架起抽象、具象之間的橋梁

邵志剛

摘 要：小學生以具象思維為主，要讓小學生理解抽象復雜的數量關系，需要在學生心中搭建抽象與具象之間勾連的橋梁，也就是幾何直觀。借助幾何直觀，為形成概念提供生動表征；借助幾何直觀，為理清算理提供具象素材；借助幾何直觀，為解決問題啟迪拓展思路。

關鍵詞：幾何直觀；概念表象；具象素材；啟迪思路

幾何直觀是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心概念之一。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。在整個數學學習過程中，幾何直觀作用顯著。數學知識比較抽象，而小學生以具象思維為主，要讓小學生理解抽象復雜的數量關系，需要在學生心中搭建抽象與具象之間勾連的橋梁，就是幾何直觀。幾何直觀既有形象思維的特性，又有理性思維的特征。在小學數學教學中，要使抽象的數學知識更容易理解，增強課堂教學實效，使學生充分理解數學本質，獲得“良好的數學教育”，就要善用、巧用幾何直觀，把一個比較復雜、比較抽象的對象，用直觀的辦法，用圖形的辦法，把它描述刻畫出來。

一、借助幾何直觀，為形成概念提供生動表征

概念具有較強的抽象性，不容易喚醒學生的視覺映象。在引入概念和概念學習過程中，根據小學生的年齡特征和已有知識經驗，安排畫圖、操作、觀察等活動，促進學生對概念的主動認知，以直觀的圖形和相關的表象，支撐學生對抽象概念的理解。引導學生將抽象的符號、言語轉化成表象表征，數形結合，形成科學合理的概念系統。

【案例】 認識一位小數

師：0.1表示什么？

生：0.1表示10份中的1份。

生：0.1表示。

師（出示一張正方形紙）：如果這張紙的大小用數“1”來表示，那么如何表示0.1的大小？你估計是多大？誰來比畫一下？

（學生比畫）

師：0.1到底有多大呢？這樣吧，請你在紙上分一分、涂一涂。

（學生活動）

（展示交流）

師（出示第一幅作品，如圖1）：0.1表示的是這么大小的一塊嗎？

生：他表示得不對，畫成了。

（出示第二幅作品，如圖2。）

生：不對，畫成了，0.1應該表示。

（該生出示自己的作品，如圖3。）

師：你認為他表示得對不對？你們是怎么看的？

生：這樣表示0.1的大小是對的，把這張紙平均分成10份，1份就是0.1。

師（多媒體演示把一張紙平均分成10份，涂出1份的過程）：誰再說說0.1表示的意義？

生：0.1表示把一張正方形紙平均分成10份，涂其中的1份。

師：只能把正方形紙平均分嗎？

生：還可以把一張長方形紙平均分成10份，涂其中1份。

生：還可以把一樣東西平均分成10份，取其中1份。

生：把1平均分成10份，取其中1份。

教學片斷中，教師在學生初步認識一位小數含義的基礎上，讓學生在表示整數“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，讓學生將小數的意義通過直觀的圖形表現出來，引導學生將數譯成形，再用語言描述所畫圖形的含義，使學生頭腦中關于0.1的表象得以視覺化，培養學生借助圖形描述數學概念的能力，增強學生的數感，有助于積累應用幾何直觀描述數學概念的能力。學生收獲的不僅是一位小數的本質含義，更是對一位小數的直觀性認識、整體性把握。

二、借助幾何直觀，為理清算理提供具象素材

幾何直觀能在“圖形與幾何”方面發揮作用，在計算教學中，也能通過畫一畫、分一分、擺一擺等形式來直觀表征思維過程，幫助學生更好地理解有關算理，優化計算教學。借助“幾何直觀”形象地描述和分析計算的本質（即算理），將枯燥、機械的計算活動變成生動活潑的數學思維活動，變機械化的反復練習為自主探索本質算理的思維活動，使我們的課堂充滿活力。

【案例】分數乘分數

例題：王大伯家有一塊公頃的地，這塊地的種大棚蔬菜，種大棚蔬菜的面積有多少公頃？

師：想一想怎樣列式？

生：×。

師：為什么這樣列式？你是怎樣想的？

生：大棚蔬菜的面積有多大，就是求公頃的是多少。

生：就是把公頃平均分成5份，求2份是多少公頃。

師：那么，根據你們剛才的理解，×應該怎樣計算呢？結果是多少呢？

生：可以用圖來畫一畫，分一分。

師：這是個好主意。大家試一試，看看能不能得出結果。

學生畫圖，展示（如圖4）。

師：觀察算式和結果，想一想：分數乘分數可以怎樣計算呢？

生：2×2=4，3×5=15。

生：用分子相乘的結果作積的分子，分母相乘的結果作積的分母。

分數乘分數的算理，通過理性講解、推理，學生理解起來有很大的難度。如果借助圖形表征，讓學生畫一畫、分一分、涂一涂，學生很容易得到令人信服的結果，并由此發現分數乘分數的計算方法。再如《20以內進位加法》，通過學生用小棒、圓片等實物操作來直觀感知“湊十”的過程和方法，進而理解進位加法的算理；《分數的簡單計算》可以用圖形直觀來表征、理解算理……

三、借助幾何直觀，為解決問題啟迪拓展思路

《義務教育數學課程標準（2011年版）》明確指出：“借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。”小學生學習數學，解題的靈感很多時候來自于幾何直觀，學生具有把抽象的數學問題轉化為可借用的幾何直觀問題的能力，才有可能展開想象和創造性的數學探求活動。正確理解了幾何直觀的本質意義，把握了幾何直觀的實質，學生在問題解決時就能靈活運用，從而幫助學生更好地分析問題、思考問題、解決問題、創生問題，激發他們的想象力與創造力，提升問題解決的水平，發展數學理性精神。

【案例】蘇教版五年級下冊《解決問題的策略》例2：計算+++

師：這道題的加數有規律嗎？什么規律？你會計算嗎？

生：通分后再計算。

師：可以，把異分母分數轉化成同分母分數再相加。如果繼續這樣寫下去，加到第20個、第30個數呢？還用通分的方法會怎樣呢？

生：會特別麻煩。

師：對呀！有沒有其他更好的轉化方法呢？

師（出示圖5）：觀察圖形，把正方形看作“1”，你有沒有什么啟發？

生：這個算式的結果就是涂色部分的面積。

生：涂色部分的面積可以用1減去空白部分的面積。

生：+++=1-=。

本教學片段中，由于有了直觀圖形的啟發以及通過數形結合表達出的圖意，學生更容易理解：圖中的正方形表示數1，+++的和就是正方形里涂色部分的大小，算式轉化正是根據“涂色部分的大小等于1減去空白部分的差”進行的。如果沒有圖形直觀，學生很難體會這道題還可以這樣轉化。可見，幾何直觀在提示解題思路、激發學生創新意識等方面，作用巨大。

抽象的數學，借助幾何直觀，可以簡潔形象地表達出來，在抽象與具象之間架構起勾連的橋梁。在數學教學中，借助合適的圖形、直觀的模型，更有利于揭示數學對象的本質和聯系，使學生的思維活動容易轉向更高級、更抽象的境界。對學生幾何直觀能力的培養是一個過程，需要教師在教學中長期關注，有意識地滲透。