從蒙提霍爾問題到全概率公式

張晴霞+閔超+林敏

【摘要】全概率公式是概率統計課程教學中的一個教學難點.本文采用啟發式結合總結式的教學方法，從一個有趣的生活實例——蒙提霍爾問題入手，通過教師循序漸進地設問，引導學生積極思考，從而歸納出全概率公式，再從一般到特殊，通過實際問題案例的分析及應用，達到教會學生使用全概率公式來解決實際問題的目的.

【關鍵詞】蒙提霍爾問題；全概率公式；教學設計

【基金支持】（1）2015.6.1—2016.5.31，西南石油大學教師教學研究重點資助項目，“利用現代教育技術實現《概率統計》立體化教學模式的研究和實踐”，（項目編號2015JXYJ-23）；（2）2013.02—2016.07四川省教育廳教學改革研究項目“多元化人才培養模式下的大學數學系列課程改革與實踐”（項目編號X15021301019）；（3）2015.11.1—2017.08.10，高等學校大學數學教學研究與發展中心教學改革項目，“將優秀微課作品應用于概率統計課程教學的教學模式的探索與實踐”（無項目編號）

全概率公式是概率論中的一個重要的公式，也是教學中的一個重點內容.在許多的概率統計的教材中，通常都是直接給出樣本空間的劃分（分割）的定義，然后以定理的形式給出全概率公式[1，2].但是筆者在給工科學生講授這部分內容時發現，如果按照教材上的方式來講解，學生會感到非常的枯燥，而且接受起來也存在一定的困難.尤其是面對一些貼近生活的實際問題，學生不能很好地應用該公式.從而使得部分學生逐漸喪失信心，產生畏難情緒，失去學習的興趣.因此有必要對全概率公式的教學進行比較深入細致的設計.

在教學中，對于一個新知識的講解，“引入”是十分關鍵的.著名的數學家拉普拉斯說過：“生活中最主要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率問題.”由此可見，在現實生活中隨處可見概率問題.因此，在概率統計課程的教學中，可以通過分析現實生活中的一些有趣的案例導入新課.一方面，可以激發學生的好奇心和求知欲，另一方面也有助于學生理解抽象復雜的公式.鑒于此，本文采用啟發式結合總結式的教學方法，從一個有趣的生活實例——蒙提霍爾問題入手，通過教師循序漸進地設問，從而歸納出全概率公式，再從一般到特殊，通過實際問題案例的分析及應用，達到教會學生使用全概率公式來解決實際問題的目的.整個教學設計體現“以教師為主導、以學生為主體”的教學理念，引導學生主動學習、思考，并教會學生怎樣應用所學知識來解決實際問題，體現“授人以漁”.

一、回顧前面學習的知識

教師在講授新內容之前可以花幾分鐘的時間復習與新內容密切相關的一個或者幾個知識點，自然地過渡到新課.這是一種“以舊入境，推舊引新”的“復習式”切入法[3].這樣便于將新舊知識邏輯性地聯系起來，利于教師循序漸進地引導學生學習新知識.同時有利于鞏固已有知識，并引發學生積極思考，利用所學新知識解決問題.

教師首先和學生一起回顧在前一節中學習的知識：條件概率公式和乘法公式[1].

條件概率：設A，B為隨機試驗E的兩個事件，且P（A）>0，則稱P（B|A）=P（AB）P（A）為事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率.而在實際應用中，我們很少直接利用這個公式來計算條件概率，而是事先根據實際情況算出條件概率，再利用它來計算積事件的概率，也就是乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）（或P（AB）=P（B）P（A|B））.這兩個公式在概率統計中非常有用，而關于這兩個公式的應用有很多.先來看一個例子.

