架起抽象、具象之間的橋梁

邵志剛

摘 要：小學(xué)生以具象思維為主，要讓小學(xué)生理解抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，需要在學(xué)生心中搭建抽象與具象之間勾連的橋梁，也就是幾何直觀。借助幾何直觀，為形成概念提供生動(dòng)表征；借助幾何直觀，為理清算理提供具象素材；借助幾何直觀，為解決問(wèn)題啟迪拓展思路。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；概念表象；具象素材；啟迪思路

幾何直觀是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的核心概念之一。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，幾何直觀作用顯著。數(shù)學(xué)知識(shí)比較抽象，而小學(xué)生以具象思維為主，要讓小學(xué)生理解抽象復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，需要在學(xué)生心中搭建抽象與具象之間勾連的橋梁，就是幾何直觀。幾何直觀既有形象思維的特性，又有理性思維的特征。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，要使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更容易理解，增強(qiáng)課堂教學(xué)實(shí)效，使學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，獲得“良好的數(shù)學(xué)教育”，就要善用、巧用幾何直觀，把一個(gè)比較復(fù)雜、比較抽象的對(duì)象，用直觀的辦法，用圖形的辦法，把它描述刻畫出來(lái)。

一、借助幾何直觀，為形成概念提供生動(dòng)表征

概念具有較強(qiáng)的抽象性，不容易喚醒學(xué)生的視覺(jué)映象。在引入概念和概念學(xué)習(xí)過(guò)程中，根據(jù)小學(xué)生的年齡特征和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，安排畫圖、操作、觀察等活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的主動(dòng)認(rèn)知，以直觀的圖形和相關(guān)的表象，支撐學(xué)生對(duì)抽象概念的理解。引導(dǎo)學(xué)生將抽象的符號(hào)、言語(yǔ)轉(zhuǎn)化成表象表征，數(shù)形結(jié)合，形成科學(xué)合理的概念系統(tǒng)。

【案例】 認(rèn)識(shí)一位小數(shù)

師：0.1表示什么？

生：0.1表示10份中的1份。

生：0.1表示。

師（出示一張正方形紙）：如果這張紙的大小用數(shù)“1”來(lái)表示，那么如何表示0.1的大小？你估計(jì)是多大？誰(shuí)來(lái)比畫一下？

（學(xué)生比畫）

師：0.1到底有多大呢？這樣吧，請(qǐng)你在紙上分一分、涂一涂。

（學(xué)生活動(dòng)）

（展示交流）

師（出示第一幅作品，如圖1）：0.1表示的是這么大小的一塊嗎？

生：他表示得不對(duì)，畫成了。

（出示第二幅作品，如圖2。）

生：不對(duì)，畫成了，0.1應(yīng)該表示。

（該生出示自己的作品，如圖3。）

師：你認(rèn)為他表示得對(duì)不對(duì)？你們是怎么看的？

生：這樣表示0.1的大小是對(duì)的，把這張紙平均分成10份，1份就是0.1。

師（多媒體演示把一張紙平均分成10份，涂出1份的過(guò)程）：誰(shuí)再說(shuō)說(shuō)0.1表示的意義？

生：0.1表示把一張正方形紙平均分成10份，涂其中的1份。

師：只能把正方形紙平均分嗎？

生：還可以把一張長(zhǎng)方形紙平均分成10份，涂其中1份。

生：還可以把一樣?xùn)|西平均分成10份，取其中1份。

生：把1平均分成10份，取其中1份。

教學(xué)片斷中，教師在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)一位小數(shù)含義的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在表示整數(shù)“1”的正方形中分一分、涂一涂，表示出0.1的大小，讓學(xué)生將小數(shù)的意義通過(guò)直觀的圖形表現(xiàn)出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)譯成形，再用語(yǔ)言描述所畫圖形的含義，使學(xué)生頭腦中關(guān)于0.1的表象得以視覺(jué)化，培養(yǎng)學(xué)生借助圖形描述數(shù)學(xué)概念的能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感，有助于積累應(yīng)用幾何直觀描述數(shù)學(xué)概念的能力。學(xué)生收獲的不僅是一位小數(shù)的本質(zhì)含義，更是對(duì)一位小數(shù)的直觀性認(rèn)識(shí)、整體性把握。

二、借助幾何直觀，為理清算理提供具象素材

幾何直觀能在“圖形與幾何”方面發(fā)揮作用，在計(jì)算教學(xué)中，也能通過(guò)畫一畫、分一分、擺一擺等形式來(lái)直觀表征思維過(guò)程，幫助學(xué)生更好地理解有關(guān)算理，優(yōu)化計(jì)算教學(xué)。借助“幾何直觀”形象地描述和分析計(jì)算的本質(zhì)（即算理），將枯燥、機(jī)械的計(jì)算活動(dòng)變成生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，變機(jī)械化的反復(fù)練習(xí)為自主探索本質(zhì)算理的思維活動(dòng)，使我們的課堂充滿活力。

