及數學的本質、能真正實現探究內容編制的意圖，并防止學者們指出的數學探究教學中的“滑過現象”“異化現象”“走秀”等等教學的不良傾向[10～12]。

參考文獻

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[12] 范文貴，姚艷偉.數學探究教學中存在的問題與改進策略研究[J].天津師范大學學報：基礎教育版，2008（4）.

【責任編輯 郭振玲】