二、由有趣的生活實例引入全概率公式

引例（蒙提霍爾問題）在一個綜藝節目中，有編號為1、2、3的三扇門，門后分別藏有兩只山羊和一輛寶馬汽車作為獎品，門后的獎品的種類主持人是知道的，當然參賽選手不知道.參賽選手答對題目后，可以從三扇門中任選一扇門，得到相應的獎品.現在假設該參賽選手選中了1號門，主持人將未選的兩扇門中打開一扇（例如3號門），后面是一只山羊.如果你是參賽選手，現在主持人再給你一次改變選擇的機會，你是否改變選擇，將選中的1號門換為2號門？

蒙提霍爾問題（Monty Hall problem，也稱為三門問題）是一個著名的概率趣題，實質上是一個源自博弈論的數學游戲問題[4].該問題出自美國的一個電視游戲節目Lets Make a Deal，由于該節目是由蒙提霍爾主持的，因此通常稱這個問題為蒙提霍爾問題.

給出引例之后，教師通過設問的方式進一步引導學生思考.提問：假設你是參賽選手，你會怎樣選擇？改選還是堅持原來的選擇呢？留一些時間讓學生參與討論，充分調動學生的學習積極性.對于該問題，學生們眾說紛紜，各執一詞，有從心理學分析原因的，有從邏輯分析原因的.此時教師要引導學生從數學的角度來分析問題，指出“改選”或“不改選”最關鍵的問題在于何種選擇會對參賽者更有利，也就是獲得寶馬汽車的可能性更大一些.用數學語言來描述就是：哪種選擇下獲得寶馬汽車的概率更大一些.因此，我們需要計算“改”與“不改”兩種策略下，選中寶馬汽車的概率.

為了后面計算的方便，需要先將事件描述清楚，并用字母表示出來.當參賽選手的選擇從1號門變到2號門時，他能否中獎，完全取決于1號門后面到底是寶馬還是山羊.于是設B1=“1號門后面為寶馬汽車”，B2=“1號門后面為山羊”.易知，B1和B2是互斥的事件，且有P（B1）=13，P（B2）=23.參賽者中寶馬汽車這個事件被1號門后面是山羊和1號門后面是寶馬分割成了兩部分.另設A=“參賽者改變選擇，并最終中寶馬汽車”.則顯然有P（A|B1）=0，P（A|B2）=1.“參賽者改變選擇，并最終中寶馬汽車”這個事件的概率的計算如下：

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=13×0+23×1=23.

于是我們得到了，改變選擇獲得寶馬車的概率是P（A）=23.

接下來讓學生自己考慮，不改變選擇時獲得寶馬汽車的概率是多少呢？設事件C=“參賽者不改變選擇，并最終中寶馬汽車”.與前面類似的方法可以得到，

P（C）=P（B1）P（C|B1）+P（B2）P（C|B2）=13×1+23×0=13.

對該問題進行分析，啟發學生從結果中總結規律.

P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=∑2i=1P（Bi）P（A|Bi）.

強調：表達式P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）雖然形式上比較復雜，但實際計算起來卻很簡單，并且能夠體現事件發生的先后次序.

分析時要指出此類問題的本質特點：多個事件對所求事件的概率都有概率“貢獻”.進而，通過提問引導學生將其推廣到一般情況的思考，體現由特殊到一般的思想，從而推導出全概率公式.所設問題如下.

（ⅰ）當對A事件發生的概率有影響的事件為n個（B1，B2，…，Bn）時，是否有類似的表達式？

（ⅱ）上式成立需要滿足什么條件？

利用對問題（ⅰ）和（ⅱ）的回答，引出劃分的概念和全概率公式.

三、全概率公式及證明

1.回顧劃分（完備事件組）的概念，指出這是全概率公式成立的條件之一.

關于劃分，由兩個事件相互對立，推廣到n個事件時，要注意通過兩者之間的共性，實現教學內容之間的銜接：

（ⅰ）BiBj=（i，j=1，2，…，n，i≠j）；

（ⅱ）∪ni=1Bi=Ω.

2.全概率公式的定理及其證明.