【案例】分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)

例題：王大伯家有一塊公頃的地，這塊地的種大棚蔬菜，種大棚蔬菜的面積有多少公頃？

師：想一想怎樣列式？

生：×。

師：為什么這樣列式？你是怎樣想的？

生：大棚蔬菜的面積有多大，就是求公頃的是多少。

生：就是把公頃平均分成5份，求2份是多少公頃。

師：那么，根據(jù)你們剛才的理解，×應(yīng)該怎樣計(jì)算呢？結(jié)果是多少呢？

生：可以用圖來(lái)畫一畫，分一分。

師：這是個(gè)好主意。大家試一試，看看能不能得出結(jié)果。

學(xué)生畫圖，展示（如圖4）。

師：觀察算式和結(jié)果，想一想：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)可以怎樣計(jì)算呢？

生：2×2=4，3×5=15。

生：用分子相乘的結(jié)果作積的分子，分母相乘的結(jié)果作積的分母。

分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，通過(guò)理性講解、推理，學(xué)生理解起來(lái)有很大的難度。如果借助圖形表征，讓學(xué)生畫一畫、分一分、涂一涂，學(xué)生很容易得到令人信服的結(jié)果，并由此發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。再如《20以內(nèi)進(jìn)位加法》，通過(guò)學(xué)生用小棒、圓片等實(shí)物操作來(lái)直觀感知“湊十”的過(guò)程和方法，進(jìn)而理解進(jìn)位加法的算理；《分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算》可以用圖形直觀來(lái)表征、理解算理……

三、借助幾何直觀，為解決問(wèn)題啟迪拓展思路

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。”小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解題的靈感很多時(shí)候來(lái)自于幾何直觀，學(xué)生具有把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可借用的幾何直觀問(wèn)題的能力，才有可能展開(kāi)想象和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)探求活動(dòng)。正確理解了幾何直觀的本質(zhì)意義，把握了幾何直觀的實(shí)質(zhì)，學(xué)生在問(wèn)題解決時(shí)就能靈活運(yùn)用，從而幫助學(xué)生更好地分析問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題、創(chuàng)生問(wèn)題，激發(fā)他們的想象力與創(chuàng)造力，提升問(wèn)題解決的水平，發(fā)展數(shù)學(xué)理性精神。

【案例】蘇教版五年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略》例2：計(jì)算+++

師：這道題的加數(shù)有規(guī)律嗎？什么規(guī)律？你會(huì)計(jì)算嗎？

生：通分后再計(jì)算。

師：可以，把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)再相加。如果繼續(xù)這樣寫下去，加到第20個(gè)、第30個(gè)數(shù)呢？還用通分的方法會(huì)怎樣呢？

生：會(huì)特別麻煩。

師：對(duì)呀！有沒(méi)有其他更好的轉(zhuǎn)化方法呢？

師（出示圖5）：觀察圖形，把正方形看作“1”，你有沒(méi)有什么啟發(fā)？

生：這個(gè)算式的結(jié)果就是涂色部分的面積。

生：涂色部分的面積可以用1減去空白部分的面積。

生：+++=1-=。

本教學(xué)片段中，由于有了直觀圖形的啟發(fā)以及通過(guò)數(shù)形結(jié)合表達(dá)出的圖意，學(xué)生更容易理解：圖中的正方形表示數(shù)1，+++的和就是正方形里涂色部分的大小，算式轉(zhuǎn)化正是根據(jù)“涂色部分的大小等于1減去空白部分的差”進(jìn)行的。如果沒(méi)有圖形直觀，學(xué)生很難體會(huì)這道題還可以這樣轉(zhuǎn)化。可見(jiàn)，幾何直觀在提示解題思路、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)等方面，作用巨大。

抽象的數(shù)學(xué)，借助幾何直觀，可以簡(jiǎn)潔形象地表達(dá)出來(lái)，在抽象與具象之間架構(gòu)起勾連的橋梁。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助合適的圖形、直觀的模型，更有利于揭示數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和聯(lián)系，使學(xué)生的思維活動(dòng)容易轉(zhuǎn)向更高級(jí)、更抽象的境界。對(duì)學(xué)生幾何直觀能力的培養(yǎng)是一個(gè)過(guò)程，需要教師在教學(xué)中長(zhǎng)期關(guān)注，有意識(shí)地滲透。