定理（全概率公式）設事件B1，B2，…，Bn為樣本空間Ω的一個劃分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），則對任意事件AΩ，有

P（A）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

給出定理之后，與引例的分析做對比.事實上，引例中的表達式即為全概率公式在n=2時的特例，引導學生思考能否根據引例的分析過程類推得出全概率公式的證明.

證明由BiBj=（i≠j），Ω=B1+B2+…+Bn，得

A=AΩ=AB1+AB2+…+ABn，

P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.

證明完畢后再來說明全概率公式的數學思想.全概率公式是對加法原理和乘法公式的綜合運用，蘊含了“化整為零、積零成整”、化復雜為簡單的數學思想，將受多個因素影響的復雜事件的概率分解成不同影響因素對應的簡單事件概率之和.

四、全概率公式的應用

通過具體例子（產品抽樣檢查問題）來說明全概率公式的應用方法，這里體現的是從一般到特殊的思想.

例（產品抽樣檢查）設倉庫中共有10箱產品，其中甲、乙、丙三廠各有5，3，2箱，且已知甲、乙、丙三廠的次品率分別為10%，15%，20%，現從中任取1箱，再從該箱中任取1件產品，求取到次品的概率.

1.問題分析：分析這類問題的特點，說明為什么這類問題可以用全概率公式求解.取到的產品可能由甲、乙、丙三個廠中任何一個廠生產，因此，該產品為次品的概率受到甲、乙、丙三廠的綜合影響，每個工廠都有概率“貢獻”，因此應考慮運用n=3的全概率公式.

2.求解步驟：對事件進行描述，計算公式中各項的概率.

解設A=“任取一件產品，該產品為次品”，B1，B2，B3分別表示“所取得的產品由甲、乙、丙三廠生產”，

P（A）=∑3i=1P（Bi）P（A|Bi）

=0.5×0.1+0.3×0.15+0.2×0.20

=0.135.

注意：在求解過程中，要引導學生思考全概率公式中各項概率（特別是條件概率）該怎么計算，加深對全概率公式應用的認識.

3.問題總結：應用全概率公式的關鍵在于，對所求事件A有概率貢獻的全部原因都要分析清楚，將所有的可能性都要考慮進來.另外強調，公式中的條件概率是根據實際情況直接得到的，不是利用條件概率公式計算的.

五、由設問引出貝葉斯公式

在解決了上面問題之后，通過設問的方式引導學生做更加深入的思考.

在產品抽樣檢查例題中，若取得的產品為次品，問該產品是最可能由哪個廠生產？

引導學生主動思考并分析出這類問題的特點.全概率公式可以說是解決“知因求果”的問題，而上面提出的這個問題則是相反的，這類問題是已知結果，推斷原因，遇到這種“執果探因”的情況又該如何解決呢？

進一步引導學生解決問題.在已知該產品是次品的條件下，分別考慮該次品是來自各個廠的概率，即分別求：該次品來自甲廠的概率P（B1|A），該次品來自乙廠的概率P（B2|A），該次品來自丙廠的概率P（B3|A），這是三個條件概率，利用前面學習的條件概率的知識可以分別求得：

通過比較上面的概率可知，次品來自甲廠的概率最大，因此，可以認為該次品最有可能是由甲廠生產的.上面三個概率的計算主要是利用條件概率公式、乘法公式和全概率公式得到的，將上面的三個公式推廣到一般情形，就可以得到貝葉斯公式.由設問引出貝葉斯公式，又很自然地導入了下一個知識點，做到了教學內容之間的相互銜接.

【參考文獻】

[1]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]李賢平.概率論基礎[M].第2版.北京：高等教育出版社，2000.

[3]馬友文.拿什么打開思路名師最吸引學生的課堂切入點[M].重慶：西南師范大學出版社，2008.

[4]程園園，程多嬌.三門問題及其擴展應用[J].中國統計，2016（5）：44-45.